Hasse-tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. június 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 14 szerkesztést igényelnek .

A Hasse-féle elliptikus görbe tétel , amelyet Hasse-határnak is neveznek , becslést ad egy véges mező feletti elliptikus görbén lévő pontok számára , és korlátozza az értékeket fent és alatt egyaránt. Hasse tétele egyenértékű a lokális zéta-függvény gyökeinek abszolút értékének meghatározásával . Ebben a formában a Riemann-hipotézis analógjának tekinthető az elliptikus görbével kapcsolatos függvények területén.

Történelem

A véges mezők feletti elliptikus görbék elméletének egyik fontos kérdése egy hatékony algoritmus kidolgozása az adott görbén fekvő pontok számának megszámlálására. 1924-ben Emil Artin egy sejtést terjesztett elő, amely felülről és alulról korlátozza az elliptikus görbe pontjainak számát egy véges mező felett [1] . Ezt a sejtést Helmut Hasse igazolta 1933-ban, és 1936-ban publikálta egy sor tanulmányban [2] . Ezt követően Hasse munkájának eredményeit André Weil általánosította tetszőleges nemzetség görbéire, és felhasználta a lokális zéta-függvények tanulmányozására.

tétel állítása

Hasse elliptikus görbe tétele kimondja, hogy a véges mező feletti elliptikus görbén lévő pontok száma kielégíti az egyenlőtlenséget . [3] [4] $N$ $\mathbb {F} _{q}$ $|N-(q+1)|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Az egyenlőtlenség abból adódik, hogy két modulusú komplex konjugált szám összegével tér el a projektív egyenes ugyanazon mező feletti pontjainak számától . $N$ $q+1$ ${\sqrt {q))$

Bizonyítás

A bizonyítás során a legfontosabb szerepet a módosított egyenlet játssza

Y^{2}={\frac {X^{3}+aX+b}{x^{3}+ax+b}}

amelynek megoldásait a változó racionális függvényeinek területén keressük . Ennek az egyenletnek a két megoldása egyszerű és egyenlő ; . $x$ $X=x,Y=1$ $X=x^{p},Y=(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}$

A megoldások összeadása ehhez az egyenlethez ugyanazok a képletek szerint történik, mint az elliptikus görbék pontjainak összeadása, vagyis a harmadik pont a görbe és az egyenes metszéspontjában kerül kiválasztásra, és az eredmény egy olyan pont lesz, koordináták

X_{3}=-X_{1}-X_{2}+{\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(x^{3}+ax +b)

Y_{3}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(X_{3}-X_{1})+Y_{1}

Ezután megszerkesztjük a megoldások végtelen sorozatát, amely egy aritmetikai sorozat egy különbséggel és egy kezdeti taggal $(x,1)$

(X_{0},Y_{0})=(x^{p},(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})

A sorozat minden eleme irreducibilis relációként ábrázolható . Ezután bevezetünk egy függvényt, amely megegyezik a polinom fokával . $X_{n}={\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$ $d_{n}$ $P_{n}$

A bizonyításhoz 4 lemma kell:

1. lemma : $d_{{-1}}-d_{0}-1=N_{p}-p$

Az 1. lemma bizonyítéka:

Az összeadási képletek szerint megvan , akkor megjegyezzük, hogy a számláló foka 1-gyel nagyobb, mint a nevező foka, mivel , ahol R(x) egy 2p-t meg nem haladó fokú polinom. Számítsa ki a tört nevezőjét a szükséges csökkentésekkel! Egyrészt , másrészt, mint tudod, $X_{{-1}}=-xx^{p}+{\frac {(1+(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})^{2} (x^{3}+ax+b)}{(xx^{p})^{2}}}$ $X_{{-1}}={\frac {x^{{2p+1}}+R(x)}{(xx^{p})^{2}}}$ $(xx^{p})^{2}=(x(x-1)...(x-p+1))^{2}$

(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}=\bal({\frac {x^{3}+ax+b}{p}}\jobb)

ezért redukáláskor csak a c alakú és a c alakú tényezők esnek ki a nevezőből . Legyen az első fajtájú tényezők száma, a másodiké pedig a faktorok száma. Ekkor és ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy . A szám egyenlő -vel , mivel a maradékok minden osztálya két oldatnak, a maradékok osztályának pedig egynek felel meg. Ez bizonyítja, hogy mire van szükség. $(xk)^{2}$ ${\frac {k^{3}+ak+b}{p}}=-1$ $(xl)$ $l^{3}+al+b=0$ $m$ $n$ $d_{{-1}}=2p-2m-n+1$ $d_{0}=p$ $d_{{-1}}-d_{0}-1=p-2m-n$ $N$ $14.00-n$ $k$ $l$

2. lemma : $d_{n}=n^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)n+d_{0}$

A 2. lemma bizonyítéka:

A főlemma szerint . Nyilvánvalóan a for és a lemma igaz: legyen igaz az indexekre és , . Akkor $d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2$ $n=-1$ $n=0$ $n$ $n+1$ $n\geqslant 0$

d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2=2((n+1)^{2}-(d_{{-1}}-d_{0} -1)(n+1)+d_{0})-n^{2}+(d_{{-1}}-d_{0}-1)n-d_{0}+2=(n+2 )^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)(n+2)+d_{0})

A lemma bevált.

3. lemma : Minden n esetén, amelyre az X n függvény definiálva van, az Art. egyenlőtlenség. R n > art. Q n .

A 3. lemma bizonyítéka:

Ezt az egyenlőtlenséget úgy fogjuk bebizonyítani, hogy formálisan megkeressük a függvény értékét -nél . A következő szóköz után legyen nulla vagy az első szám $X_n$ $x=\infty$ $m$ [ adja meg ] , . Konstrukció szerint a ≠0. Tegyük fel az ellenkezőjét. Tekintettel arra, hogy a törtnek négyzetnek kell lennie, a függvény számlálójának és nevezőjének fokszáma közötti különbségnek páratlan számnak kell lennie, majd együtt ad . A számtani progresszióhoz $m\geqslant 0$ $X|_{{\infty }}=\infty$ $Y|_{{\infty ))$ ${\frac {X_{{n+1}}^{3}+aX_{{n+1}}+b}{x^{3}+ax+b}}$ $X_{{n+1}}$ $Y_{{n+1}}|_{\infty }=0$ $X_{{n+1}}|_{\infty }=0$

Y_{{n+1}}={\frac {1-Y_{n}}{X-X_{n}}}(x-X_{{n+1}})-1

Innen találjuk

{\frac {1-Y_{n}}{x-X_{n}}}(x-X_{n})|_{\infty }=1

vagy

{\frac {1-Y_{n}}{1-{\frac {X_{n}}{x}}}}|_{\infty }=1

vagyis

{\frac {Y_{n}x}{X_{n}}}|_{\infty }=1

{\frac {Y_{n}^{2}x^{2}}{X_{n}^{2}}}|_{\infty }={\frac {(X_{n}^{3}+ aX_{n}+b)x^{2}}{(x^{3}+ax+b)X_{n}^{2}}}|_{\infty }=1

Mivel , ebből az következik . Másrészről $X_{n}|_{\infty }=x|_{\infty }=\infty$ ${\frac {X_{n}}{x}}|_{\infty }=1$

X_{{n+1}}=-x-X_{n}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(x-X_{n})^{2 }}}(x^{3}+ax+b)

Innen találjuk

{\frac {X_{n}}{x}}=-1-{\frac {X_{n}}{x}}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2 }}{(1-{\frac {X_{n}}{x}})^{2}}}(1+{\frac {a}{x^{2}}}+{\frac {b} {x^{3}}})

így

{\frac {X_{{n+1}}}{x}}|_{\infty }=-1

De ebből az egyenlőségből az következik , ami ellentmond a feltevésnek . A lemma bevált. $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }$ $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }=0$

Fő lemma : . $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=2d_{n}+2$

A fő lemma bizonyítéka:

A tétel bizonyításának fő nehézségei a fő lemmára összpontosulnak. Folytassuk a bizonyítással. bármely P polinomhoz st. R jelöli ennek a polinomnak a fokát.

Közös nevezőre redukálva és a hasonló kifejezéseket összegyűjtve a megoldásösszeadási képletben azt találjuk

X_{{n-1}}={\frac {-(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}+(1+Y_{n})^ {2}(x^{3}+ax+b)Q_{n}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {(xQ_{n}+P_{ n})(xP_{n}+aQ_{n})+2bQ_{n}^{2}+2Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}}{( xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {S}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

A fent kapott két képletet tagról tagra szorozva és redukciókat végezve megkapjuk

X_{{n-1}}X_{{n+1}}={\frac {P_{{n-1)P_{{n+1}}}}{Q_{{n-1}}Q_{ {n+1))))={\frac {(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-2b(xQ_{n}+P_{n})}{(xQ_{n}-P_ {n})^{2}}}

A következő érvelés célja annak bemutatása . Ebből az egyenlőségből közvetlenül megkapjuk a főlemmát, sőt, ebből az következik $Q_{{n-1}}*Q_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}$

P_{{n-1}}*P_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-4bQ_{n}(xQ_{n}+P_{n})

jelentése Art. = Art. , mert a 3. lemma értelmében a polinom vezető tagja egybeesik a polinom vezető tagjával . Most bizonyítsuk be a szükséges egyenlőséget. $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=$ $(P_{{n-1}}P_{{n+1}})$ $(x^{2}P_{n}^{2})=2d_{n}+2$ $P_{{n-1}}P_{{n+1}}$ $x^{2}P_{n}^{2}$

Emlékezzünk vissza, hogy a polinomok tartományában egyedi faktorizáció létezik irreducibilis tényezőkké. Legyen egy irreducibilis polinom, és legyen bármilyen pozitív egész szám. Azt fogjuk mondani, hogy egy polinom szigorúan oszt valamilyen irreducibilis racionális függvényt, ha a számlálója osztható -vel, de nem osztható -val . A szükséges egyenlőség bizonyításához meg kell állapítani, hogy ha egy polinom szigorúan osztja , akkor szigorúan osztja is . Valójában akkor a hányados egy polinom, amely viszonylag prím az (xQ_n-P_n)^2 polinomhoz. De mivel a fenti egyenletből az következik, hogy a függvény polinom, akkor az előző egyenlőségekből <X_{n-1}> és <X_{n+1}> könnyen kiderül, hogy a nevezők osztják a polinomot . Így a hányados csak konstans lehet, és ez az állandó egyenlő eggyel a számlálók vezető tagjainak elfogadott normalizálása miatt . $E$ $e$ $E^{e}$ $E^{e}$ $E^{{e+1}}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{4}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $P_{n}$

A polinom összes irreducibilis osztóját három csoportra osztjuk . Az első csoportba azok a polinomok tartoznak, amelyek osztják R-t, de nem osztják S-t. Ebből azonnal következik, hogy ha egy polinom szigorúan oszt , akkor szigorúan osztja a nevezőt , és a nevezővel együtt prím . A második csoportba azok a polinomok tartoznak, amelyek osztják S-t, de nem osztják R-t. Ugyanígy kiderül, hogy ha egy polinom szigorúan osztja a nevezőt, akkor szigorúan osztja a nevezőt , és másodprím a nevezővel . Végül a harmadik csoportba azok a polinomok tartoznak, amelyek R-t és S-t is osztanak. Mivel $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n+1}}$ $Q_{{n-1}}$ $>E$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $E$

P_{n}=xQ_{n}(mód)

ezt követi

R=2Q_{n}(1-Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

S=2Q_{n}(1+Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

Egy polinom , amely egy polinomot oszt, nem oszthat, mivel és koprímek. Innen és az utolsó képletekből az következik , hogy ha osztja és , akkor szigorúan osztja a polinomot (feltételezés szerint ennek a polinomnak nincs több gyöke). $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{n}$ $P_{n}$ $Q_{n}$ $S+R=4Q_{n}^{2}(x^{3}+ax+b)módE$ $E$ $R$ $S$ $E$ $x^{3}+ax+b$

Tehát legyen egy polinom irreducibilis osztója . Tételezzük fel először, hogy ≠±1 (definíció szerint ez a jelölés azt jelenti, hogy a függvény irreducibilis reprezentációjának számlálója ±1 nem osztható -vel ). Ebből következik, hogy szigorúan oszt , mert a polinom osztható legalább -vel . Hasonlóképpen kiderül, hogy oszt , de ebből következik, hogy szigorúan oszt . $E$ $x^{3}+ax+b$ $Y_{n}$ $(mód)$ $Y_{n}$ $E$ $E$ $R$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{2}$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$

Így marad az =±1 eset ellenőrzése . Legyen például (a második is hasonlóan lesz értelmezve). Ezután szigorúan oszt . Legyen szigorúan oszt , és szigorúan oszt . Nyilvánvalóan szigorúan felosztja a funkciót is . De $Y_{n}+$ $(mód)$ $Y_{n}=-1 (mód)$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2f+1}}$ $(1+Y_{n})(X^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $E^{{2f}}$ $(1+Y_{n})^{2}(1-Y_{n})^{2}=(1-Y_{n}^{2})^{2}$

(1-Y_{n}^{2})^{2}={\frac {(x^{3}+ax-X_{n}^{2}-aX_{n}^{2})^{ 2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}={\frac {(x-X_{n})^{2}(x^{2}+xX_{n}+ X_{n}^{2}+a)^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}

Ezenkívül , ≠0 , így és ezért a szám kisebb, mint az a hatvány, amelyre szigorúan osztódik . Ezért szigorúan oszt . Innen következik, hogy szigorúan oszt . Q.E.D. $x=X_{n}(mód)$ $x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}=3x^{2}+a$ $(mód)$ $2f=2e-2$ $2f+1=2e-1$ $E$ $(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2e}}$ $RS$ $E^{{2e}}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$

Az 1. és a 2. lemma szerint ez a négyzetes trinom nem negatív értékeket vesz fel mindenre , és definíció szerint nem lehet két egymást követő nullája. Innentől azt kapjuk, hogy a diszkrimináns nem lehet pozitív, különben 2 gyök volt , és között , és számok, és nem lehetnek egyszerre egész számok. Következésképpen, $d_{n}=n^{2}-(Np)n+p$ $n$ $a,b$ $n$ $n+1$ $ab$ $a+b$

(Np)^{2}-4p\leqslant 0

így

|Np|\leqslant 2{\sqrt {p}}

. A tétel bizonyítást nyert.

Bizonyítás a Frobenius endomorfizmussal

A Hasse-tételnek van egy alternatív bizonyítása is, amely a Frobenius-endomorfizmuson alapul .

Algebrai zárással rendelkező véges mező esetén egy leképezést vezetünk be: $\mathbb {F} _{q}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{q))))$

${\begin{array}{lcl}\phi _{q}:{\overline {\mathbb {F} _{q))}\rightarrow {\overline {\mathbb {F} _{q)) }\\\qquad x\mapsto x^{q}\end{array}}$

Egy elliptikus görbe pontjaira a következőképpen hat: , . $E(\mathbb {F} _{q})$ $\phi _{q}(x,y)=(x^{q},y^{q})$ $\phi _{q}(\infty )=\infty$

A bizonyításhoz a következő 4 lemma szolgál.

Lemmák

1. lemma. A mező és a pontok feletti elliptikus görbéhez a következőt kapjuk: $E(\mathbb {F} _{q})$ $\mathbb {F} _{q}$ $(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

1) , $\phi _{q}(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

2) akkor és csak akkor, ha . $(x,y)\in E(\mathbb {{F}_{q}} )$ $\phi _{q}(x,y)=(x,y)$

2. lemma. Egy elliptikus görbe esetén a leképezés egy fokú görbe endomorfizmusa , és nem szeparálható. $E(\mathbb {F} _{q})$ ${\displaystyle \phi _{q))$ $E$ $q$ ${\displaystyle \phi _{q))$

3. lemma. Legyen egy elliptikus görbe , és legyen definiálva . Akkor $E(\mathbb {F} _{q})$ $n\geqslant 1$

1) , $\ker(\phi _{q}-1)=E(\mathbb {F} _{q^{n)))$

2) elválasztható endomorfizmus, ezért . $\phi _{q}^{n}-1$ $|E(\mathbb {F} _{q^{n)))|=\deg(\phi _{q}^{n}-1)$

4. Lemma. Jelölje . Legyenek egész számok és . Akkor . $a=q+1-|E(\mathbb {F} _{q})|=q+1-\deg(\phi _{q}-1)$ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$ $\deg(r\phi _{q}-s)=r^{2}q+s^{2}-rsa$

A 4. lemma alapján, és mivel kiderül, hogy $\deg(r\phi _{q}-s)\geqslant 0$

q{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}^{2}-a{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}+1\geqslant 0

bárhova . _ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$

A racionális számok halmaza , ahol , sűrűsége . Ennélfogva a jelöléssel megkapjuk az összes valósra igaz egyenlőtlenséget . $r/s$ $\gcd(s,q)=1$ $\mathbb {R}$ $r/s=x$ $qx^{2}-ax+1\geqslant 0$ $x$

Mivel a polinom diszkriminánsa kisebb vagy egyenlő nullával, vagyis van . $a^{2}-4q\leqslant 0$ $|a|\leqslant 2{\sqrt {q))$

A Frobenius-endomorfizmuson alapuló Hasse-tétel bizonyítása szintén a Schuf-algoritmus alapját képezi . Ez az algoritmus lehetővé teszi, hogy megszámolja egy adott elliptikus görbe pontjainak számát polinomiális időben.

Hasse-Weil határ

A Hasse-határ általánosítása magasabb nemzetség algebrai görbéire a Hasse-Weil határ. Legyen a nemzetségnek egy abszolút irreducibilis , nem szinguláris görbéje egy véges mező felett . Ekkor ezen a görbén a pontok száma kielégíti az egyenlőtlenséget $C$ $g$ $\mathbb {F} _{q}$ $\#C({\mathbb {F}}_{q})$

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leqslant 2g{\sqrt {q)).

A szokásos Hasse-korláthoz hasonlóan ez az eredmény egyenértékű a görbe lokális zéta-függvénye gyökeinek abszolút értékének meghatározásával, és analóg a Riemann-hipotézissel a görbéhez kapcsolódó függvények területén. Az elliptikus görbék esetében a Hasse-Weil határ egybeesik a szokásos Hasse-határral, mivel az elliptikus görbéknek van nemzetsége . $C$ $g=1$

A Hasse-Weil határvonal az André Weyl által 1949-ben [5] megfogalmazott és a görbék esetében bebizonyított, véges mező feletti projektív változatokra vonatkozó általánosabb Weyl-sejtések következménye.

Alkalmazás

Kriptográfia

A kriptográfia elliptikus görbéken alapuló titkosítási algoritmusokat használ. Ezeknek az algoritmusoknak a stabilitása az elliptikus görbe pontcsoportjában a diszkrét logaritmus kiszámításának bonyolultságán alapul . Mivel még mindig nincsenek gyors algoritmusok az elliptikus görbék diszkrét logaritmusának kiszámítására, az elliptikus görbék használata nagymértékben felgyorsíthatja a titkosítási algoritmusokat a használt modul méretének csökkentésével . A Hasse-tétel viszont lehetővé teszi az algoritmus kellő összetettségéhez szükséges prímszám nagyságának nagyon pontos meghatározását. $p$ $q$

Kapcsolat a helyi Riemann zeta függvénnyel

Egy mező feletti elliptikus görbe zéta-függvénye a következőképpen írható fel $E$ $\mathbb {F} _{q}$

{\displaystyle Z_{E}(t)={1-a_{q}(E)t+qt^{2} \over (1-t)(1-qt)))

ahol , és a projektív görbe affin pontjainak száma . A Riemann-sejtés a véges mezők feletti görbékre azt állítja, hogy egy függvény minden nullája az egyenesen fekszik, vagy ennek megfelelően kielégíti az egyenlőséget . ${\displaystyle a_{q}=q-N_{q))$ $N_q$ $E$ $\zeta _{E}(s)=Z_{E}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} (s)=1/2$ $|q^{s}|={\sqrt {q}}$

Könnyen kimutatható, hogy elliptikus görbékre ez a sejtés ekvivalens Hasse tételével. Valójában, ha , akkor annak a négyzetes polinomnak a gyöke, amelynek diszkriminancia a Hasse-tétel szerint. Ez azt jelenti, hogy a polinom gyökei komplex konjugált és , ami bizonyítja a Riemann-hipotézist. Ezzel szemben a Riemann-hipotézis teljesüléséhez egyenlőség tartozik , ami azt jelenti, hogy a gyökök összetett konjugáltak, ami azt jelenti, hogy a diszkrimináns nem pozitív, ami bizonyítja Hasse tételét. $Z_{E}(q^{-s})=0$ ${\displaystyle q^{s))$ $f(u)=u^{2}-a_{q}u+q$ $a_{q}^{2}-4q\leqslant 0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$ $|q^{s}|=|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ $|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$

Jegyzetek

↑ Artin, Emil . Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift : folyóirat. - Luxemburg: Springer-Verlag , 1924. - Vol. 19, sz. 1. - P. 207-246. — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01181075 . — . — MR 1544652 Archiválva : 2018. szeptember 11. a Wayback Machine -nál .
↑ Hasse, Helmut . Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III // Crelle's Journal : folyóirat. - Berlin: Walter de Gruyter , 1936. - 1. évf. 1936. sz. 175. - ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1936.175.193 . — .
↑ Hasse-féle elliptikus görbék véges mezők felett . PlanetMath . Letöltve: 2017. december 18. Az eredetiből archiválva : 2021. január 27.. (határozatlan)
↑ Bolotov A. A., Gashkov S. B., Frolov A. B., Chasovskikh A. A. Elemi bevezetés az elliptikus kriptográfiába: Algebrai és algoritmikus alapok. - M . : KomKniga, 2006. - T. 1. - 328 p. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ Weil, Andre . Egyenletek megoldásainak száma véges mezőben // Bulletin of the American Mathematical Society : folyóirat. - N. Y .: American Mathematical Society , 1949. - Vol. 55, sz. 5. - P. 497-508. — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . — MR 0029393 Archiválva : 2018. május 1. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Hurt, Norman E. (2003), Many Rational Points. Kódoláselmélet és algebrai geometria , vol. 564, Matematika és alkalmazásai , Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , MR : 2042828 , ISBN 1-4020-1766-9
Niederreiter, Harald és Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography , Princeton: Princeton University Press , MR : 2573098 ,, ISBN 978-0-6911-0288-7
V. fejezet Silverman, Joseph H. (1994), The aritmetic of elliptic curves , vol. 106, Graduate Texts in Mathematics , New York: Springer-Verlag , MR : 1329092 , ISBN 978-0-387-96203-0
Washington, Lawrence C. (2008), Elliptikus görbék. Számelmélet és kriptográfia, 2. kiadás , Diszkrét matematika és alkalmazásai , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , MR : 2404461 ,, ISBN 978-1-4200-7146-7
10. fejezet Gelfand, A.O. & Linnik, Yu.V. (1962), Elemi módszerek az analitikus számelméletben , Moszkva: Fizmatgiz
Chahal , JS & Osserman, B. (2008), The Riemann Hypothesis for Elliptic Curves , Mathematical Association of America

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg