Funkcionális tartomány

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2013. augusztus 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 31 szerkesztés szükséges .

A funkcionális sorozat olyan sorozat , amelynek minden tagja a numerikus sorozattal ellentétben nem szám , hanem függvény . $\ {u_{k}}(x)$

Funkciósorozat

Adjunk meg egy komplex értékű függvénysorozatot a d-dimenziós euklideszi térben lévő halmazon . $\E$ $\ {\mathbb {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Pontirányú konvergencia

A függvénysorozat pontszerűen konvergál a függvényhez , ha . $\ {u_{k}}(x)$ $\ {u}(x)$ $\forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Egységes konvergencia

Van egy ilyen funkció: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

A sorozat egy függvényhez való egyenletes konvergenciájának tényét felírjuk: $\ {u_{k}}(x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\jobbra u(x)$

Funkcionális tartomány

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\összeg _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n-edik részösszeg .

Konvergencia

A matematikában a konvergencia egy numerikus sorozat véges határának , egy végtelen sorozat összegének, egy nem megfelelő integrál értékének, egy végtelen szorzatnak egy értékének a létezését jelenti .

Egy sorozatot pontonkénti konvergensnek nevezünk, ha részösszegeinek sorozata pontonként konvergál. $\{S_{n}}(x)$

Egy sorozatot egyenletesen konvergensnek nevezünk, ha részösszegeinek sorozata egyenletesen konvergál. $\{S_{n}}(x)$

A sorozat egyenletes konvergenciájának szükséges feltétele

$\ {u_{k}}(x)\jobbra nyíl 0$ nál nél $\k\rightarrow \infty$

Vagy ennek megfelelően , ahol X a konvergencia területe. $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepszilon$

Cauchy-kritérium az egyenletes konvergenciához

Cauchy-kritérium a funkcionális sorrendhez. Ahhoz , hogy a halmazon definiált függvények sorozata egyenletesen konvergáljon ezen a halmazon, szükséges és elegendő, hogy bármely , egy bizonyos számtól kezdődően az összeshez nagyobb vagy egyenlő , mint a függvények összes értékére egyidejűleg és legfeljebb . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ $V$ $\varepsilon >0$ $N=N(\varepszilon)$ $n,m$ $N$ $x \ V-ben$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\jobbra|<\varepszilon

Abszolút és feltételes konvergencia

Egy sorozatot abszolút konvergensnek nevezünk, ha konvergál. Egy abszolút konvergens sorozat konvergál. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\közép$

Ha a sorozat konvergál, de divergál, akkor a sorozatot feltételesen konvergensnek mondjuk. Az ilyen sorozatokra igaz a Riemann-tétel egy feltételesen konvergens sorozat tagjainak permutációjáról . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\közép$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Az egységes konvergencia jelei

Összehasonlítás jele

A sorozat abszolút és egyenletesen konvergál, ha a következő feltételek teljesülnek: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

A sorozat egyenletesen konvergál. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Különleges eset a Weierstrass-kritérium , amikor . Így a funkcionális sorozat a megszokottra korlátozódik. Ehhez a szokásos konvergencia szükséges. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Dirichlet jele

A sorozat egyenletesen konvergál, ha a következő feltételek teljesülnek: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

A valós értékű függvények sorrendje monoton és $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\in E$ $\ {a_{k}}(x)\jobbra nyilak 0$
A részösszegek egységesen korlátosak . $\ {S_{n}}(x)=\összeg _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

Ábel jele

A sorozat egyenletesen konvergál, ha a következő feltételek teljesülnek: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

A valós értékű függvények sorozata egyenletesen korlátos és monoton . $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\in E$
A sorozat egyenletesen konvergál. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Egyenletesen konvergens sorozatok és sorozatok tulajdonságai

Folytonossági tételek

A halmazon komplex értékű függvényeket veszünk figyelembe $\E$

Egy pontban folytonos függvénysorozat konvergál egy ebben a pontban folytonos függvényhez.

Utóbbi

\ {u_{k}}(x)\jobbra u(x)

\ \ minden k:

a függvény egy ponton folytonos

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Ezután folyamatos ben .

\u(x)

\ x_0

Számos, egy pontban folytonos függvény konvergál egy folytonos függvényhez ezen a ponton.

Sor

\ \sum _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\jobbra nyíl S(x)

\ \ minden k:

a függvény egy ponton folytonos

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Ezután folyamatos ben .

\S(x)

\ x_0

Integrációs tételek

A valós tengely egy szakaszán lévő valós értékű függvényeket veszik figyelembe.

Tétel az integráljel alatti határértékre való átlépésről.

\ \ minden k:

a függvény folyamatos az intervallumon

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ {u_{k}}(x)\jobbra u(x)

\ [a,b]

Ekkor a numerikus sorozat egy véges határértékhez konvergál .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx))

Tétel a tagonkénti integrációról.

\ \ minden k:

a függvény folyamatos az intervallumon

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\jobbra nyilak S(x)

\ [a,b]

Ekkor a számsor konvergál, és egyenlő .

\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

\int \limits _{a}^{b}S(x)dx

Differenciálási tételek

A valós tengely egy szakaszán lévő valós értékű függvényeket veszik figyelembe.

Tétel a határ alatti differenciálásról.

\ \ minden k:

a függvény differenciálható (folytonos deriváltja van) a szegmensen

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)

konvergál (a végső határig)

\ {u'_{k}}(x)\jobbra nyilak \omega (x)

a szegmensen

\ [a,b]

Ezután differenciálható on , on

\ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\jobbra u(x),~u(x)

\ [a,b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a,b]

Tétel a tagonkénti differenciálásról.

\ \ minden k:

a függvény differenciálható a szegmensen

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \exists c\in [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)

konvergál

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

egyenletesen konvergál a szegmensen

\ [a,b]

Ezután differenciálható on , on

\ \exists S(x):~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\jobbra nyilak S(x),~S(x)

\ [a,b]

\ S'(x)=\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

\ [a,b]

Linkek

O.V.Besov. ‹…Š–ˆˆElőadások a matematikai elemzésről. 1. rész . - M. : MIPT, 2004. - 325 p. 16. fejezet Függvénysorozatok és sorok

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor