Kocka

A kocka vagy a kocka  egy 3. rendű sík algebrai görbe , azaz egy síkban lévő ( projektív vagy affin ) pontok halmaza, amelyet egy köbös egyenlet ad meg.

amely a projektív síkon lévő homogén koordinátákra vonatkozik. Az affin változatra való áttéréshez elegendő z = 1 értéket feltenni .

Néha egy kockát 3. rendű hiperfelületnek is neveznek egy tetszőleges méretű térben [1] .

Ékezet

A Matematikai enciklopédikus szótárban a hangsúlyos "kocka" adott [1] . Egy másik szótárban - "cubic" [2] . A köznyelvben az első szótag hangsúlyos kiejtését használják: „kocka” [3] [4] [5] [6] [7] .

Osztályozás

A kocka első osztályozását Newton adta meg 1704-ben [8] .

Newton bebizonyította, hogy bármely kockához választhat egy koordináta-rendszert, amelyben a következő formájú lesz:

• ;
• ;
• ;
• .

Ezután Newton az összes görbét osztályokra, nemzetségekre és típusokra osztotta, miközben kihagyott 6 típust . A teljes osztályozást Plücker adta [9] .

2008-ig még nem találtak hasonló besorolást az n -edrendű görbékre, ez a probléma Hilbert 16. problémája .

Tulajdonságok

• Tétel egy kocka kilenc pontjáról (Chal-tétel): adott két A és B kocka , amelyeknek 9 közös pontja van. Ha a harmadik kocka C átmegy 8-on, akkor a kilencediken.
• Felvették a kocka A pontját , és húztak belőle 2 érintőt a kockára – az egyik az A , a másik a B pontban érinti a kockát . Legyen a kocka grafikonjáról ezen érintőkkel levágott szakaszok területe X és Y . Ekkor X = 16 Y [10] .
• Ismeretes, hogy egyes kockák háromszögek, vagyis ha egy ilyen kocka grafikonját egy síkra rajzoljuk, és egy szöget adunk meg, akkor az iránytűvel és egy vonalzóval 3 egyenlő részre osztható. Nyitott probléma: bármelyik kocka triszektor?
• A ℝ²-ben lévő kockaábra összefüggő összetevőinek maximális száma 4. Például: f  ( x , y ) kocka esetén = 3 x  3 − 5 y  2 x − 4 x  2 − 10 yx + 10 y  2 − 6 x + 20 y + 12 a gráf három végtelenbe visszahúzódó görbéből és egy elszigetelt pontból áll.
• Ha egy egyenes átmegy egy kocka két inflexiós pontján, akkor átmegy egy harmadikon is.
• A kockákon bevezetheti a pontok összeadását és számokkal való szorzását, ezáltal egy elliptikus görbének nevezett algebrai struktúrát kap [11] [12] .
• Az egyenes A , B , C pontokban metszi a kockát . A kockához A , B , C pontokban visszaállított érintők a kockát másodszor is metszik a P , Q , R pontokban . Ekkor a P , Q , R pontok is ugyanabban az egyenesben fekszenek [13] [14] .

Alkalmazások

• A PostScript nyelvben köbös görbék használatosak , beleértve az 1-es típusú betűtípusokat is ( a TrueType csak másodfokú görbéket használ).
• A kocka tanulmányozását régóta a tiszta matematika példájának tekintik (nincs rá alkalmazása és nincs kilátása). A 20. század utolsó 20 évében azonban feltalálták azokat a kriptográfiai algoritmusokat, amelyek a kocka mély tulajdonságait használják, amelyeket ma (főleg) a banki titkosításban használnak, ami lendületet adott a kocka tulajdonságainak tanulmányozásának, lásd elliptikus kriptográfia .
• A háromszög nagyszámú figyelemre méltó pontja több kockát tesz ki [15] .
• Frank Morley bebizonyította a róla elnevezett híres tételt a kocka tulajdonságainak tanulmányozásával [16] .

Lásd még

• Tétel kilenc pontról egy kockán
• Háromszöggel összekötött kockák
• Elliptikus görbe
• A Newton-kocka osztályozása
• A kocka affin osztályozása
• Izometrikus ekvivalencia
• Affin ekvivalencia

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - S.  304,55 . — 845 p.
2. ↑ Orosz-portugál és portugál-orosz fizikai és matematikai szótár / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, 131. o
3. ↑ A. N. Parshin. Csoportábrázolás elmélet és algebrai geometria a YouTube -on , 1:04:26-tól kezdődően
4. ↑ S. S. Galkin. Algebrai felületek. 3. előadás a YouTube -on , 1:13:16-tól
5. ↑ G. B. Shabat. Poncelet környékén. 4. előadás Archiválva : 2016. április 6. a Wayback Machine -nél . Az Összoroszországi Matematikai Portál videótára (20 perc 18 mp)
6. ↑ S. M. Lvovsky Huszonhét sor. 3. munkamenet archiválva : 2016. április 6. a Wayback Machine -nél . Az Összoroszországi Matematikai Portál videótára (36 perc 15 mp)
7. ↑ S. A. Loktev. Csoportos ábrázoláselmélet és algebrai geometria a YouTube -on , 54:24-től
8. ↑ "Enumeratio linearum tertii ordinis" (van a "Harmadrendű görbék felsorolása" orosz fordítása D. D. Mordukhai-Boltovsky "Isaac Newton. Mathematical Works" című könyvében, 194-209. oldal, elérhető on-line oldalon oldal szerint aアーカイブされたコピーLetöltve: 2016. február 8. Az eredetiből archiválva : 2008. június 12 (határozatlan) ..
9. ↑ Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Kézikönyv a harmadrendű síkgörbék elméletéhez. — M .: Fizmatgiz , 1961.
10. ↑ Honsberger R. További matematikai falatok // Math. Assoc. amer. – Washington, DC, 1991. – p. 114-118.
11. ↑ Ostrik V. V., Tsfasman M. A. Algebrai geometria és számelmélet: racionális és elliptikus görbék . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 p. - ("Matematikai oktatás" könyvtár). — ISBN 5-900916-71-5 .
12. ↑ Szolovjov Yu. P. Rational points on elliptic curves  // Soros Educational Journal . - 1997. - 10. sz . - S. 138-143 .
13. ↑ The Cubic Curve and an Associated Structure, D.S. Macnab, The Mathematical Gazette, Vol. 50, sz. 372. (1966. május), pp. 105-110 Kiadta: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Oldalszám: 6 Archiválva : 2016. február 7. a Wayback Machine -nél .
14. ↑ Lásd még Weisstein, Eric W. Cubic [4],3][,(downlink)[2],downlink)([1].,MathWorldat WolframCurve  Wayback Machine , [5] , [6] , [ 7] (nem elérhető link) , [8] , [9] .    
15. ↑ Lásd: [10] Archivált 2008. szeptember 5-én a Wayback Machine -nél és [11] .
16. ↑ Lásd munkáját [12] Archiválva : 2008. november 25. a Wayback Machine -nél .

Linkek

• Könyvtárak egy kocka interaktív rajzolásához (elszigetelt pontok nélkül) Flash és Java nyelven .