Gauss terület képlete

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Gauss-féle területképlet ( felmérő formula vagy fűzési képlet vagy fűzési algoritmus ) egy olyan képlet, amely egy egyszerű sokszög területének meghatározására szolgál, amelynek csúcsait a síkban a derékszögű koordináták adják meg . A képletben a koordináták és az összeadás keresztszorzata meghatározza a sokszöget körülvevő terület területét, majd kivonja belőle a környező sokszög területét, ami megadja a sokszög belsejében lévő területét. Fűzőképletnek is nevezik, mivel a megszorzott koordinátákból álló pozitív és negatív kifejezések keresztben vannak elrendezve, mint a cipőfűző kötésekor. Alkalmazható a geodéziában , az erdészetben és más területeken.

A képletet Meister (1724-1788) írta le 1769 -ben , Gauss pedig 1795-ben. Igazolható egy sokszög háromszögekre osztásával, de felfoghatjuk Green tételének speciális eseteként is .

A terület meghatározásának képletét úgy határozzuk meg, hogy az AB sokszög minden élét kivesszük, és a csúcsok koordinátáin keresztül kiszámítjuk az ABO háromszög területét egy O origó csúcsával. A sokszög körül járva háromszögek keletkeznek, beleértve a sokszög belsejét és azon kívül. Ezen területek összege közötti különbség maga a sokszög területe. Ezért a képletet földmérő képletnek nevezik, mivel a "térképész" van az origóban; ha az óramutató járásával ellentétes irányban járja a parcellát, akkor a terület hozzáadódik, ha bal oldalon van, és kivonja, ha az origó szempontjából a jobb oldalon van.

A területképlet bármely önmagát metsző sokszögre érvényes, amely lehet konvex vagy konkáv.

Definíció

A képlet a következő kifejezéssel ábrázolható:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i +1}+x_{n}y_{1}-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}\right|= \\&={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\pontok +x_{n-1}y_{n}+x_{n }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\dots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|,\end {igazított}}

ahol

S a sokszög területe, n a sokszög oldalainak száma, ( x i , y i ), i = 1, 2, …, n a sokszög csúcsainak koordinátái.

Ugyanezen képlet másik ábrázolása [1] [2] :

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+ 1 }-y_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{ i +1}-x_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_ { i+1}-x_{i+1}y_{i}\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}\ det {\begin{pmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|,\end{aligned}}

ahol

x n +1 \ u003d x 1 , x 0 \ u003d x n , y n +1 = y 1 , y 0 = y n .

Ha a pontokat az óramutató járásával ellentétes irányban sorban számozzuk, akkor a fenti képletben a determinánsok pozitívak, és a modulus elhagyható; ha az óramutató járásával megegyező irányban vannak számozva, akkor a determinánsok negatívak lesznek. Ennek az az oka, hogy a képlet a Green-tétel speciális esetének tekinthető.

Példák

A képlet alkalmazásához ismerni kell a sokszög csúcsainak koordinátáit a derékszögű síkban. Például vegyünk egy háromszöget {(2, 1), (4, 5), (7, 8)} koordinátákkal. Vegyük az első csúcs első x -koordinátáját, és szorozzuk meg a második csúcs y -koordinátájával , majd szorozzuk meg a második csúcs x -koordinátáját a harmadik csúcsának y -koordinátájával . Ezt az eljárást minden csúcsra megismételjük. Az eredmény a következő képlettel határozható meg [3] :

\mathbf {S} _{\text{tri.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|,

ahol x i és y i a megfelelő koordinátát jelöli. Ezt a képletet úgy kaphatjuk meg, hogy kinyitjuk a zárójeleket az általános képletben n = 3 esetre. Ezzel a képlettel megállapíthatjuk, hogy a háromszög területe a 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - összegének a fele. 16, ami 3-at ad.

A változók száma a képletben a sokszög oldalainak számától függ. Például az ötszög területének képlete legfeljebb x 5 és y 5 változókat használ :

\mathbf {S} _{\text{pent.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3} -x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|.

S négyszög -változók esetén x 4 és y 4 -ig :

\mathbf {S} _{\text{quad.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4} |.

Egy bonyolultabb példa

Tekintsük az ábrán látható sokszöget, amelyet a (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6) pontok határoznak meg:

Ennek a sokszögnek a területe:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4-{}\\&\qquad -4\x 5-11\x 12-8\x 9-5\x 5-6\x 3|=\\&={\frac {60}{2)) =30.\end{igazított}}

Név Magyarázat

A képletet cipőfűző képletnek nevezik a kiszámításához használt általános módszer miatt. Ez a módszer mátrixot használ . Példaként vegyünk egy háromszöget, amelynek csúcsai (2, 4), (3, −8), (1, 2). Ezután felépítjük a következő mátrixot, "körbejárva" a háromszöget és a kiindulási ponttal befejezve:

{\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmátrix))

Először rajzoljon egy átlót lefelé és jobbra perjellel, az alábbiak szerint:

és szorozd meg a vonallal összekapcsolt számpárokat, majd add össze az összes összeget:

(2 × -8) + (3 × 2) + (1 × 4) = -6.

Tegyük meg ugyanezt úgy, hogy átlósan lefelé és balra vágjuk az alábbiak szerint:

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Ezután kivonjuk a második csoport összegét az elsőből, és felvesszük a modulust:

|(−6) − (8)| = 14.

Az eredményt elosztva kettővel megkapjuk a területet. A számok átlós vonalakat tartalmazó mátrixba való rendszerezése megkönnyíti a képlet megjegyezését. Az átlós (ferde) vonalak rajzolásával végzett művelet eredményeként a számokkal ellátott mátrix a fűzős cipőkre emlékeztet, innen ered a "fűzőalgoritmus" elnevezés is.

A „Gauss Lacing” jó leírását a Wild Mathing csatorna videója mutatja be [1]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Cipőfűző-tétel archiválva : 2020. szeptember 23., a Wayback Machine , Art of Problem Solving Wiki .
↑ Weisstein, Eric W. Polygon Area . wolfram mathworld . Letöltve: 2012. július 24. Az eredetiből archiválva : 2012. május 12. (határozatlan)
↑ Richard Rhoad; George Milauskas; Robert Whipple. Geometria az élvezethez és a kihíváshoz . - új. - McDougal Littell, 1991. - S. 717 -718. - ISBN 0-86609-965-4 .