Integrál egyenlet

Az integrál egyenlet egy olyan funkcionális egyenlet , amely egy ismeretlen függvényen keresztüli integrál transzformációt tartalmaz. Ha az integrál egyenlet egy ismeretlen függvény deriváltjait is tartalmazza, akkor integro-differenciálegyenletről beszélünk .

Integrálegyenletek osztályozása

Lineáris integrálegyenletek

Ezek olyan integrálegyenletek, amelyekbe az ismeretlen függvény lineárisan lép be:

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)

ahol a kívánt függvény, , az ismert függvények, és a paraméter. A függvényt az integrálegyenlet kernelének nevezzük . A kernel típusától és a szabad tagtól függően a lineáris egyenletek több típusra oszthatók. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(x,\;s)$ $\lambda$ $K(x,\;s)$

Fredholm-egyenletek 2. típusú Fredholm-egyenletek

A 2. típusú Fredholm-egyenletek a következő alakú egyenletek:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Az integráció határai lehetnek végesek vagy végtelenek. A változók kielégítik az egyenlőtlenséget: , a kernelnek és a szabad tagnak pedig folytonosnak kell lennie: , vagy teljesítenie kell a feltételeket: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$ $K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])$

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^ 2\,dx<+\infty.

Az utolsó feltételt kielégítő kerneleket Fredholmnak nevezzük . Ha be , akkor az egyenletet homogénnek , ellenkező esetben inhomogén integrálegyenletnek nevezzük . $f(x)\ekvivalens 0$ $[a,\;b]$

1. típusú Fredholm-egyenletek

Az 1. típusú Fredholm-egyenletek ugyanúgy néznek ki, mint a 2. típusú Fredholm-egyenletek, csak nincs az integrálon kívüli ismeretlen függvényt tartalmazó részük:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

ebben az esetben a kernel és a szabad tag teljesíti a második típusú Fredholm-egyenletekre megfogalmazott feltételeket.

Volterra- egyenletek Volterra egyenletek a 2. típusú

A Volterra-egyenletek abban különböznek a Fredholm-egyenletektől, hogy az egyik integrálási határértékük változó:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

1. típusú Volterra-egyenletek

Továbbá, ami a Fredholm-egyenleteket illeti, az 1. típusú Volterra-egyenletekben nincs ismeretlen függvény az integrálon kívül:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

Elvileg a Volterra-egyenletek a Fredholm-egyenletek speciális esetének tekinthetők, ha a kernelt újradefiniáljuk:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\ 0, & x<s\leqslant b.\end {cases}

A Volterra-egyenletek bizonyos tulajdonságai azonban nem alkalmazhatók a Fredholm-egyenletekre.

Nemlineáris egyenletek

Elképzelhetetlenül sokféle nemlineáris egyenletet találhat ki, így nem lehetséges teljes osztályozást adni nekik. Íme néhány típusuk, amelyek nagy elméleti és alkalmazási jelentőséggel bírnak.

Urysohn-egyenletek

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C (a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

Az állandó olyan pozitív szám, amelyet nem mindig lehet előre meghatározni. $M$

Hammerstein-egyenletek

A Hammerstein-egyenletek az Urysohn-egyenlet fontos speciális esetei :

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

hol van a Fredholm kernel. $K(x,\;s)$

A Ljapunov-Lichtenstein egyenletek

A lényegében nemlineáris operátorokat tartalmazó Lyapunov-Lichtenstein egyenleteket szokás elnevezni, például egy ilyen alakú egyenletet:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int \limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Nemlineáris Volterra-egyenlet

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

ahol a függvény folytonos a változói összességében. $F(x,\;s,\;\varphi)$

Megoldási módszerek

Mielőtt megvizsgálnánk az integrálegyenletek megoldásának néhány módszerét, meg kell jegyezni, hogy ezekre, valamint a differenciálegyenletek esetében nem mindig lehet pontos analitikai megoldást kapni. A megoldási mód kiválasztása az egyenlet típusától függ. Itt több módszert is megvizsgálunk a lineáris integrálegyenletek megoldására.

Laplace transzformáció

A Laplace-transzformációs módszer akkor alkalmazható integrálegyenletre, ha a benne szereplő integrál két függvény konvolúciója :

\int\limits_0^xf(xt)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

vagyis amikor a kernel két változó különbségének függvénye:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(xs)\varphi(s)\,ds.

Például a következő egyenlet alapján:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(xs)\varphi(s)\,ds.

Alkalmazzuk a Laplace-transzformációt az egyenlet mindkét oldalára:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),

\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1} {(p-1)^2}.

Az inverz Laplace-transzformációt alkalmazva a következőket kapjuk:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})' _p\Big|_{p=1}=xe^x.

Az egymást követő közelítések módszere

Az egymást követő közelítések módszerét alkalmazzuk a 2. típusú Fredholm-egyenletekre, ha a következő feltétel teljesül:

|\lambda||ba|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Ez a feltétel szükséges a Liouville-Neumann sorozat konvergenciájához :

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

amely az egyenlet megoldása. - az integrál operátor fokozata : $(K^kf)(x)$ $k$ $(Kf)(x)$

(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

Egy ilyen megoldás azonban csak elég kicsire jó közelítés . $|\lambda|$

Ez a módszer a 2. típusú Volterra-egyenletek megoldására is alkalmazható. Ebben az esetben a Liouville-Neumann sorozat bármely értékére konvergál , és nem csak a kicsikre. $|\lambda|$

A megoldó módszer

A rezolvens módszer nem a leggyorsabb megoldás a második típusú Fredholm-integrálegyenletre, de néha lehetetlen más megoldási módot megadni a probléma megoldására.

Ha bevezetjük a következő jelölést:

\begin{align} K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\ K_1(t,\;s)=K(t,\;s), \end{align}

akkor a kernel ismétlődő kernelei a kernelek lesznek : $K(x,\;s)$ $K_p(x,\;s)$

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

Ismétlődő magokból álló sorozat,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

a kernel rezolválójának nevezzük , és szabályosan konvergens -ben , valamint a Liouville-Neumann sorozat konvergenciájának fenti feltétele . Az integrálegyenlet megoldását a következő képlet ábrázolja: $K(x,\;s)$ $a\leqslant x$ $s\leqslant b$

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

Például az integrál egyenlethez

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

a következő kernelek ismétlődnek:

K_0(x,\;s)=xs,

K_1(x,\;t)=xt,

K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},

K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},

\ldots

K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

és az oldó a függvény

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\ lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Ekkor az egyenlet megoldását a következő képlet találja meg:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Algebrai egyenletre való redukció módszere

Ha a Fredholm-integrálegyenlet magja degenerált , azaz maga az integrálegyenlet redukálható algebrai egyenletrendszerré . Valójában ebben az esetben az egyenlet a következőképpen írható át: $K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)$

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{ i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

ahol . Az előző egyenlőséget megszorozva és a szegmensre integrálva egy ismeretlen számok algebrai egyenletrendszeréhez jutunk : $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds$ $g_i(x)$ $x$ $[a,\;b]$ $c_{i}$

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

ahol és vannak numerikus együtthatók. $a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx$ $b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx$

Körülbelül ezzel a módszerrel bármelyik kernellel megoldható a Fredholm-integrálegyenlet, ha a függvény Taylor-sorozatának szegmensét a valóshoz közeli degenerált kernelnek vesszük . [egy] $K(x,\;s)$

Az integrál lecserélése véges összeggel

Tekintsük a 2. típusú Fredholm integrál egyenletet: , ahol és a kívánt sorrendű folytonos származékai vannak, egy adott szám. A kvadratúra képletet használjuk: , ahol a szakaszon vannak pontok , és az együtthatók nem függenek a függvény típusától . Tekintsük az eredeti egyenletet a következő pontokban : . Cseréljük le az egyenlet bal oldalán lévő integrált a kvadratúra képlettel: . Egy lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk ismeretlenekkel , amelyek a megoldás közelítő értékei a pontokban . Az eredeti integrálegyenlet közelítő megoldásaként a következő függvényt vehetjük: [1] . $\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)$ $K(x,t)$ $f(x)$ $\lambda$ $\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $[a,b]$ $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}$ $\Phi (x)$ $x_{k}$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})$ $n$ $n$ $\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})$ $\varphi(x)$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})$

Alkalmazások

Az "integrálegyenlet" kifejezést 1888 -ban vezette be P. Dubois-Reymond , azonban az integrálegyenletekkel kapcsolatos első problémákat már korábban megoldották. Például 1811 -ben Fourier megoldotta az integrál inverziós problémát , amely ma az ő nevét viseli.

Fourier inverziós képlet

A feladat egy ismert függvényből ismeretlen függvényt keresni : $f(y)$ $g(x)$

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Fourier megkapta a függvény kifejezését : $f(y)$

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

A Cauchy-probléma redukálása integrál egyenletre

A közönséges differenciálegyenletek Cauchy-problémája nemlineáris Volterra-integrálegyenletekhez vezet :

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

Valójában ez az egyenlet integrálható -ból -be : $t$ $a$ $t$

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

A lineáris differenciálegyenletek kezdeti problémájának megoldása a 2. típusú lineáris Volterra-integrálegyenletekhez vezet. Liouville még 1837 -ben kihasználta ezt . Legyen például a feladat beállítva:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x '(a)=0.

Egy állandó együtthatójú egyenlethez azonos kezdeti feltételek mellett:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

a megoldást az állandók variációs módszerével találhatjuk meg, és a következőképpen ábrázoljuk:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^tg(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Ekkor az eredeti egyenletre kiderül:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\ ,d\tau

a 2. típusú Volterra integrál egyenlet.

Lineáris differenciálegyenlet - $n$

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t) =F(t),\qquad t>a,

x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

redukálható a 2. típusú Volterra-integrálegyenletre is.

Ábel problémája

Történelmileg úgy gondolják, hogy az első probléma, amely az integrál egyenletek figyelembevételének szükségességéhez vezetett, az Abel-probléma . 1823- ban Ábel , miközben általánosította a tautokrón problémáját, az egyenlethez jutott:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

hol van az adott függvény, és hol van a szükséges. Ez az egyenlet az 1. típusú Volterra lineáris integrálegyenlet speciális esete. Az Abel-egyenlet abból a szempontból érdekes, hogy a mechanika vagy a fizika egyik vagy másik speciális problémájának megfogalmazása közvetlenül vezet hozzá (a differenciálegyenletek megkerülésével ). Például az oszcilláció periódusából származó potenciális energia meghatározásának problémája egy ilyen típusú egyenlethez vezet [2] $f(x)$ $\varphi(x)$

Ábel megfogalmazása a problémáról valahogy így nézett ki:

Egy anyagi pont a gravitáció hatására függőleges síkban mozog egy bizonyos görbe mentén. Ezt a görbét úgy kell meghatározni, hogy az anyagi pont a görbe ordinátájú pontjában kezdősebesség nélküli mozgását megkezdve időben elérje azt a tengelyt , ahol egy adott függvény. $(\xi ,\;\eta )$ $x$ $O\xi$ $t=f_1(x)$ $f_1(x)$

Ha a pálya érintője és a tengely közötti szöget Newton törvényeinek megfelelően jelöljük ki , akkor a következő egyenlethez juthatunk: $O\xi$ $\beta$

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta )=\frac{1}{\sin\beta}.

Jegyzetek

↑ 1 2 Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Integrálegyenletek. - M .: Nauka, 1976. - S. 214.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Elméleti fizika: tankönyv. juttatás: Egyetemek számára. 10 kötetben T. I. Mechanics .. - 5. kiadás. Sztereot.. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 42-43. — 224 p. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Irodalom

Krasnov M. L. Integrálegyenletek: Bevezetés az elméletbe. — M.: Nauka, 1975.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Petrovsky I. G. Előadások a parciális differenciálegyenletekről, 3. kiadás. – 1961.
Vasziljeva A. B., Tikhonov N. A. Integrálegyenletek. - 2. kiadás, sztereotípia. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 160 p. — ISBN 5-9221-0275-3 .
Zabreiko P. P. , Koshelev A. I., Krasnoselsky M. A. Integrálegyenletek. — M.: Nauka, 1968.

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák