Borel konvergencia

A Borel -konvergencia a sorozatkonvergencia fogalmának általánosítása, amelyet Emile Borel francia matematikus javasolt . A Borel névhez két nem egyenértékű definíció kapcsolódik.

Definíció

Legyen adott egy számsor . Egy sorozatot Borel-konvergensnek (vagy B -konvergensnek) nevezünk , ha van határérték : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!)}}S_{ k }=S,

ahol S k a sorozat részösszegei. Az S számot ezután a sorozat Borel-összegének nevezzük.

Legyen adott egy számsor. Egy sorozatot Borel-konvergensnek (vagy B ' -konvergensnek) nevezünk, ha van integrál : $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$

\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!)}}t^{n}=S

Példa

Tekintsük a sorozatot Ez a sorozat tetszőleges divergens, azonban a Borel-konvergencia integrál definíciói szerint: $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ $x\neq 0.$

\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\ infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t)){1-xt)),

és az összeg specifikus x negatív értékeire .

Tulajdonságok

Legyen a függvény:

{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

reguláris nullán, és C az összes szinguláris pontjának halmaza . Minden ponton keresztül rajzolunk egy szakaszt és egy egyenest, amely átmegy a P ponton merőlegesen -ra . Az egyes egyenesek nullával ugyanazon az oldalon fekvő pontok halmazát jelöli . Ekkor a tartomány határát az f(z) függvény Borel-poligonjának, a régiót pedig a belső régiójának nevezzük. A tétel igaz: a sorozat $P\in C$ $OP$ $L_{p}\,,$ $OP$ $L_{p}\,,$ $\Pi$ $\Gamma$ $\Pi$ $\Pi$

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))

B -konvergens a tartományban , és nem B -konvergens a tartományban – kiegészítve a . $\Pi$ $\Pi ^{*}$ $\Pi$

Lásd még

Linkek

Borel összegzési módszer , Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Borel Összegzés

Irodalom

Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. 2. kötet - Szerk. 6-os, sztereotip. — M.: Nauka, 1966
Hardy G., Divergent sorozat, ford. angolból, M., 1951.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summable: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .