Háromszög medián

A háromszög mediánja ( lat. mediāna - közép) a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz . Néha a mediánt az ezt a szakaszt tartalmazó egyenesnek is nevezik . A medián és a háromszög oldalának metszéspontját a medián alapjának nevezzük .

Kapcsolódó definíciók

A mediánok metszéspontja minden mediánt két szegmensre oszt. A csúcstól a metszéspontig tartó szakaszt premediánnak , a metszésponttól az ellenkező oldalig tartó szakaszt pedig posztmediánnak nevezzük . [1] Konkrétan azt mondhatjuk, hogy bármely háromszögben a premedián és a posztmedián aránya egyenlő kettővel .

Tulajdonságok

Fő tulajdonság

A háromszög mindhárom mediánja egy pontban metszi egymást , amelyet a háromszög súlypontjának vagy súlypontjának nevezünk , és ez a pont két részre osztja 2:1 arányban, felülről számolva.

Egy egyenlő szárú háromszög mediánjainak tulajdonságai

Egy egyenlő szárú háromszögben a háromszög egyenlő oldalaihoz húzott két medián egyenlő, a harmadik medián pedig a felező és a magasság . Ennek a fordítottja is igaz: ha egy háromszögben két medián egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú, a harmadik medián pedig a szög felezője és magassága a csúcsán.

Egy egyenlő oldalú háromszögben mindhárom medián egyenlő.

A mediánok alapjainak tulajdonságai

Euler -tétel egy kilencpontos körre : egy tetszőleges háromszög három magasságának alapjai, három oldalának felezőpontjai ( mediánjainak alapjai ) és a csúcsait az ortocentrummal összekötő három szakasz felezőpontjai , mindegyik ugyanazon a körön (az úgynevezett kilenc pontból álló körön ) fekszik.
A háromszög bármely két mediánjának alapjain áthúzott szakasz a középvonala . A háromszög középvonala mindig párhuzamos a háromszög azon oldalával, amellyel nincs közös pontja.
- Következmény ( Thales-tétel párhuzamos szegmensekről ). A háromszög középvonala a háromszög oldalának hosszának fele, amellyel párhuzamos.
Terkem bebizonyította Terkem tételét . [2] Megállapítja, hogy ha egy kilenc pontból álló kör metszi egy háromszög oldalait vagy azok kiterjesztését 3 olyan pontpárban (3 magassági és medián bázisban), amelyek 3 pár cevians alapjai, akkor ha 3 cevians mert ezek közül a bázisok közül 3 1 pontban metszi egymást (például 3 medián 1 pontban), akkor 3 másik bázishoz 3 cevian is 1 pontban metszi egymást (azaz 3 magasságnak is 1 pontban kell metszenie).

Egyéb tulajdonságok

Ha egy háromszög léptékű ( nem egyenlő oldalú ) , akkor bármely csúcsból húzott felezőpontja az ugyanabból a csúcsból húzott medián és magasság között van.
A medián a háromszöget két egyenlő (területű) háromszögre osztja .
Egy háromszöget három medián hat egyenlő területű háromszögre oszt. E hat háromszög körülírt köreinek középpontja ugyanazon a körön található, amelyet Lamun körének neveznek .
A mediánokat alkotó szegmensekből háromszöget készíthet, amelynek területe a teljes háromszög 3/4-e lesz. A medián hosszúságok kielégítik a háromszög egyenlőtlenséget .
Egy derékszögű háromszögben a derékszögű csúcsból húzott medián a befogó fele.
A háromszög hosszabb oldala a kisebb mediánnak felel meg.
A háromszög szimmediánjának nevezzük azt az egyenes szakaszt, amely szimmetrikus vagy izogonálisan konjugált a belső mediánhoz a belső felezőponthoz képest. Három szimedián halad át egy ponton – a Lemoine-ponton .
Egy háromszög szögének mediánja izotómiailag konjugált önmagához.

A centroid trilineáris polárisa (három medián metszéspontja) egy egyenes a végtelenben (lásd az ábrát).

Alaparányok

A medián hosszának kiszámításához, ha a háromszög oldalainak hossza ismert, az Apollonius-tételt alkalmazzuk (a Stewart-tételből származtatva, vagy egy paralelogrammára való kiterjesztéssel és a négyzetösszeg paralelogrammájában szereplő egyenlőséggel az oldalak és az átlók négyzeteinek összege):

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},

hol vannak a háromszög oldalainak mediánjai, ill.

{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c))

a,\ b,\ c

Egy tetszőleges háromszög mediánjainak négyzeteinek összege az oldalai négyzetösszegének 3/4-e:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2} )

Ezzel szemben a háromszög tetszőleges oldalának hosszát mediánokkal is kifejezhetjük:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} ,

ahol a háromszög megfelelő oldalainak mediánjai, ott a háromszög oldalai.

m_{a},m_{b},m_{c}

ABC

Bármely háromszög területe , mediánjainak hosszában kifejezve: $S$

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) ) ,

ahol a mediánok hosszának a fele.

\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2

Változatok és általánosítások

A Ceviana egy olyan szakasz egy háromszögben , amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldalon lévő ponttal.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Starikov V. N. 10. tanulmány a geometriáról (§ Cevians előtt- (elő) és után) // A Moszkvai Állami Agráregyetem "Tudomány és Oktatás" tudományos lektorált elektronikus folyóirata. 2020. 1. szám, 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604
↑ Dmitrij Efremov . Új háromszöggeometria archiválva 2020. február 25-én a Wayback Machine -nál . - Odessza, 1902. - S. 16.

Irodalom

Efremov Dm. A háromszög új geometriája , 1902.

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex