Ulam szám

A stabil verziót 2020. augusztus 22- én ellenőrizték . Ellenőrizetlen változtatások vannak a sablonokban vagy a .

Az Ulam-szám az egész sorozat tagja , amelyet Stanislav Ulam talált ki és neveztetett el magáról 1964-ben.

Definíció

A szabványos Ulam sorozat (vagy (1, 2)-Ulam szám) U 1  = 1 és U 2  = 2 értékkel kezdődik. n  > 2 esetén U n az U n-1- nél nagyobb legkisebb egész szám , amely egyedileg bomlik fel a sorozat két különböző korábbi tagjának összege.

Példák

A definícióból következik, hogy a 3 az Ulam-szám (1+2); a 4 pedig az Ulam-szám (1+3). (Itt a 2+2 nem a 4 második reprezentációja, mert az előző tagoknak különbözniük kell.) Az 5-ös szám nem Ulam-szám, mert 5 = 1 + 4 = 2 + 3. A sorozat így kezdődik:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 206, 209, 219, 206, 209, 219, 206, 209, 219, 26, 23, 24 258, 260, 273, 282, ... A002858 szekvencia az OEIS -ben .

Az első Ulam-számok, amelyek egyben prímszámok is:

2 3 11 13 47 53 97 131 197 241 409 431 607 673 739 751 983 991 1103 1433 1489 1531 1553 1709 1721 2371, 2393, 2447, 2633, 2789, 2833, 2897, ... OEIS A068820 .

Végtelen sok Ulam szám van, mert az első n tag összeadása után mindig felvehetünk még egy elemet: U n − 1 + U n , ami egyedileg meghatározva lesz két nála kisebb elem összegeként és még kisebbet is kaphatunk. elemeket hasonló módszerrel, így a következő elem a legkisebb definiálható ezen egyedileg meghatározott lehetőségek közül. [egy]

Ulam úgy vélte, hogy az Ulam-számok aszimptotikus sűrűsége nulla , [2] azonban úgy tűnik, hogy ez egyenlő 0,07398-cal. [3]

Rejtett szerkezet

Észrevették [4] , hogy az első 10 millió Ulam szám kielégíti a tulajdonságot: 4 elem kivételével (és ez, mint ismeretes, addig folytatódik ). Az ilyen típusú egyenlőtlenségek általában igazak azokra a szekvenciákra, amelyeknek van valamilyen periodicitása, de az Ulam-szekvencia nem ismert periodikusnak, és a jelenséget nem magyarázták meg. Segítségével gyorsan kiszámítható az Ulam szekvencia (lásd a külső hivatkozásokat).

Változatok és általánosítások

Az elképzelés általánosítható (u, v)-Ulam számokká, ha különböző kezdeti értékeket (u, v) választunk. Az (u, v)-Ulam számok sorozata periodikus, ha az egymást követő számok közötti különbségek sorozata periodikus. Ha v háromnál nagyobb páratlan szám, akkor a (2, v)-Ulam számok sorozata periodikus. Ha v egyenlő 1-gyel (4. modul) és legalább öttel, a (4, v)-Ulam számok sorozata ismét periodikus. A szabványos Ulam-számok azonban nem periodikusak. [5]

Egy számsorozatot s-additívnak mondunk, ha a sorozat minden számának a sorozat kezdeti 2s-tagja után pontosan s-reprezentációja van, mint az előző két szám összegének. Így az Ulam-számok és az (u,v)-Ulam-számok 1-additív sorozatok. [6]

Ha egy sorozatot úgy hozunk létre, hogy két korábbi szám összegeként hozzáadjuk a legnagyobb egyedi reprezentációjú számot, ahelyett, hogy a legkisebb egyedileg ábrázolható számot adnánk hozzá, akkor a kapott sorozat Fibonacci-számok sorozata . [7]

Jegyzetek

  1. ↑ Recaman (1973 ) hasonló érvelést használ, amelyet ellentmondásos bizonyításként fogalmaz meg . Azt állítja, hogy ha véges sok Ulam-szám lenne, akkor az utolsó kettő összege is Ulam-szám lenne, ez ellentmondás. Azonban, bár az utolsó két szám összege ebben az esetben egyedi ábrázolással rendelkezik, mint két Ulam-szám összege, nem feltétlenül ez a legkisebb egyedi reprezentációval rendelkező szám.
  2. ↑ Az az állítás, hogy Ulam ezt feltételezte, benne van az OEIS A002858 -ban, de Ulam nem kísérelte meg megbecsülni a szekvenciáját Ulamban (1964a ), Ulamban (1964b ) pedig megemlítette a halmaz aszimptotikus sűrűségének problémáját, de meg sem kísérelte megbecsülni azt. Recaman (1973 ) megismétli Ulam (1964b ) kérdését az aszimptotikus sűrűségről, és nem tesz feltételezéseket az értékéről.
  3. ↑ OEIS A002858
  4. ↑ Steinerberger (2015 )
  5. ↑ Queneau (1972 ) vette először észre az u = 2 és v  = 7 vagy v  = 9 mintázatát. Finch (1992 ) volt az első, aki sejtette, hogy v páratlan nagyobb, mint három, és ezt Schmerl és Spiegel (1994 ) igazolta. . A (4,  v )-Ulam számok periodicitását Cassaigne & Finch (1995 ) bizonyította.
  6. ↑ Queneau (1972 ).
  7. ↑ Finch (1992 ).

Irodalom


Külső linkek