Laurent sorozat

Egy összetett függvény Laurent-sora ennek a függvénynek a hatványsorként való reprezentációja, amelyben vannak negatív hatványú kifejezések. Nevét P. A. Laurent francia matematikusról kapta .

Definíció

A végpontban lévő Laurent-sor egy funkcionális sorozat a komplex számok mezőjének egész hatványaiban : $z_{0}\in \mathbb {C}$ ${\megjelenítési stílus (z-z_{0})}$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

ahol egy változó és együtthatók .

{\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Ez a sorozat két hatványsor összege:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))$ a nem negatív hatványokban lévő rész , ${\megjelenítési stílus (z-z_{0})}$
$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ része a negatív hatalmaknak . ${\megjelenítési stílus (z-z_{0})}$

A Laurent-sor akkor és csak akkor konvergál , ha mindkét része (mind negatív, mind pozitív hatványban) konvergál.

Ha a Laurent-sor konvergencia tartománya olyan, hogy , akkor for $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$ ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0))))$ $A_{z_{0))$

a sort jobb oldali résznek nevezzük ,

{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n))

a sort főrésznek nevezzük .

\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

A Laurent-sor a végtelenben egy funkcionális sorozat a komplex számok mezőjének egész hatványaiban: $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ $z$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad

ahol egy változó és együtthatók .

{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\))

c_{n}\in \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Kinézetre a for sorozat egybeesik a for sorozattal , formai szempontból azonban a for cseréjével kapták . $z_{0}=\infty$ $z_{0}=0$ $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$ $\zeta _{0}=0$

Ha a Laurent-sor konvergencia tartománya olyan, hogy , akkor for $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$ $\infty \in \partial {A_{\infty }}$ ${\displaystyle A_{\infty ))$

a sort jobb oldali résznek nevezzük ,

\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}

a sort főrésznek nevezzük .

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

Tulajdonságok

A rész pozitív hatványokban konvergál egy sugarú kör belsejében , ${\megjelenítési stílus (z-z_{0})}$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\ infty ]$

a negatív hatványú rész egy sugarú kör külsejében konvergál .

{\megjelenítési stílus (z-z_{0})}

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} } }:|z-z_{0}|>r\}

{\displaystyle D_{r))

r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]

Ezért, ha , akkor a Laurent-sor konvergenciatartományának belseje nem üres, és egy körgyűrű

r<R\,

A

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{ R}

A Laurent-sorozat viselkedése a határkör pontjaiban csak attól függ, hogy egy tetszőleges , ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\))$ $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ $n_{s}\in \mathbb {N}$

és a határkör pontjaiban - csak tól tetszőleges .

{\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\))

\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

n_{s}\in \mathbb {N}

Így a hatványsorokhoz hasonlóan a Laurent-sor viselkedése a gyűrű határpontjain változtatható.

A

A Laurent sorozat abszolút a gyűrű minden pontján konvergál. $A$
Bármely kompakt részhalmazon a sorozat egyenletesen konvergál . $K\subset A$
Minden ponthoz van egy olyan érték , hogy , és a Laurent sorozat felírható a következő hatványaiban konvergáló sorozatként : $\zeta _{0}\in A$ $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist }}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\ }\alhalmaz A$ $F z)$ $D_{\rho }(\zeta _{0})$ $(z-\zeta _{0})$

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty } t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

hol és miért _

z\in D_{\rho }(\zeta _{0})

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!)}}

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

azok. a helyes pontra vonatkozik . Így Laurent sorozatának összege egy analitikus függvény .

\zeta _{0}

F z)

A

F z)

A konvergenciagyűrű határkörein ugyanis nem üres halmazok vannak olyan pontokból, amelyek nem szabályosak a számára. $0<r<R<+\infty$ $A$ $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ $F z)$
A Laurent sorozat bármely kompakt távon megkülönböztethető . $K\subset A$
A Laurent sorozat integrációja csak a -hoz ad egyértékű függvényt , mivel bármely értékhez $A$ $c_{-1}=0$ $\rho >0$ $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{ \begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{tömb}}\ jobb.$

A függvényt egy duplán összefüggő tartományban reprezentáló sorozat bármely kompakt és tetszőleges egyenirányítható orientált görbére tagonként integrálható , míg az integráció eredménye csak a kezdeti és végponttól függ, és nem függ a görbe alakjától .

\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

A

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

K\subset A

\gamma \subset K

\gamma

\gamma

\gamma

A Laurent-sor együtthatói kielégítik az összefüggéseket $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ $F z)$

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0} )^{n+1))}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\ ,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

, hol van bármely egyenirányítható görbe, amely egy kompaktban fekszik és egyszer megkerüli a pontot az óramutató járásával ellentétes irányba . Konkrétan tetszőleges sugarú kört vehetünk fel, amelynek középpontja , amely a konvergenciagyűrűn belül helyezkedik el és pozitívan orientált (a paraméternek növekednie kell).

\gamma

K\subset A

z_{{0}}

\gamma

{\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\))

\rho \in (r;R)

z_{{0}}

t

Egyedülálló a Laurent-sorozattá való bővítés , vagyis ha két Laurent-sorozat esetén, amelyek hatványai konvergálnak -ben , illetve -ben, összegük egy bizonyos körön vagy egy vele homotopikusan egyenirányítható görbén egybeesik, akkor ezeknek a sorozatoknak az összes együtthatója egybeesik. ${\megjelenítési stílus (z-z_{0})}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$ ${\displaystyle \gamma \sim C_{\rho ))$

Laurent-tétel

A Laurent-sorozat alkalmazása főként a következő Laurent-tételen alapul:

Bármely függvény , amely egy értékű és analitikus egy gyűrűben , ábrázolható egy konvergens Laurent sorozatban hatványokban .

F z)

{\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \))

A

{\megjelenítési stílus (z-z_{0})}

Egy egyértelmű analitikus függvény Laurent-sorozat formájában történő megjelenítése a fő eszköz egy elszigetelt szinguláris pont közelében való viselkedésének tanulmányozására : $F z)$ $A_{z_{0))$

1) ha a pont , akkor van olyan sugár , hogy a kilyukadt környéken $z_{0}\neq \infty$ $R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

a függvény egy (konvergáló) Laurent-sorral ábrázolható; $F z)$

2) ha a pont , akkor van olyan sugár , hogy a kilyukadt környéken $z_{0}=\infty$ $r_{\infty }\in [0;+\infty )$

{\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \))

a függvény egy (konvergáló) Laurent-sorral ábrázolható. $F z)$

Az izolált szinguláris pont típusát a Laurent sorozat fő része határozza meg a kilyukadt környéken : $z_{{0}}$ $A_{z_{0))$

Eltávolítható szinguláris pont - a Laurent-sorozat fő része 0.
Pólus - a fő rész véges számú nem nulla tagot tartalmaz.
Lényegében szinguláris pont – a fő rész végtelen számú nullától eltérő tagot tartalmaz.

Irodalom

Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Markushevich AI Az analitikus függvények elmélete. 1. kötet: Az elmélet kezdetei. - Szerk. 2. - M .: Nauka , 1967 . — 486 p.
Privalov II. Bevezetés az összetett változó függvényeinek elméletébe. - 13-án. - M .: Nauka , 1984 . — 432 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor