Deltoid

A deltoid (vagy Steiner - görbe ) egy sík algebrai görbe , amelyet egy másik kör belső oldala mentén gördülő kör fix pontja ír le , amelynek sugara háromszorosa az első kör sugarának.

A deltoid a hipocikloid speciális esete a -nál .

Történelem

A közönséges cikloidokat Galileo Galilei és Marin Mersenne már 1599-ben tanulmányozta, de a speciális cikloid görbéket először Ole Rømer vette figyelembe 1674 - ben, amikor a fogaskerekek legjobb fogazatát tanulmányozta. Leonhard Euler 1745-ben említ először valódi deltoidot egy optika problémája kapcsán.

A görbe a nevét a görög Δ betűhöz való hasonlóságáról kapta . Tulajdonságait először L. Euler tanulmányozta a 18. században , majd J. Steiner a 19. században .

Egyenletek

• A deltoid (forgásig és párhuzamos transzlációig) a következő paraméteres egyenlettel ábrázolható :

ahol a a gördülő kör sugara, b a nagyobb kör sugara, amely mentén a fent említett kör gördül. (A fenti ábrán b = 3a .)

• Összetett koordinátákban a formát veszi fel

• Implicit egyenlet téglalap rendszerben:

• Parametrikus:

• Poláris koordinátákban a formát veszi fel

Tulajdonságok

• A görbének három szingularitása ( csúcs ) van, amelyek megfelelnek a fenti parametrikus egyenletnek.
• A deltoid 3 csúcsa egy egyenlő oldalú háromszög 3 csúcsa .
• A deltoid a nulla nemzetség racionális görbéje .
• A deltoid és annak bármely érintője által határolt terület metszéspontjának hossza rögzített és egyenlő , ahol  a rögzített kör sugara.
• A deltoid egy 4-es rendű algebrai görbe .
• A görbe hossza , ahol  a rögzített kör sugara.
• A deltoid által határolt terület ,.
• A két ágat érintő deltoidok (az ábrán mindhárom ág fekete), a harmadik ágához tartozó érintő szegmensének két pontjára rajzolva (két összefüggő pontnak nevezzük, ezek kékek az ábrán), mindig metszik egymást derékszögben (az ábrán nem látható) . Ennek a derékszögnek a csúcsa mindig egy kis kör körén fekszik (ugyanazon az ábrán egy kis kör piros, és a kék szakasz közepén lévő piros pont írja le), érintve a három jelzett ágat [1] .

Alkalmazások

A deltoidok a matematika számos területén fordulnak elő. Például:

• A harmadrendű unisztochasztikus mátrixok komplex sajátértékeinek halmaza egy deltoidot alkot .
• A harmadrendű unisztochasztikus (unisztochasztikus) mátrixok halmazának keresztmetszete deltoidot alkot.
• Az SU(3) csoportba tartozó unitér mátrixok lehetséges nyomainak halmaza deltoidot alkot.
• Két deltoid metszéspontja paraméterezi a hatodrendű komplex Hadamard-mátrixok családját (Complex Hadamard-mátrix).
• Az adott háromszög összes Simson-vonala deltoid formájú burkot alkot. Steiner deltoidjaként vagy Steiner hipocikloidjaként ismert Jakob Steiner után , aki 1856-ban írta le a görbe alakját és szimmetriáját [2] .
• A háromszög területét felező vonalcsalád burkológörbe egy deltoidszerű görbe, amelynek csúcsai a három medián felezőpontjában találhatók . Ennek a "deltoidnak" az ívei egy hiperbola ívei , amelyeknek aszimptotái átmennek a háromszög oldalain [3] [4] .
• A deltoidot javasolták a tűprobléma megoldásaként .

Lásd még

• Az astroid  egy hipocikloid a .
• Hipocikloid
• Deltoid 
• Tű probléma
• Simson egyenes
• Ciklois

Jegyzetek

1. ↑ Savelov, 1960 , p. 127.
2. ↑ Lockwood, 1961 .
3. ↑ Dunn, JA, and Pretty, JA, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
4. ↑ Háromszög területfelezői . Letöltve: 2019. október 29. Az eredetiből archiválva : 2017. november 21.. (határozatlan)

Irodalom

• Savelov  A.A. _ Lapos görbék: Szisztematika, tulajdonságok, alkalmazások. Útmutató / Szerk. A.P. Norden . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
• V. Berezin. Deltoid  // Kvant . - 1977. - 3. sz . - S. 19 . (Orosz)
• EH Lockwood. 8. fejezet: A deltoid // A Book of Curves  (angol) . – Cambridge University Press , 1961.