Ábra terület

A lapos figura területe egy olyan figura additív numerikus jellemzőjeamely teljesen egy síkhoz tartozik . A legegyszerűbb esetben, amikor az ábra egységnégyzetek véges halmazára osztható, a terület egyenlő a négyzetek számával.

A definícióról

A terület és térfogat fogalmának formális bevezetése a Jordan intézkedés című cikkben található , itt csak a definíció vázlatát adjuk meg megjegyzésekkel.

A terület egy valós értékű függvény , amely az euklideszi sík alakzatainak egy bizonyos osztályán van definiálva, és négy feltételt teljesít:

Pozitív - a terület nem negatív;
Normalizálás - az egység oldalával rendelkező négyzet területe 1;
Egybevágóság – az egybevágó figurák területe egyenlő;
Additivitás - két, közös belső pont nélküli alak egyesülésének területe egyenlő a területek összegével.

Ebben az esetben egy bizonyos osztálynak zártnak kell lennie a metszéspont és az unió, valamint a síkmozgások tekintetében, és minden sokszöget tartalmaznia kell . Ezekből az axiómákból következik a terület monotonitása , azaz

Ha egy figura egy másik alakhoz tartozik, akkor az első területe nem haladja meg a második területét:

Leggyakrabban négyzet alakú figurák halmazát veszik egy „bizonyos osztályhoz” . Egy alakot négyzet alakúnak nevezünk , ha bármelyikhez létezik egy sokszögpár és , úgy, hogy és , ahol a területet jelöli . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $K$ $P\alhalmaz F\alhalmaz Q$ $S(Q)-S(P)<\varepszilon$ $S(P)$ $P$

Példák négyzet alakú figurákra

sokszögek;
bármely egyenirányítható görbe által határolt alak , különösen egy kör;
egy Koch-hópehely által határolt alak , bár a határa nem javítható.

Kapcsolódó definíciók

Két alakot egyenlőnek nevezünk , ha azonos területűek.

Megjegyzések

Van egy matematikailag szigorú, de kétértelmű módszer a sík összes korlátos részhalmazának területének meghatározására. Ez azt jelenti, hogy a sík összes korlátos részhalmazának halmazán különböző területfüggvények vannak, amelyek kielégítik a fenti axiómákat, és a négyzetes alakzatok halmaza az a maximális ábrakészlet, amelyen a terület egyedileg meghatározásra kerül.
- Ugyanez megtehető az egyenes vonalú hosszra, de nem a térfogatra az euklideszi térben , és nem az euklideszi tér egységgömbjére eső területre (lásd rendre a labdaduplázódási paradoxont és a Hausdorff -paradoxont ).

Képletek

Ábra	Képlet	Megjegyzés
derékszögű háromszög	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$a$ a háromszög oldalának hossza.
Háromszög	${\sqrt {p{\cdot }(pa){\cdot }(pb){\cdot }(pc)))$	Gém képlete . a fél kerülete , , és a háromszög oldalainak hossza. $p$ $a$ $b$ $c$
Háromszög	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$ és a háromszög két oldala, és a köztük lévő szög. $b$ $\gamma$
Háromszög	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ és - a háromszög oldala és az erre az oldalra húzott magasság . $h$
Négyzet	$a^2$	$a$ a négyzet oldalának hossza.
Téglalap	$a{\cdot }b$	$a$ és a téglalap oldalainak hossza. $b$
Rombusz	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ - a rombusz oldala, - belső szög, - átlók . $\alpha$ $b,c$
Paralelogramma	$b{\cdot }h$	$b$ - a paralelogramma egyik oldalának hossza, és - az erre az oldalra húzott magasság . $h$
Trapéz	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$ és a párhuzamos oldalak hossza, és a köztük lévő távolság (magasság). $b$ $h$
Négyszög	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ és az átlók hossza, és a köztük lévő szög. $m$ $\phi$
Szabályos hatszög	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$ a hatszög oldalának hossza.
Szabályos nyolcszög	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$a$ a nyolcszög oldalának hossza.
szabályos sokszög	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$a$ a sokszög oldalának hossza, és a sokszög oldalainak száma. $n$
szabályos sokszög	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$ az apotéma (vagy a sokszögbe írt kör sugara), és a sokszög kerülete. $p$
Önkényes sokszög	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Gauss terület képlete . a -gon csúcsainak koordinátái, $(x_{i},y_{i})$ $n$ $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Egy kör	${\displaystyle \pi {\cdot }r^{2))$ vagy ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ a kör sugara és az átmérője. $d$
kör szektor	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ és a szektor sugara és szöge ( radiánban ). $\theta$
Ellipszis	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$a$ és az ellipszis nagy és kis féltengelyei. $b$

Lásd még

Sejt eltűnés
Borel mérés
Jordan intézkedés
Lebesgue mértéke
Orientált terület
Négyzet
Felszíni terület
Bolyai-Gerwin tétel az egyenlő területű sokszögek egyenrangúságáról
Háromszög a háromszögek területéről
Négyszög a négyszögek területeiről

Irodalom

V. Boltyansky , A terület és térfogat fogalmairól. Archiválva : 2017. május 5. itt: Wayback Machine Kvant , No. 5, 1977
B. P. Heidman , Areas of polygons Archivált : 2017. június 10. at the Wayback Machine , Mathematical Education Library , Issue 16, (2002).
§§ 244-276 in A. P. Kiselev, Geometry by Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Hossz, terület, térfogat. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Terület és kötet archiválva : 2021. április 11., a Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, 5. könyv, Geometria, szerkesztette: P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich és A. Ya. Khinchin.