Köbös spline

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. november 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 14 szerkesztést igényelnek .

A köbös spline egy sima függvény, amelynek definíciós tartománya véges számú szegmensre van felosztva, amelyek mindegyikén egybeesik valamilyen köbös polinommal (polinom).

Leírás

A függvény egy részekre osztott szakaszon van megadva , . Az 1. hiba köbös spline -ja (a spline mértéke és simasága közötti különbség) egy olyan függvény , amely: $f(x)$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$ $S(x)$

minden szegmensen egy legfeljebb háromfokú polinom található ; $[x_{i-1},x_{i}]$
folyamatos első és második deriváltja van a teljes szegmensen ; $[a,b]$
pontokban az egyenlőség teljesül , azaz a spline a pontokban interpolálja a függvényt . $x_{i}$ $S(x_{i})=f(x_{i})$ $S(x)$ $f$ $x_{i}$

Egy spline egyedi megadásához a felsorolt feltételek nem elegendőek, egy spline felépítéséhez további követelményeket kell támasztani - peremfeltételek:

"Természetes spline" – az űrlap peremfeltételei: ; $S''(a)=S''(b)=0$
A második derivált folytonossága - a forma peremfeltételei: ; $S'''(a)=S'''(b)=0$
Periodikus spline - a forma peremfeltételei: és . $S'(a)=S'(b)$ $S''(a)=S''(b)$

Tétel: Bármely függvényhez és egy szegmens részekre osztásához pontosan egy természetes spline felel meg a fent felsorolt feltételeknek. $f$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S_{i}(x)$

Ez a tétel az interpolációs spline létezésének feltételeiről szóló általánosabb Schoenberg -Whitney tétel következménye.

Épület

Minden szakaszon a függvény egy harmadfokú polinom , amelynek együtthatóit meg kell határozni. A kényelem kedvéért a következő formában írjuk: $[x_{i-1},x_{i}],\ i={\overline {1,N))$ $S(x)$ $Hat)$ $Hat)$

S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_ {i}}(x-x_{i})^{3}

akkor

S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{ i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N }}.

A folytonossági feltételek minden származékra a második rendig bezárólag a következőképpen vannak felírva

S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),

S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),

S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),

ahol től és az interpolációs feltételek között változik $én$ $egy$ $N,$

S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).

Jelöli $:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N))),\quad f_{i}=f(x_{i })\quad (i={\overline {0,N)))$

Innen képleteket kapunk a "természetes spline" együtthatóinak kiszámításához:

a_{i}=f(x_{i})

;

d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}

;

b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1} }{3}}\cdot h_{i}

;

c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i +1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1 }}{h_{i}}}}\jobbra)

, és ._ _

c_{N}=S''(x_{N})=0

c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0

Ha ezt figyelembe vesszük , akkor a számítás a sweep módszerrel végezhető el háromszögű mátrix esetén . $c_{0}=c_{N}=0$ $c$

Irodalom

deBoor, Carl. Gyakorlati útmutató a spline-ekhez. – New York: Springer-Verlag, 1978.
Rogers D., Adams J. A számítógépes grafika matematikai alapjai. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .
Kostomarov D.P. , Favorsky A.P. Bevezető előadások a numerikus módszerekről.
Volkov EA 1. fejezet Függvények közelítése polinomokkal. 11. § Spline // Numerikus módszerek. - Tankönyv. juttatás az egyetemek számára. - 2. kiadás, Rev. - M . : Nauka, 1987. - S. 63-68. — 248 p.

Linkek

Jegyzetek

↑ Boor, 1978 .

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg