Ciklois
Cikloid (a görög κυκλοειδής "kerek" szóból) - lapos transzcendentális görbe .
A cikloidot kinematikailag úgy határozzuk meg, mint egy (sugarú ) generáló kör fix pontjának pályáját, amely csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén .
Egyenletek
Vegyük a vízszintes koordinátatengelyt egy egyenesnek, amely mentén a generáló sugarú kör gördül . A cikloid leírása a következő:
- paraméteresen .
- egyenlet derékszögű koordinátákkal .
- differenciálegyenlet megoldásaként .
Tulajdonságok
- A cikloid egy periodikus függvény az abszcissza mentén, egy ponttal . A periódus határaihoz célszerű szinguláris pontokat ( csúcspontokat ) venni a formából , ahol egy tetszőleges egész szám.
- Ahhoz, hogy a cikloid tetszőleges A pontjában érintőt húzzunk, elegendő ezt a pontot összekötni a generáló kör felső pontjával. Az A -t a generáló kör legalsó pontjához kapcsolva megkapjuk a normált .
- A cikloid ív hossza . Ezt az ingatlant Christopher Wren ( 1658 ) fedezte fel . A cikloid ív hosszának (s) függése a t paramétertől a következő [1] : .
- A cikloid egyes ívei alatti terület háromszor nagyobb, mint a generáló kör területe. Torricelli elmondta, hogy Galileo kísérleti úton fedezte fel ezt a tényt: a lemezek súlyát egy körrel és egy cikloid ívével hasonlította össze. [2] Matematikailag ezt a tényt Roberval bizonyította először 1634 körül az oszthatatlanok módszerével .
- A cikloid első ívének görbületi sugara .
- A "fordított" cikloid a legmeredekebb lejtésű görbe ( brachistochrone ). Ezenkívül megvan a tautokronizmus tulajdonsága is : a cikloid ív bármely pontján elhelyezett nehéz test ugyanabban az időben éri el a vízszinteset.
- A fordított cikloid mentén csúszó anyagi pont rezgési periódusa nem függ az amplitúdótól . (A tautokronizmus azonnali következménye).
- A cikloid evolúciója az eredetivel egybevágó és az eredetivel párhuzamosan eltolt cikloid , így a csúcsok " pontokká " alakulnak .
- A Huygens által felfedezett utolsó két tulajdonságot ő használta fel pontos mechanikus órák létrehozására .
- Azok a gépalkatrészek, amelyek egyidejűleg egyenletes forgási és transzlációs mozgást hajtanak végre, cikloid görbéket írnak le : cikloid, epicikloid , hipocikloid , trochoid , astroid ( vö . Bernoulli-lemniszkát konstrukciója ).
Történelmi vázlat
Az első tudósok, akik felfigyeltek a cikloidra, Cusai Miklós volt a 15. században és Charles de Beauvel 1501-ben. De ennek a görbének komoly tanulmányozása csak a 17. században kezdődött .
A cikloid nevet Galilei találta ki (Franciaországban ezt a görbét először rulettnek hívták ) . A cikloid tartalmas tanulmányozását Galileo Mersenne kortársa végezte el . A transzcendentális görbék közül (azaz olyan görbék közül, amelyek egyenlete nem írható fel polinomként -ben ) a cikloid az első, amelyet vizsgáltak.
Pascal ezt írta a cikloidról [3] [4] :
A rulett olyan gyakori vonal, hogy az egyenes és a kör után nincs több közös vonal; olyan gyakran rajzolódik mindenki szeme elé, hogy meg kell lepődni, hogy a régiek nem vették észre... mert ez nem más, mint egy kerékszeggel leírt út a levegőben...
Eredeti szöveg (fr.)[ showelrejt] La Roulette est une ligne si commune, qu'apres la droitte, & la circulaire, il n'y en a point de si Frequency; A Chose que le chemin que fait en l'air, le clou d'une rouë...Az új görbe gyorsan népszerűvé vált, és mély elemzésnek vetették alá, amelyben Descartes , Fermat , Newton , Leibniz , Jacob és Johann Bernoulli testvérek és a tudomány más 17-18. századi fényesei vettek részt. A cikloidon az akkoriban megjelent matematikai elemzési módszereket aktívan csiszolták .
Az a tény, hogy a cikloid analitikus vizsgálata ugyanolyan sikeresnek bizonyult, mint az algebrai görbék elemzése, nagy hatást keltett, és fontos érv lett az algebrai és transzcendentális görbék "jogegyenlítése" mellett.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Előadások a matematikai elemzésről / Szerk. V. A. Sadovnichy. - 2. kiadás - M . : Felsőiskola , 2000. - S. 261. - 695 p. - 8000 példányban. — ISBN 5-06-003955-2 .
- ↑ Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-tájékoztató könyv, szerk. 3. . - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- ↑ Klyaus E. M., Pogrebyssky I. B. , Frankfurt W. I. Pascal. - M .: Nauka , 1971. - S. 191. - ( Tudományos és életrajzi irodalom ). — 10.000 példány.
- ↑ Pascal, Blaise. Histoire de la roulette, Appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l'on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne . 1658. október 10. P.1.
Irodalom
- Berman G. N. Cikloid. M., Nauka, 1980, 112 p.
- Gindikin S. G. Történetek fizikusokról és matematikusokról . - harmadik kiadás, bővítve. - M. : MTSNMO , 2001. - S. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9 .
- Matematikai Enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 5.
- Markushevich A. I. Figyelemre méltó görbék , Népszerű matematikai előadások , 4. szám, Nauka 1978 , 32. o.
Linkek
- Cikloid görbék ( Animáció ).
| Görbék | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definíciók | |||||||||||||||||||
| Átalakult | |||||||||||||||||||
| Nem síkbeli | |||||||||||||||||||
| Lapos algebrai |
| ||||||||||||||||||
| Lapos transzcendentális |
| ||||||||||||||||||
| fraktál |
| ||||||||||||||||||