Radian

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Radian
boldog
Az 1 radián egy olyan központi szög, amelynek ívhossza megegyezik a kör sugarával
Érték	szögérték
Rendszer	SI
Típusú	fő-
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Radián (orosz jelölése: rad , nemzetközi: rad ; lat. sugárból - sugár, sugár) - az ívnek megfelelő szög , amelynek hossza megegyezik a sugarával [1] . A síkszögek mértékegysége a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) , valamint a CGS és MKGSS mértékegységrendszereiben [2] .

A radián mértéke egy szögmérték, amelyben 1 radián szöget veszünk egységnek. Vagyis bármely szög radián mértéke ennek a szögnek a radiánhoz viszonyított aránya [3] . A definícióból következik, hogy a teljes szög értéke 2 π radián (lásd a jobb oldali ábrát).

A radián mértékét a következőképpen is megadhatja: egy szög radián mértéke a szög oldalai között elhelyezkedő kör ívének hosszának és a kör sugarának aránya, ha a kör középpontja egybeesik a szög csúcsa . A geometriában egy szög radiánmértékének meghatározására egységnyi kört használnak , amelynek középpontja a szög csúcsában van; akkor a szög radián mértéke megegyezik a szög oldalai közötti egységkör ívének hosszával [4] [5] .

Mivel egy körív hossza arányos a szög mértékével és sugarával, az R sugarú és α szögértékű kör ívének radiánban mért hossza egyenlő α ∙ R .

Mivel a szög radiánban kifejezett értéke egyenlő a körív hosszának ( m ) és sugarának hosszának ( m ) arányával, a radiánmérésben a szög dimenzió nélküli mennyiség .

Radián a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI)

A Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a síkszögek egységeként a radiánt a XI. Általános Súly- és Mértékkonferencia fogadta el 1960 -ban, az SI-rendszer egészének elfogadásával egyidejűleg [6] . Jelenleg az SI rendszerben a radián koherens [7] dimenzió nélküli származtatott SI-egységnek minősül, amelynek külön neve és jelölése van. Orosz megjelölés - örülök , nemzetközi - rad [8] .

A lapos szög méretnélkülisége azt jelenti, hogy a mértékegysége az első számú . A lapos szöggel kapcsolatban azonban az "egy" mértékegységet a "radián" speciális elnevezéssel látták el, hogy minden konkrét esetben könnyebb legyen megérteni, hogy milyen értékről van szó [9] .

Többszörösek és résztöbbségek

A radián decimális többszöröseit és részszorosait szabványos SI előtagokkal képezik, de ritkán használják őket. Tehát milliradiánokban, mikroradiánokban és nanoradiánokban mérik a szögfelbontást a csillagászatban. Több egységben (kiloradián stb.) a szögfázis behatolást mérjük . Az alap- és a származtatott mértékegységek rövidítése (rad, rad) nem tévesztendő össze az ionizáló sugárzás elnyelt dózisának elavult mértékegységével - rad .

Többszörös				Dolnye
nagyságrendű	cím	kijelölés		nagyságrendű	cím	kijelölés
10 1 rad	dekaradiánus	darad	darad	10 −1 rad	deciradiánus	drad	drad
10 2 rad	hektorádi	jégeső	hrad	10 −2 rad	centiradian	srad	crad
10 3 rad	kiloradián	lop	Krad	10 −3 rad	milliradián	mrad	mrad
10 6 rad	megaradian	Mrad	Mrad	10 −6 rad	mikroradián	mkrad	µrad
10 9 rad	gigaradiánus	jégeső	Grad	10 −9 rad	nanoradián	nrad	nrad
10 12 rad	teraradián	Trad	Trad	10 −12 rad	pikoradiánus	Prad	prad
10 15 rad	petaradian	Prades	Prad	10 −15 rad	femtoradiánus	frad	frad
10 18 rad	exaradian	Erad	erad	10 −18 rad	attoradiánus	arad	arad
10 21 rad	zettaradian	Zrad	Zrad	10 −21 rad	zeptoradiánus	zrad	zrad
10 24 rad	yottaradian	Irad	Udvar	10 −24 rad	ioctoradian	irad	yrad
használatra ajánlott alkalmazása nem javasolt nem vagy ritkán használják a gyakorlatban

A radián viszonya más mértékegységekhez

A radián más szögmértékegységekkel való arányos viszonyát a következő képlet írja le:

1 radián = 1/( 2π ) fordulat = 180/ π fok = 200/ π fok .

Nyilvánvaló, hogy a kidolgozott szög egyenlő vagy radiánnal. Ebből következik a fokok, percek és másodpercek radiánra való átváltásának triviális képlete és fordítva. $180^{\circ },$ ${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$

a [°] = α [rad] × (360° / ( 2π )) vagy α [rad] × (180° / π ), α [rad] = a [°] : (180° / π ) = a [°] × ( π / 180°),

ahol α [rad] a szög radiánban és a [°] a szög fokban.

1 rad (vagy ) = (mnemonikus memorizálási szabály fokban-percben-másodpercben: "A radiánok számát és a sorrendet fejből írom viccesen", ahol az egyes szavak betűinek száma megegyezik a radián érték megfelelő számjegyével rekord, egy tized ívmásodpercig) $p^{\circ }$ ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''$

$p'$ (vagy 1 rad percben) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'$

$p''$ (vagy 1 rad másodpercben) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.$

A szögmértékek metrikus rendszerében egy derékszöget 100 fokra , minden fokot 100 Celsius-fokra osztanak, ami viszont század centigradokra van felosztva, tehát (vagy 1 rad a centigrad századszázadokban) = Gyakorlatilag nem szükséges használni, mivel a szögmértékek metrikus rendszere még nem terjedt el.
$p^{{\backprime \backprime }}$ ${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$

Annak érdekében, hogy könnyebben megjegyezzük, hogyan konvertálják a radiánokat fokokká és fordítva, megjegyezzük:
Amikor a radiánokat fokokra (vagy percekre vagy másodpercekre) konvertáljuk, egy absztrakt számból ( ) egy elnevezett számot ( ) készítünk, és ezért meg kell szorozni vagy ; A fokok radiánokká alakításával éppen ellenkezőleg, megsemmisítjük a nevet: absztrakt számot kapunk; tehát itt kell osztani vagy szorozni fordított törttel $\mathrm {rad}$ $p^{\circ },p',p''$ $p^{\circ }~($ $p',p'')$
$p^{\circ }~($ $p',p''),$ ${\frac {1}{p^{\circ }}}}~({\frac {1}{p'}},{\frac {1}{p''}}).$

1. példa Átalakítás radiánra $5^\circ43'46''.$

${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}} }~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ [tíz]

$43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ [tíz]

$46''={\frac {46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ [tíz]

$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ [tíz] $=0{,}1~\mathrm {rad}$

Egy alternatív módszer a percek és a másodpercek tizedes (század és tízezrelék) fokozatba konvertálása,
valamint egyetlen osztás (általában ez a módszer pontosabb) $p^{\circ }:$

$46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'$

$43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ$

$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5 {,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$

2. példa Konvertálás fokokra 1 radián.

$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{ \boldsymbol {29578}}^{\circ }$

$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$

$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\kb. 45''$

Teljes $\kb. 57^{\circ }17'45''.$

A fokok, radiánok és fokok táblázata

Szögasztal [11]

Szög , a teljes töredékében	fokon	radiánok	végzősök	Sinus	Koszinusz	Tangens
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{\mathrm {g} }$	$0$	egy	$0$
${\frac {1}{24}}$	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\frac {\pi }{12}}$	$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-\sqrt{3}$
${\frac {1}{12}}$	$30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$	$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {1}{8))$	$45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4))$	$50^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$egy$
${\frac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$	$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\sqrt{3}$
${\frac {5}{24}}$	${\displaystyle 75^{\circ ))$	${\frac {5\pi }{12}}$	$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4))$	$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2))$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} ))$	$egy$	$0$	nem meghatározott
${\frac {7}{24}}$	${\displaystyle 105^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{12}}$	$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{3))$	$120^{\circ }$	${\frac {2\pi }{3}}$	$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
${\frac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} ))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-egy$
${\frac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\frac {5\pi }{6}}$	$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {11}{24}}$	${\displaystyle 165^{\circ ))$	${\frac {11\pi }{12}}$	$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{2))$	$180^{\circ }$	$\pi$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} ))$	$0$	-egy	$0$
${\frac {7}{12}}$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{6}}$	$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\dfrac {5}{8}}$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	$250^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$egy$
${\frac {2}{3))$	${\displaystyle 240^{\circ ))$	${\frac {4\pi }{3}}$	$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
${\frac {3}{4))$	${\displaystyle 270^{\circ ))$	${\frac {3\pi }{2}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} ))$	$-egy$	$0$	nem meghatározott
${\frac {5}{6))$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\frac {5\pi }{3}}$	$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\sqrt{3}$
${\frac {7}{8))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} ))$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-egy$
${\frac {11}{12}}$	${\displaystyle 330^{\circ ))$	${\frac {11\pi }{6}}$	$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$egy$	${\displaystyle 360^{\circ ))$	$2\pi$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} ))$	$0$	egy	$0$

Radiánmérték számításban

Ha a számításban trigonometrikus függvényeket veszünk figyelembe , az argumentum mindig radiánban van megadva, ami leegyszerűsíti a jelölést; maga a rad ( rad ) megjelölés azonban gyakran kimarad.

Kis szögeknél egy szög radiánban kifejezett szinusza és tangense megközelítőleg megegyezik magával a szöggel (radiánban), ami kényelmes a közelítő számításokhoz. A -nál kisebb szögeknél a közelítés a harmadik tizedesjegyig helyesnek tekinthető. Ha a szög kisebb, mint , akkor a hatodik tizedesjegyig [12] : $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$

\sin\alpha \approx \operátornév{tg}\,\alpha \approx \alpha.

Történelem

A radián első használatát a szög foka helyett általában Roger Cotes -nak (18. század) tulajdonítják, aki ezt a szögegységet tartotta a legtermészetesebbnek [13] . Az ív hosszának a kör sugarával történő mérésének ötletét azonban más matematikusok is használták. Például Al-Kashi egy olyan mértékegységet használt, amelyet " az átmérő részének " nevezett , ami egyenlő a radián 1/60-ával. Kisebb származtatott egységeket is használt [14] .

A " radián " kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg nyomtatásban James Thomson , a Belfasti Queen 's University munkatársa által összeállított vizsgadokumentumokban . Thomson legkésőbb 1871-ben használta a kifejezést, míg Thomas Muir , a St. Andrews Egyetem munkatársa 1869-ben a „ rad ”, „ radial ” és „ radian ” kifejezések között ingadozott . 1874-ben Muir, miután konzultált James Thomsonnal, úgy döntött, hogy a "radián" kifejezést használja [15] [16] [17] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Radian // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Mennyiségek mértékegységei. Szótári hivatkozás. - M . : Szabványok Kiadója, 1990. - S. 98. - 240 p. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Vigodszkij, 1965 .
↑ Gelfand, Lvovsky, Toom, 2002 .
↑ David E. Joyce. Szögek mérése . Dave rövid trig tanfolyama . Clark Egyetem. Letöltve: 2015. szeptember 8. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 7..
↑ A XI. Általános Súly- és Mértékkonferencia (1960 ) 12. határozata . Nemzetközi Súly- és Mértékiroda . Hozzáférés időpontja: 2014. december 19. Az eredetiből archiválva : 2012. július 28.
↑ A származtatott mértékegységet koherensnek nevezzük , ha az alapmértékegységek hatványainak szorzataként fejezzük ki eggyel egyenlő arányossági tényezővel .
↑ GOST 8.417-2002. A mérések egységességét biztosító állami rendszer. A mennyiségek mértékegységei. (nem elérhető link) . Letöltve: 2012. szeptember 18. Az eredetiből archiválva : 2012. november 10.. (határozatlan)
↑ Egységek a mennyiségekhez kevesebb mennyiséghez , mennyiségek mennyiségéhez SI brosúra: A mértékegységek nemzetközi rendszere (SI) . Nemzetközi Súly- és Mértékiroda (2006). Hozzáférés időpontja: 2014. december 19. Az eredetiből archiválva : 2014. október 7.
↑ 1 2 3 4 Az extra számjegyeket [a negyedik tizedesjegy után] a percek és másodpercek kifejezéseiben gyakran figyelmen kívül hagyják, mivel a fokozatok következő számjegye ismeretlen, és ezért a negyediken túli számokat írnak [jelölve alsó indexszel] munkapazarlás.
↑ Abramowitz és Stegun, 1972 , p. 74, 4.3.46.
↑ $\sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \kb 0{,}100$ $\operátornév{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \kb. 0{,}100$ (a pontosság a negyedik tizedesjegyben sérül) $\sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \kb. 0{,}010000$ $\operátornév{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \kb. 0{,}010000$ (a pontosság nem marad meg a hetedik tizedesjegyben)
Ezért van az, hogy a pontozó vonalzón a skála(ok) intervallumainak van határa és ; ez alatt az érték alatt (0-ig) nincs grafikon, mivel a szögek (radiánban) egybeesnek a szinuszok / érintők értékeivel a pontosságán belülvonalzó ) $5^\circ43'{,}77 ~ ( \kb. 5^\circ43'46'' )$ $0^\circ34'{,}38 ~ ( \kb. 0^\circ34'23'' )$
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Roger Cotes életrajza . A MacTutor matematika története (2005. február). Hozzáférés időpontja: 2014. február 3. Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 24. (határozatlan)
↑ Szerencse, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (német) / Siggel, A.. - Berlin: Akademie Verlag , 1953. - S. 40.
↑ Florian Cajori . Matematikai jelölések története (határozatlan) . - 1929. - T. 2. - S. 147-148. - ISBN 0-486-67766-4 .
↑ Muir, Thos. A "Radián" kifejezés a trigonometriában // Természet . - 1910. - 1. évf. 83 , sz. 2110 . — 156. o . - doi : 10.1038/083156a0 . — . Thomson, James. A "Radián" kifejezés a trigonometriában // Természet . - 1910. - 1. évf. 83 , sz. 2112 . - 217. o . - doi : 10.1038/083217c0 . — . Muir, Thos. A "Radián" kifejezés a trigonometriában // Természet . - 1910. - 1. évf. 83 , sz. 2120 . - P. 459-460 . - doi : 10.1038/083459d0 . — .
↑ Miller, Jeff A matematika egyes szavainak legkorábbi ismert használata (2009. november 23.). Letöltve: 2011. szeptember 30. Az eredetiből archiválva : 2021. január 18. (határozatlan)

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - Nauka, 1965. - S. 340-343. — 424 p.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometria . - M. : MTsNMO, 2002. - S. 7-8. — 199 p. — ISBN 5-94057-050-X .
Abramowitz, M.; Stegun, IA . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online) Britannica (online)

SI mértékegységek
Alapegységek	amper kandela kelvin kilogramm méter anyajegy második
Származtatott egységek speciális elnevezéssel	becquerel watt weber volt Henrik hertz Celsius fok szürke joule sievert gurult medál luxus lumen newton ohm pascal radián Siemens steradián tesla farad
SI- vel használható	angström csillagászati egység hektár ív foka ívperc ív második dalton (atomi tömegegység) fehér liter neper nap óra perc tonna elektron-volt
Lásd még	SI előtagok Mértékegység átváltás A metrikus rendszer története Metrikus egyezmény 1875 Meghatározások 2005–2019 Újradefiníció 2019