Kétsoros

A kettős sorozat olyan numerikus sorozat, amelynek elemeit pozitív egész számpárok (indexek) számozzák, egy másik sorozattal együtt tekintve, amelyet egy sorozat részösszegeinek sorozatának nevezünk [1] .

Definíció

Legyen egy numerikus sorozat ; tekintsük az adott sorozattal együtt a sorozat részösszegeinek sorozatát ${\displaystyle \{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty ))$

\{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty },

amelynek minden eleme az eredeti sorozat néhány tagjának összege

\{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j}

Általában egy szimbólumot használnak egy sorozat megjelölésére:

\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j},

hiszen itt van feltüntetve a sorozat elemeinek kezdeti sorrendje, valamint az összegzési szabály.

Ennek megfelelően a numerikus kettős sorozatok konvergenciájáról azt mondják:

egy numerikus kettős sorozat akkor konvergál , ha a részösszegeinek sorozata konvergál, vagyis a sorozat konvergál, és van egy összege , ha vannak számok és olyanok, amelyekre az egyenlőtlenség érvényes és . A kettős sorozat összeghez való konvergenciájának feltétele is felírható $\{a_{i,j}}\}$ $s$ $\varepsilon >0$ $m_{{0}}$ $n_{{0}}$ ${\displaystyle m>m_{0))$ $n>n_{{0}}$ $\|s_{mn}-s\|<\varepsilon$ $s$

$\lim _{n,m\to \infty }s_{mn}=s$ .

egy numerikus kettős sorozat divergál , ha részösszegeinek sorrendje eltér;
egy numerikus kettős sorozat abszolút konvergál , ha a tagjainak moduljainak sorozata konvergál.

Ha egy számsorozat konvergál, akkor a részösszegei sorozatának határát a sorozat összegének nevezzük : $S$

{\displaystyle S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j))

Tulajdonságok

Konvergáljon minden sor egy konvergens kettős sorozatban , amelynek összege , és konvergáljon az összegeikből álló sorozat is, azaz legyenek határok az és az egyenlőségekben . Akkor . Hasonlóképpen, ha vannak korlátok és . Aztán [2] . ${\displaystyle \{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty ))$ $s$ ${\displaystyle s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij))$ $s'=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}s_{i*}$ $s=s'$ ${\displaystyle s_{*j}=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}a_{ij))$ $s''=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}s_{*j}$ $s=s''$
Markov tétele. Konvergáljon minden sor és oszlop egy dupla sorban . Jelöljük a sorok összegét . $\{a_{i,j}}\}$ ${\displaystyle s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn))$ ${\displaystyle s_{*n}=\sum _{m=1}^{\infty }a_{mn))$ $s'=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m*}$

Akkor:

- $k$ -a sorok maradékai egy konvergens sorozatot alkotnak valamilyen összeggel . ${\displaystyle r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{mn))$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }r_{m}^{(k)))$ ${\displaystyle R_{k))$
- Ahhoz, hogy az oszlopok összegeiből álló sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy a határ létezik . ${\displaystyle s''=\sum _{n=1}^{\infty }s_{*n))$ $\lim _{k\to \infty }R_{k}=R$
- Az egyenlőséghez szükséges és elégséges, hogy legyen [3] . $s'=s''$ $R=0$

Jegyzetek

↑ Vorobjov, 1986 , p. 234.
↑ Vorobjov, 1986 , p. 238.
↑ Vorobjov, 1986 , p. 239.

Irodalom

Vorobjov N. N. Sorozatelmélet. - M. : Nauka, 1986. - 408 p.