Hausdorff tétele

Hausdorff tétele (vagy paradoxonja ) egy halmazelméletben bizonyított állítás egy kétdimenziós gömb megszámlálható részhalmazának létezéséről , amelynek komplementere három diszjunkt halmaz uniójaként ábrázolható , és amelyek egymással és egymással kongruensek . a készlet . Felix Hausdorff adta ki először [1] 1914-ben . Ez a tétel (valamint a labda megkettőzésének paradoxona az elképzelései alapján) a közönséges geometriai gyakorlat halmazelméleti ábrázolásai közötti eltérést bizonyítja (különös tekintettel arra, hogy két másolat hat darabra osztható, és három másolatot készíthet belőlük ). Ezért nevezik néha "paradoxonnak". $T$ $S^{2}$ ${\bar S}^{2}=S^{2}\setminus T$ $A$ $B$ $C$ $B\ csésze C$ ${\bar S}^{2}$ ${\bar S}^{2}$

A tétel bizonyítása lényegesen felhasználja a választás axiómáját . Ennek az axiómának néhány alternatívával való helyettesítése lehetővé teszi a Hausdorff-tétel tagadásának bizonyítását (vagyis a gömb megfelelő felosztásának lehetetlenségét).

A tételből az következik, hogy egy kétdimenziós gömbön nincs véges additív mérték , amely minden részhalmazra definiált, és egybevágó halmazokon egyenlő értékeket venne fel (vagyis invariáns a gömb mozgása alatt).

Néha a „Hausdorff-paradoxon” egy másik tételt jelent, amelyet ugyanabban a cikkben bizonyítanak, mint a vizsgált tételt. Ez a tétel a Vitali halmazhoz hasonló példát ad . Állítása szerint egyetlen szegmens megszámlálható számú darabra osztható, és pusztán eltolások segítségével kettős hosszúságú szegmens alakítható ki. Ez azt mutatja, hogy a vonalon nincs olyan mérték , amely minden részhalmazra definiált, és az eltolások alatt invariáns. Lehetőség van azonban egy véges additív mérték definiálására a sík összes korlátos részhalmazára (valamint az egyenesre is), így az egyenlő összetételű halmazok ugyanazzal a mértékkel rendelkeznek.

A bizonyíték ötlete

Itt bebizonyítjuk a tétel egyszerűsített változatát. Ugyanis egy olyan gömb partíciójának létezését fogjuk bizonyítani, amelynek megszámlálható ponthalmaza van (nevezzük ) három páronként egybevágó darabra , és olyan, amely egybevágó a részhalmazzal . A Hausdorff-tételhez hasonlóan ez az állítás is azt mutatja, hogy egy kétdimenziós gömbön lehetetlen meghatározni egy olyan „területet”, amelynek értéke bármely részhalmaz esetében létezne, és mozgás közben változatlan maradna . ${\bar S}^{2}$ $A$ $B$ $C$ $B\ csésze C$ $A$

A bizonyítás a következő három lépésre bomlik:

Valamelyik csoportnak két generátorral egy speciális partícióját találjuk három részhalmazra. $\Gamma$
Megszerkesztjük ennek a csoportnak egy szabad izometrikus műveletét a -n . ${\bar S}^{2}$
A particionálást és a választási axiómát használjuk a gömb kívánt particionálása érdekében. $\Gamma$

1. lépés

Tekintsünk egy csoportot két generátorral és és relációkkal és (más szóval, ahol a csoportok szabad szorzatát jelöli ). A csoport az üres szóból áll, amelyet mi jelölünk (ez a csoportunk egysége) és az összes véges szóból, amely három karakterből és , úgy, hogy és váltakozik a -val . Így minden elem (egy kivételével) egyedileg ábrázolható vagy vagy vagy vagy . $\Gamma$ $a$ $b$ $a^{2}=1$ $b^{3}=1$ $\Gamma ={{\mathbb Z}}_{2}*{{\mathbb Z}}_{3}$ $*$ $\Gamma$ $egy$ $b,\;b^{{-1}}$ $a$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $ab^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}\pontok b^{{\pm 1}}a$ $b^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}a\lpontok b^{{\pm 1}}a$ $ab^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}\ldots ab^{{\pm 1}}$ $b^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}a\ldots ab^{{\pm 1}}$

A csoport a következőképpen osztható fel: legyen egy készlettel kezdődő összes szó halmaza, legyen a -val kezdődő összes szó halmaza , és legyen az összes többi elem halmaza . Ez egyértelmű $\Gamma$ ${{\mathbb A}}$ $b$ ${{\mathbb B}}$ $b^{{-1}}$ ${{\mathbb C}}$ $\Gamma$

\Gamma ={{\mathbb A}}\cup {{\mathbb B}}\cup {{\mathbb C)),

vagyis csoportunkat három nem átfedő részhalmazra bontjuk. Is $\Gamma$

{{\mathbb A}}=b{{\mathbb C}},

{{\mathbb B}}=b^{{-1}}{{\mathbb C}},

{{\mathbb A}}\pohár {{\mathbb B}}\subset {{\mathbb A}}\pohár {{\mathbb B}}\pohár \{1,\;a\}=a{{\ mathbb C}}.

2. lépés

Könnyen kimutatható, hogy létezik olyan ábrázolás a gömb forgatásán keresztül, hogy az eredményül kapott cselekvés a teljes gömbön szabad, kivéve megszámlálható számú pontot. Hagyjuk ezt a megszámlálható halmazt a gömbből, és hívjuk meg a maradékot . (Valójában, ha a gömb két szög szerinti és általános helyzetű elforgatását vesszük, és ezeket a és generátorokkal társítjuk , akkor az indukált cselekvés teljesíti ezt a feltételt). $\Gamma$ ${\bar S}^{2}$ $\pi$ $2\pi /3$ $a$ $b$ $\Gamma$

3. lépés

Tekintsünk egy halmazt , amely minden pályán egy elemet tartalmaz ( e halmaz létezésének állítása a választás axiómáján alapul ). Ekkor a „felosztott” gömbünket a következő diszjunkt halmazok uniójaként ábrázoljuk: $x$ $\Gamma$ ${\bar S}^{2}$ ${\bar S}^{2}$

{\bar S}^{2}=A\pohár B\csésze C,

ahol

A={{\mathbb A}}X,\;B={{\mathbb B}}X,\;C={{\mathbb C}}X.

Ugyanazt a technikát alkalmazva, mint az 1. lépésben, a következőket kapjuk:

A=bC,

B=b^{{-1}}C,

A\cup B\alhalmaz aC,

és mivel és izometriák, azt kapjuk, hogy , és kongruensek és egybevágóak a részhalmazával . $a$ $b$ $A$ $B$ $C$ $A\ csésze B$ $C$

Irodalom

↑ F. Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen (downlink) (downlink 2013. 05. 13. óta [3454 nap]) , Mathematische Annalen Archiválva : 2005. március 6.. , 75. köt. (1914) pp. 428-434.