A kocka affin osztályozása

Isaac Newton a kocka két osztályozását kapta [1] [2] . A második osztályozás [2] alapján a kockák affin osztályozását [3] kaptuk . Ezt az osztályozást a következő tétel írja le.

Tétel. Az irreducibilis köbök affin ekvivalencia osztályainak 59 családja van : 15 modalitási osztály 0; 23 család (osztály) a modalitás 1; 16 modalitáscsalád 2; 5 modalitáscsalád 3; ezeket a családokat a következő kanonikus egyenletlista képviseli.

Az affin osztályok családjainak számbavételi sorrendje Newtonhoz tartozik, a kényelem kedvéért ebben a listában szerepel. A lista minden eleme tartalmazza az affin osztályok ebbe a családjába tartozó kockák halmazának dimenzióját. Például az 1.1-es számú affin osztály minden kockája affin ekvivalens a kockával , ennek az osztálynak a kockáinak halmaza az összes kocka terében dimenzióval rendelkezik , és az affin osztályok családjának 1,7-es számú kockái affin ekvivalensek az egyparaméteres család egyik kockájára , ahol , e család kockáinak halmaza az összes kocka terében dimenzióval rendelkezik . $y^{2}=x^{3}$ $\mathbb {R} P^{9}$ $\dim =5$ $(x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $0<a<2$ $\mathbb {R} P^{9}$ $\dim =7$

Csúcsos kockákból származó osztályok, lásd az ábrát. egy.

1.1. ; . $y^{2}=x^{3}$ $\dim =5$

1.2. ; . $y=x^{3}$ $\dim =5$

1.3. ; . $x^{2}y=1$ $\dim =6$

1.4. ; . $x^{2}y=1-x$ $\dim =6$

1.5. ; . $(x-1)y^{2}+x^{3}=0$ $\dim =6$

1.6. ; . ${\displaystyle (x+1)y^{2}=x^{3))$ $\dim =6$

1.7. , hol ; . $(x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $0<a<2$ $\dim =7$

1.8. ; . $y^{2}-x^{2}yx^{3}=0$ $\dim =6$

1.9. , hol ; . $(x+1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $a > 0$ $\dim =7$

A hurkot tartalmazó kockából származó osztályok, lásd a 3. ábrát. 2.

2.1. ; . $y^{2}=x^{2}(x+1)$ $\dim =6$

2.2. , hol ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)$ $a > 0$ $\dim =7$

2.3. ; . ${\displaystyle \left(1-x\right)y^{2}=x^{2))$ $\dim =6$

2.4. , hol ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(1-x\right)$ $0<a<1$ $\dim =6$

2.5. ; . ${\megjelenítési stílus (x+1)(x-1)y+1=0}$ $\dim =6$

2.6. , hol ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)$ $a>1$ $\dim =7$

2.7. , hol és ; . $\left(x-1\right)y^{2}=bx(x+a)(yx)$ $a > 0$ $0\leq b<4$ $\dim=8$

2.8. , hol ; . $(x-1)y^{2}=ax(yx)$ $a > 0$ $\dim =7$

2.9. ; . ${\displaystyle xy=(x-1)^{3))$ $\dim =6$

2.10. , hol ; . $(x-1)y^{2}=ax(yx)$ $a<-4$ $\dim =7$

2.11. , hol és ; . $\left(1-x\right)y^{2}=bx\left(xa\right)\left(yx\right)$ $a>1$ $b>0$ $\dim=8$

2.12. , hol ; . $(x+1)(xa)y+x=0$ $a > 0$ $\dim =7$

2.13. , hol és ; . $(x+1)(xa)y+x^{2}=0$ $a > 0$ $a\neq 1$ $\dim =7$

2.14. , hol és ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}-bx^{2}y=x^{2}\left(x+1\right)$ $a > 0$ $b>0$ $\dim=8$

Elszigetelt pontú kockákból származó osztályok, lásd a 2. ábrát. 3, ahol a 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 számú családok kockáinak a koordináták origójában van egy izolált pont, a 3.3 és 3.9 számú családok kockáinak pedig a metszéspontjában. a vonal és a vonal a végtelenben , azaz. projektív koordinátákkal rendelkező pontban . $O=(0,0)$ $x=0$ $z=0$ $(0:1:0)$

3.1. ; . $y^{2}=x^{2}(x-1)$ $\dim =6$

3.2. , hol ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $a>1$ $\dim =7$

3.3. ; . $(x^{2}+1)y=x^{2}$ $\dim =6$

3.4. , hol ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=-x^{2}\left(x+1\right)$ $0<a<1$ $\dim =7$

3.5. ; . ${\displaystyle \left(x+1\right)y^{2}=-x^{2))$ $\dim =6$

3.6. , hol ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $0<a<{\frac {1}{3))$ $\dim =7$

3.7. ; . $\left(3x+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $\dim =6$

3.8. , hol ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $a>{\frac {1}{3}}$ $\dim =7$

3.9. , hol ; . $y(x^{2}+ax+1)=x$ $0\leq a<2$ $\dim =7$

3.10. , hol és ; . $(1-x)y^{2}+bx(xa)(yx)=0$ $0<a<1$ $0<b<4$ $\dim=8$

3.11. , hol ; . $(x+1)y^{2}+ax(y+x)=0$ $0<a<4$ $\dim =7$

3.12. , hol , és ; . $\left(x+1\right)y^{2}-bx(xa)(y+x)=0$ $a > 0$ $b>0$ $a<{\frac {(a+1)(b+2-{\sqrt {b^{2}+4b)))}{2(b+4)-(a+1)\left( b+2+{\sqrt {b^{2}+4b}}\jobbra)}}$ $\dim=8$

Az egyszerű kockákból származtatott osztályok, lásd az ábrát. négy.

4.1. , hol ; . $y^{2}=x\left[\left(xa\right)^{2}+1\right]$ $a\in \mathbb {R}$ $\dim =7$

4.2. , hol és ; . $xy^{2}=-(x+a)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b\in \mathbb {R}$ $\dim=8$

4.3. , hol ; . $xy^{2}=-\left[\left(xa\right)^{2}+1\right]$ $a\in \mathbb {R}$ $\dim =7$

4.4. , hol és ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b<{\frac {a^{2}-4}{4a))$ $\dim=8$

4.5. , hol ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(x-{\frac {a^{2}-4}{4a}}\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $\dim =7$

4.6. , hol és ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b>{\frac {a^{2}-4}{4a))$ $\dim=8$

4.7. , hol , és ; . $xy^{2}=c[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\in \mathbb {R}$ $b\geq 0$ $-4<c<0$ $\dim=9$

4.8. , hol , és ; . $xy^{2}=-4[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\in \mathbb {R}$ $b\geq 0$ $b\neq 2a$ $\dim=8$

4.9. , ahol , , , , , , és ; . $xy^{2}=c[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\in \mathbb {R}$ $b\geq 0$ ${\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac-2b$ $0<c<2\left[a^{2}-ab+1+{\sqrt {(a^{2}-ab+1)^{2}+b^{2))}\jobbra ]$ ${\frac {ac+2b+{\sqrt {(ac+2b)^{2}-c(c+4)(a^{2}+1)}}}{c+4}}<{ \frac {(c+4)(a^{2}+1)(\beta -b)}{(2a-b)^{2}-(c+4)(a^{2}+1)( \alpha +1)}}$ ${\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac+2b$ $\alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}$ $\beta =-c\left[a-{\frac {a(c+2)+b}{\sqrt {c^{2}+4c))}\jobbra]$ $\dim=9$

Az ovális kockákból származó osztályok, lásd a 3. ábrát. 5.

5.1. , hol ; . $y^{2}=x(x+1)(x+a)$ $a>1$ $\dim =7$

5.2. , hol ; . $xy^{2}=-(x+1)(x+a)(x+b)$ $1<a<b$ $\dim=8$

5.3. , hol ; . $xy^{2}=-(x+1)(x+a)$ $a>1$ $\dim =7$

5.4. , hol és ; . $xy^{2}=-(x+a)(x+1)(xb)$ $a>1$ $b>0$ $\dim=8$

5.5. , hol ; . $xy^{2}=(x+1)(xa)$ $a>0$ $\dim =7$

5.6. , hol ; . $xy^{2}=-(x+1)(xa)(xb)$ $0<a<b$ $\dim=8$

5.7. , hol ; . $xy^{2}=-(x-1)(xa)$ $a>1$ $\dim =7$

5.8. , hol és ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)(xb)$ $0<a<1<b$ $b>({\sqrt {a}}+1)^{2}$ $\dim=8$

5.9. , hol ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)[x-({\sqrt {a}}+1)^{2}]$ $0<a<1$ $\dim =7$

5.10. , hol és ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)(xb)$ $0<a<1<b$ $b<({\sqrt {a}}+1)^{2}$ $\dim=8$

5.11. , hol , és ; . $xy^{2}=c(x+1)(x+a)(x+yb)$ $a>1$ $b>-1$ $-4<c<0$ $\dim=9$

5.12. , hol és ; . $xy^{2}=b(x+1)(x+ya)$ $a>-1$ $b\in {\mathbb {R}}$ $\dim=8$

5.13. , hol , és ; . $xy^{2}=c(x+1)(xa)(x+yb)$ $a>0$ $-1<b<a$ $c>0$ $\dim=9$

5.14. , hol és ; . $xy^{2}=-4(x+1)(x+a)(x+yb)$ $a>1$ $b>-1$ $\dim=8$

5.15. , ahol , , , , , ; . $xy^{2}=c(xa)(x-1)(x+yb)$ $0<a<1<b$ $c>0$ ${\frac {ac\left(\beta -b\right)}{\beta ^{2}-c\left[a\left(\alpha +1\right)-(a+1)\left (\beta -b\right)\right]}}>{\frac {c(a+1)+4b+{\sqrt {\mathcal {D}}}}{2(c+4)))$ ${\mathcal {D}}=[c(a-1)+4b]^{2}+16c(ba)$ $\alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}$ $\beta ={\frac {c\left[b+(a+1)\left(\alpha +1\right)\right]}{c-2\alpha }}$ $\dim=9$

Lásd még

Irodalom

↑ Newton I. "Enumeratio linearum tertii ordinis". — in "The mathematical papers of Isaac Newton" (DT Whiteside, szerk.): Cambridge Univ. Press , V. 7, 1976, pp. 565-645. Orosz fordítás: "A harmadrendű görbék felsorolása" Isaac Newtonban, "Mathematical Works" (latinból fordította: D. D. Morduchai-Boltovsky ), 1937, 194-209. oldal, oldalról oldalra on-line elérhető itt: Archív példány (elérhetetlen ) link) . Hozzáférés dátuma: 2016. február 8. Az eredetiből archiválva : 2008. június 12. . (határozatlan)
↑ 1 2 Newton I. "A végső 'Geometriæ libri duo'". — in "The mathematical papers of Isaac Newton" (DT Whiteside, szerk.): Cambridge Univ. Press , V. 7, 1976, pp. 402-469.
↑ Korchagin A. B., A nem bomló kockák newtoni és affin osztályozása, Algebra i Analiz, 24. kötet (2012), 5. szám, 94–123. angol ford.: Korchagin AB, Az irreducibilis köbök newtoni és affin osztályozása, St. Petersburg matek. J., Vol. 24, 2013, pp. 759-781.