Sorozat (matematika)

A sorozat , más néven végtelen összeg , a matematikai elemzés egyik központi fogalma . A legegyszerűbb esetben a sorozatot számok végtelen összegeként írjuk fel [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Rövid megjegyzés: (néha a kifejezések számozása nem 1-től, hanem 0-tól kezdődik)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Itt van egy valós vagy komplex számsorozat ; ezeket a számokat a sorozat tagjainak nevezzük . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

Ha egy összeg értékét egy számsorozathoz szeretné rendelni, vegye figyelembe a " részösszegek " sorozatát, amely abból adódik, hogy egy végtelen összeget valamilyen taggal lezárunk:

S_{1}=a_{1}

S_{2}=a_{1}+a_{2}

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\pontok +a_{n))

\cdots

Ha a parciális összegek sorozatának van határa (véges vagy végtelen), akkor azt mondják, hogy a sorozat összege egyenlő: Ugyanakkor, ha a határ véges, akkor azt mondják, hogy a sorozat konvergál . Ha a határ nem létezik, vagy végtelen, akkor a sorozatról azt mondjuk , hogy divergál [1] . $S$ $S.$

Az elemzés kulcskérdésének tisztázására, hogy egy adott sorozat konvergál-e vagy sem, számos konvergenciakritériumot javasoltak .

A numerikus sorozatokat és azok általánosításait (lásd alább a nem numerikus sorozatokról ) mindenhol használják a matematikai elemzésben számításokhoz, különféle függvények viselkedésének elemzéséhez, algebrai vagy differenciálegyenletek megoldásához . Egy függvény sorozatbeli kiterjesztése egy vektor koordinátákkal való megadásának általánosításának tekinthető , ez a művelet lehetővé teszi, hogy egy komplex függvény vizsgálatát az elemi függvények elemzésére redukáljuk, és megkönnyíti a numerikus számításokat [2] . A sorozatok nélkülözhetetlen kutatási eszközt jelentenek nemcsak a matematikában, hanem a fizikában, csillagászatban, számítástechnikában, statisztikában, közgazdaságtanban és más tudományokban is.

Számsorozat

Példák

A konvergens sorozat legegyszerűbb példája egy végtelen geometriai haladás [3] elemeinek összege a nevezővel : $|q|<1$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots

Részösszeg Ennek a kifejezésnek a határa egy végtelen geometriai progresszió összege [1] . Például, ha olyan sorozatot kap, amelynek összege 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac {1}{2))$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ponts

A végtelen törtrészes tizedes egy sorozat összegeként fogható fel [3] ; például a szám a következő sorozatok összege: $\pi =3{,}1415926\dots$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\pontok

Bonyolultabb példa az inverz négyzetek sorozata , amelyek összegét Európa legjobb matematikusai több mint 100 éve nem találták meg [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

A sorozat szétválik, összege végtelen. A felharmonikus sorozat is divergál : " Grundy sorozata " divergál, részösszegei 1-től 0-ig terjednek, így a részösszegeknek nincs korlátja, ennek a sorozatnak nincs összege [5] . $1+1+1+\dots$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))={\infty }.$ $1-1+1-1+1-1\dots$

Osztályozás

A pozitív sorozat [6] olyan valós sorozat, amelynek minden tagja nem negatív. Pozitív sorozatok esetén az összeg mindig létezik, de lehet végtelen [7] .

A váltakozó sorozat egy valós sorozat, amelyben a kifejezések előjelei váltakoznak: plusz, mínusz, plusz, mínusz stb. Az ilyen sorozatokhoz létezik egy egyszerű Leibniz-konvergenciateszt . A fenti harmonikus sorozat váltakozó változata az utóbbitól eltérően konvergál [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Abszolút és feltételes konvergencia

Azt mondják, hogy egy valós vagy összetett sorozat abszolút konvergál , ha tagjainak egy sorozata ( abszolút értékei ) konvergál [8] :

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|

Egy abszolút konvergens sorozat is konvergál ennek a fogalomnak a szokásos értelmében. Ugyanakkor minden ilyen sorozatnak van egy fontos eltolhatósági tulajdonsága: egy abszolút konvergens sorozat tagjainak bármilyen permutációjához azonos összegű konvergens sorozatot kapunk [9] . Konkrétan pozitív konvergens sorozatok esetén bármilyen módon átrendezheti a sorozat feltételeit, ez nem befolyásolja a konvergenciát és az összeget [10] .

Ha egy számsor konvergál, de nem abszolút, akkor azt feltételesen konvergensnek mondjuk . Példa:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\pontok

Maga a sorozat konvergál, de abszolút értékeinek sorozata ( a harmonikus sorozat ) eltér [8] .

Feltételesen konvergens sorozatok tulajdonságai [8] .

Ha egy sorozat feltételesen konvergál , akkor mind a pozitív, mind a negatív tagok sorozata eltér.
- Következmény (abszolút konvergencia kritériuma): egy valós számsorozat akkor és csak akkor konvergál abszolút, ha mind a pozitív tagok sorozata, mind a negatív tagok sorozata konvergál.
( Riemann-tétel ): Egy feltételesen konvergens sorozat tagjainak átrendezésével tetszőleges valós összegű sorozatot kaphatunk.

Műveletek a sorokon

Legyen konvergens sorozat és adott . Akkor: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Összegüket differenciasorozatnak nevezik – sorozatnak $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).$

Ha mindkét sorozat egymáshoz konvergál , akkor összegük és különbségük is konvergál. A konvergens és a divergens sorozatok összege mindig divergál [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Ha mindkét sorozat abszolút konvergál, akkor ezen sorozatok összege és különbsége is abszolút konvergál [12] .

A Cauchy termékük egy sorozat, ahol: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n))$

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\pontok +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\pontok +a_{n}b_{1})

Ha az eredeti sorozatok közül legalább az egyik abszolút konvergál, akkor a sorozat szorzata konvergál [13] .

Egy számsor konvergenciájának szükséges kritériuma

A sorozat csak akkor konvergálhat, ha a tag (a sorozat közös tagja) számának növekedésével nullára hajlik [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${\displaystyle {a}_{n))$

\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.

Ez a sorozatok konvergenciájának szükséges jele , de nem elegendő - például egy harmonikus sorozatnál a közös tag a szám növekedésével korlátlanul csökken, ennek ellenére a sorozat eltér. Ha a sorozat közös tagja nem hajlik nullára, akkor a sorozat minden bizonnyal eltér [14] .

Konvergens sorozat

Tulajdonság 1. Ha a sorozat

\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1.1)

konvergál és összege , akkor a sorozat $S$

\sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1.2)

ahol tetszőleges szám, szintén konvergál, és összege . Ha az (1.1) sorozat eltér és , akkor az (1.2) sorozat divergál. $c$ $cS$ $c\neq 0$

2. tulajdonság ( társulási jog ). Egy konvergens sorozatban tetszőlegesen egyesítheti a szomszédos tagokat csoportokba anélkül, hogy megsértené a sorrendjüket [15] .

Ezzel a tulajdonsággal igazolható egy sorozat divergenciája: ha a megadott csoportosítás után divergens sorozatot kapunk, akkor az eredeti sorozat is eltér.

Megoldatlan problémák

Még mindig nem ismert, hogy a Flint Hills sorozat konvergál-e [16 ] :

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operátornév {cosec} ^{2}(n)}{n^{3))))

Ha be tudjuk bizonyítani, hogy ez a sorozat konvergál, akkor ennek következtében egy fontos tény derül ki: egy szám irracionalitásának mértéke kisebb, mint 2,5. $\pi$

Ismeretes, hogy az inverz négyzetek sorozatának összege és más, egymásra fordított páros hatványokkal rendelkező sorozatok összege egy szám $\pi ,$ hatványaiban van kifejezve , de keveset tudunk az inverz kockák összegéről (" Aperi-állandó "):

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ frac {1}{4^{3}}}+\dots \approx 1{,}2020569

Ezt az értéket még senki sem tudta összekapcsolni klasszikus konstansokkal vagy elemi függvényekkel [17] .

Nem numerikus tagokat tartalmazó sorozat

A végtelen sorozat fogalma és összege nemcsak számokra, hanem más matematikai objektumokra is bevezethető , amelyekre az összeadás és a közelség fogalma van definiálva, ami lehetővé teszi a határérték meghatározását. Például a függvénysorozatokat széles körben használják az elemzésben : hatványsorok , Fourier-sorok , Laurent-sorok . A sorozat tagjai lehetnek vektorok , mátrixok stb.

Általános meghatározás

A sorozat (vagy egy végtelen összeg ) a matematikában valamely topológiai vektortér elemeinek ( egy adott sorozat tagjainak ) sorozata , amelyet a sorozat tagjainak részösszegeinek halmazával együtt tekintünk (a részösszegeket ugyanabban a definícióban definiáljuk). módon, mint a numerikus sorozatokban). Ha részösszegek sorozatára határértéket adunk meg : akkor az értéket az adott sorozat összegének , magát a sorozatot pedig konvergensnek (egyébként divergensnek ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

A sorozatokat tagonként mindig összeadhatjuk vagy kivonhatjuk, és a konvergens sorozatok összege és különbsége is konvergál. Ha a sorozat feltételeit egy gyűrűből vagy mezőből vesszük , akkor maguk a sorozatok alkotnak egy gyűrűt az összeadás és a Cauchy-szorzat tekintetében .

Funkcionális sorozat

Definíció és tulajdonságok

Egy sorozatot funkcionálisnak nevezünk, ha minden tagja egy halmazon meghatározott függvény :

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

rövid megjegyzés:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)

A részösszegek ebben az esetben is ugyanazon a halmazon meghatározott függvények. Egy sorozatot konvergensnek nevezünk a halmazon , ha bármely fix szám esetén a sorozat konvergál [2] : $x$ $x_{0}\X-ben$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

A halmazt a sorozat konvergencia tartományának nevezzük . A sorozat összege nyilvánvalóan szintén egy függvény $x$ $x.$

Példa erre egy racionális tört sorozatbővítése:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\lpont

Ez a sorozat az intervallumban konvergál . $(-1;\;1)$

A funkcionális sorozatok fő típusai közül:

teljesítménysorozat (különösen a Taylor sorozat );
trigonometrikus sorozat ; különösen a Fourier-sorozat ;
soraiban Laurent .

A fent definiált „pontos” konvergencián kívül különböző terekben más közelségi normák is alkalmazhatók , amelyektől függ a részösszegek határának megléte. Például meghatározható a "Csebisev-norma" [19] .

Egységes konvergencia

Általánosságban elmondható, hogy az összeg tulajdonságai eltérhetnek egy sorozat tagjainak tulajdonságaitól – például előfordulhat, hogy folytonos függvények sorozatának összege nem folytonos [20] .

Egy halmazon konvergáló funkcionális sorozatról azt mondjuk, hogy egyenletesen konvergál (ezen a halmazon) [21] , ha a sorozat részösszegeinek sorozata egyenletesen konvergál a -ra . $x$ $x$

A sorozatok egyenletes konvergenciájának igazolására számos jel utal [21] :

A sorozatok egyenletes konvergenciája fogalmának fontosságát a következő tételek mutatják (minden függvényt valósnak feltételezünk).

Egy bizonyos ponton folytonos függvénysorozat összege maga is folytonos abban a pontban, feltéve, hogy a függvénysorok egyenletesen konvergálnak a pontban. Konkrétan, egy szegmensen folytonos valós függvények egyenletesen konvergens sorozatának összege ezen a szegmensen is folytonos lesz [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ ${\megjelenítési stílus [a,b],}$
Ha a függvények folyamatosan differenciálhatók az intervallumon és mindkét sorozaton: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\pontok

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\pontok

-ra konvergálnak , és a deriváltak sorozata egyenletesen konvergál, akkor a sorozat összegének van deriváltja, és a sorozat tagonként differenciálható [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\pontok )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\pontok

Ha a függvények folytonosak az intervallumon , és a sorozat egyenletesen konvergál a függvényhez, akkor a sorozat tagonként integrálható [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\pontok$ $[a,b]$ $F(x),$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

Az egységes konvergenciafeltétel garantálja, hogy a jobb oldali sorozatok konvergáljanak.

Ha a függvények Riemann-integrálhatók egy szegmensen , és a sorozat egyenletesen konvergál a függvényhez, akkor a sorozat összege is Riemann-integrálható lesz [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\pontok$ $[a,b]$ $F(x),$

A nem egyenletesen konvergens hatványsorra példa a geometriai progresszió , amely az intervallumban konvergál egy függvényhez, de nem egyenletesen (amit az összeg végtelen ugrása bizonyít 1-hez közelítve) [25] . $1+x+x^{2}+x^{3}+\pontok$ $[0,1)$ ${\frac {1}{1-x)),$

Mátrixok sorozata

A rögzített sorrendű numerikus négyzetmátrixok gyűrűjében egy mátrix szomszédságát értjük egy olyan mátrixhalmazt , amelynek minden komponense kisebb mértékben tér el a megfelelő komponensektől amint, megfelelő sorozat határa. $n$ $\varepsilon$ $A$ $A$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\dots$ ${\displaystyle L_{ik))$ $A_{ik}.$

Most már általános szabályok szerint definiálható a numerikus mátrixok sorozata, a sorozatkonvergencia fogalma (beleértve az abszolút konvergenciát is), valamint a konvergens sorozatok összege. Más szóval, sorrendi mátrixok sorozata akkor konvergál, ha komponenseinek sorozata konvergál, és az összeg egy mátrix, amely e sorozatok megfelelő határait tartalmazza [26] . $n$ $n^{2}$

A mátrixok hatványsorának alakja [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\pontok ,

hol vannak a megadott numerikus együtthatók, az azonosságmátrix , az ismeretlenek mátrixa. Ez a sorozat egyenértékű a numerikus sorozatok rendszerével. Konvergenciájának becsléséhez a komplex számok szokásos hatványsorát állítjuk össze: $a_{0},a_{1},\dots$ $én$ $x$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\pontok

Legyen ennek a sorozatnak a konvergencia sugara Akkor a következő tételek igazak [26] : $R.$

A mátrix hatványsorai abszolút konvergálnak minden olyan mátrixra , amely a nulla mátrix szomszédságában található , ahol $\varepsilon$ $\varepsilon =R/n.$
Ha egy mátrix hatványsor konvergál abban a tartományban, ahol egy pozitív komponensű mátrix és egy ismeretlen modulus mátrixa , akkor ebben a tartományban abszolút konvergál. $|X|<P,$ $P$ $|X|$

A mátrixokból származó hatványsorozat példáját lásd: Mátrixkitevő . Sorozatok segítségével négyzetmátrixokhoz standard függvényeket lehet definiálni (például szinusz ).

Változatok és általánosítások

A sorozat fogalmának általánosítása a kettős sorozat fogalma , amelynek tagjait nem egy, hanem két index számozza [27] .

A sorozat összege fogalmának általánosítása a sorozat összegző függvényének fogalma , amelynek megválasztása elfogadhatóvá teszi a divergens (klasszikus értelemben vett) sorozat összegének fogalmát. Egy ilyen általánosításnak számos változatát javasolták: Poisson-Abel konvergencia , Borel , Cesaro , Euler , Lambert és mások [28] .

Történelem

Ókori időszak

Az ókori matematikusok a pitagorasz ideológiájával összhangban elutasítottak minden ténylegesen végtelen fogalmat, beleértve a végtelen sorozatokat is. A sorozat koncepciójának azonban néhány korlátozott alkalmazása volt. Például Arkhimédész , hogy kiszámítsa egy parabola szakaszának területét, valójában egy végtelen geometriai progresszió összegét találta [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \over 3}

Van der Waerden így ír erről: "Arkhimédész nem beszél egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegéről, még nem ismeri a "végtelen sorozat összege" kifejezést, de tökéletesen birtokolja ennek a koncepciónak a lényegét. Arkhimédész által megoldott több feladatban a terület vagy térfogat kiszámítására a modern terminológiában felső és alsó integrál összegeket használ korlátlan számú taggal. A határ fogalmának hiánya miatt nehézkes kimerítési módszert [29] alkalmaztak az eredmény igazolására .

Kerala School

Az indiai matematikusok , akiket nem kötöttek a pitagoraszi korlátozások, jelentősen továbbfejlesztették a sorozatelméletet és sikeresen alkalmazták azt. A keralai csillagászati és matematikai iskola (Dél -India) a 15-16. században érte el a legnagyobb sikert . Csillagászati számításokhoz a keralaiak a történelem során először tudták megtalálni a trigonometrikus és egyéb függvények végtelen sorozatokba való kiterjesztését:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Az ilyen bővítésekre azonban nem volt általános elméletük, a képletek elkészítése érdekében a körívet egyenirányították [30] [31] . Európában először James Gregory adott ki hasonló sorozatot az arctangenshez 1671-ben, a szinuszos és koszinuszos sorozatokat pedig Isaac Newton 1666-ban.

Az arctangens sorozatából a Keralas jó közelítést kapott a számra $\pi$ : $3{,}141592653.$

Európában a keralai iskola eredményei sokáig ismeretlenek maradtak, és önállóan fedezték fel újra.

17. század

Körülbelül a 17. századig végtelen sorozatok ritkán jelentek meg az európai matematikusok írásaiban. Említést érdemel a 14. századi angol matematikus , Richard Swainshead munkája , aki így foglalta össze a sorozatot [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

A 17. században a végtelen sorozatok már általános érdeklődésre számot tartóak, és számos gyakorlati probléma megoldásában kezdik használni őket - közelítő számítások , interpoláció , logaritmuselmélet stb.

1647-ben Grégoire de Saint-Vincent felfedezte az összefüggést a logaritmus és a hiperbola alatti terület között (lásd az ábrát). 1650-ben, geometriai megfontolások alapján, Pietro Mengoli olasz matematikus az „ Új aritmetikai kvadratúrák ” című értekezésében végtelen sorozattá bővítette [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Mengoli más sorozatokat is megvizsgált, és bebizonyította, hogy a harmonikus sorozatok eltérnek egymástól; Mengoli azt is kimutatta, hogy az inverz négyzetsorozat konvergál, bár nem tudta megtalálni az összegét [33] .

1668-ban az akkor Londonban élő német matematikus, Nicholas Mercator (Kaufmann) a „ Logarithmotechnia ” című értekezésében először vette figyelembe a nem számok, hanem függvények sorozatává történő kiterjesztését, ezzel megalapozva a hatványsorok elméletét. [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots

A függvények és numerikus számítások tanulmányozásának univerzális eszközeként a végtelen sorozatokat Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz , a matematikai elemzés megalkotói használták . A 17. század közepén Newton és Gregory felfedezte a binomiális kiterjesztést bármely, nem csak egy egész kitevőre (először az Algebra, Wallis publikációja , 1685): $\alpha$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

A sorozat konvergál a képlet segítségével Newton először tudta kiszámolni egy ellipszis ívét sorozatként (a mai terminológiával az elliptikus integrált számolta ki ) [34] . Newton azt is megmutatta, hogyan lehet sorozatokat használni egyenletek megoldására, beleértve az elsőrendű differenciálegyenleteket is, és hogyan lehet feltárni olyan integrálokat, amelyeket nem elemi függvényekkel fejeznek ki [35] . $|z|\leqslant 1.$

A 17. század végére az összes elemi funkció sorozataira való kiterjesztése vált ismertté . Leibniz és Gregory felfedezte (1674) Európa első számkiterjesztését ( $\pi$ a Leibniz-sorozatot ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

A századfordulón (1689-1704) Leibniz tanítványa, Jacob Bernoulli Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ) címmel adta ki az első monográfiát öt kötetben . Megmutatta a sorozatok használatát a legkülönfélébb problémák megoldására.

XVIII-XIX század

1715-ben Brooke Taylor kiadta az alapvető Taylor-sorozatot (de Gregory és Newton régóta ismert).

Leonhard Euler hatalmas hozzájárulást nyújtott a sorozatelmélethez . Ő volt az első, aki megtalálta az inverz négyzetek sorozatának összegét , módszereket dolgozott ki a sorozatok konvergenciájának javítására, megkezdte a trigonometrikus sorozatok tanulmányozását , javaslatot tett a divergens sorozatokra alkalmas sorozat általános összegének fogalmára. Már maga az „ analitikus függvény ” fogalma is összekapcsolódott azzal a lehetőséggel, hogy hatványsor formájában ábrázolják.

A 19. században Cauchy és Weierstrass szigorú alapot épített ki az elemzéshez, és különösen a szigorú sorozatelmélethez. Bevezették az egységes konvergencia fontos fogalmát , és megfogalmazták a konvergencia különböző kritériumait.

A trigonometrikus sorozatok elmélete gyorsan fejlődött . Daniil Bernoulli is kifejezte azt a meggyőződését, hogy egy adott intervallumon bármely (folyamatos) függvény leképezhető trigonometrikus sorozattal [36] . A témával kapcsolatos viták egészen 1807-ig folytatódtak, amikor is Fourier közzétette az elméletet a tetszőleges darabonkénti analitikus függvények trigonometrikus sorozatokkal történő ábrázolásáról (a végső változatot az 1822-es Analytical Theory of Heat című könyve tartalmazza) [37] . A függvény Fourier-sorbeli kiterjesztésére integrál képleteket adott az együtthatók kiszámításához [37] . Fourier magyarázata nem volt a modern értelemben vett szigorú, de már tartalmazta az általa kapott sorozatok többségének konvergenciájának vizsgálatát. $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

Ugyanakkor a 19. században széles körben fejlesztették és használták a komplex elemzésben szereplő sorozatokat , köztük a Laurent -sorozatokat . A sorozatok felhasználása a természettudományokban - az égi mechanikában ( a három test problémájának megoldására ), az optikában , a hővezetés elméletében , a század vége felé - az elektromágnesesség elméletében kezdődött .

A 20. században a sorozat fogalmát a matematikai objektumok széles osztályára terjesztették ki , nem feltétlenül a numerikus objektumokra.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , p. 257-258.
↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 258-259.
↑ Vorobjov, 1979 , p. 52, 178.
↑ Vorobjov, 1979 , p. 32-33., 52-53.
↑ Vigodszkij, 1977 , p. 540.
↑ Vorobjov, 1979 , p. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobjov, 1979 , p. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 315.
↑ Vilenkin et al., 1982 , p. 55.
↑ Vilenkin et al., 1982 , p. tizenöt.
↑ Vilenkin et al., 1982 , p. 67, pl. 56.
↑ Rudin, Walter. A matematikai elemzés alapelvei . - McGraw-Hill, 1976. - 74. o .
↑ 1 2 Vorobjov, 1979 , p. 38-39.
↑ Vorobjov, 1979 , p. 40-41.
↑ Flint Hills sorozat . Letöltve: 2019. május 11. Az eredetiből archiválva : 2019. május 11. (határozatlan)
↑ Weisstein , Eric W. Apéry állandója a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 1063.
↑ Vilenkin et al., 1982 , p. 80-82.
↑ Vilenkin et al., 1982 , p. 86, pl. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 424.
↑ 1 2 3 4 Szmirnov V. I. Felsőfokú matematika tantárgy. - 10. kiadás - Szentpétervár. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3. rész 2. - S. 369-374. — 816 p. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobjov, 1979 , p. 233-258.
↑ Vorobjov, 1979 , p. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. - M .: Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 p.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. A végtelen sorozatok pre-newtoni korszaka. I. rész // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka, 1973. - Szám. XVIII . - S. 104-131 .
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 275.
↑ 1 2 3 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 158-166.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 231.
↑ Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Trigonometrikus sorozat. Eulertől Lebesgue-ig. - M . : Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 p.
↑ 1 2 Trigonometrikus sorozat // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 5.

Irodalom

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V. V., Dobrokhotova M. A., Safonov A. N. Rows. - M . : Nevelés, 1982. - 160 p.
Vorobjov N. N. Sorozatelmélet. - 4. kiadás — M .: Nauka, 1979. — 408 p.
Vygodsky M. Ya. Magasabb matematika kézikönyve. - 12. kiadás - M .: Nauka, 1977. - 872 p.
Zorich V.A. fejezet III. Határ. 1. § Szekvenciahatár// Matematikai elemzés, I. rész -M.: Nauka, 1981. - P. 104-114. — 544 p.
A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. 2. rész // Előadásjegyzetek a felsőbb matematikáról. - 6. kiadás - M . : Iris-press, 2008.
Sorozat // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, három kötetben. - 6. kiadás - M . : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 p.

Linkek

Savelyeva R. Yu. Felső matematika. Sorelmélet .

Szótárak és enciklopédiák

Nagy orosz
Brockhaus és Efron
a világ körül
Kis Brockhaus és Efron

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX526931 BNF : 11933261z GND : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele