Matematika és képzőművészet

A matematika és a művészet többféleképpen kapcsolódik egymáshoz. Maga a matematika művészeti ágnak tekinthető, hiszen sajátos szépség található benne . A matematikai gondolkodás nyomai megjelennek a zenében, a táncban, a festészetben, az építészetben, a szobrászatban és a szövésművészetben. Ezt a cikket a matematika és a képzőművészet kapcsolatának szenteljük.

A matematika és a művészet kapcsolata hosszú múltra tekint vissza. A festők a Kr.e. IV. századtól folyamodtak a matematikai fogalmakhoz. e. Az ókori görög szobrász , az idősebb Polikleitos , feltehetően megalkotta a "Canon" kompozíciót és egy szobrászati ​​modellt (közelítőleg megőrizve) a sportoló ideális alakjáról. Többször felvetették, hogy ókori művészek és építészek használták az aranymetszetet , de erre nincs komoly bizonyíték. Luca Pacioli olasz matematikus , az itáliai reneszánsz egyik fontos alakja, Leonardo da Vinci rajzai alapján írta meg az Isteni arány ( latinul:  De Divina Proportione ) című értekezését , amelyet fametszetekkel illusztráltak . Egy másik olasz festő , Piero della Francesca Eukleidész perspektívával kapcsolatos elképzeléseit dolgozta ki a Perspektíva a festészetben című értekezésével ( olaszul: De Prospectiva Pingendi ). Albrecht Dürer metsző a híres " Melankólia " metszetén sok rejtett szimbolikus utalást adott a geometriára és a matematikára. A 20. századi grafikus, M. C. Escher , Harold Coxeter matematikus tanácsával , széles körben használta a parketta és a hiperbolikus geometria képeit . A Theo van Doesburg és Piet Mondrian vezette " De Stijl " mozgalom művészei kifejezetten geometrikus motívumokat használtak. A matematika hatással volt a kötés , hímzés , szövés és szőnyegszövés különböző formáira . Az iszlám művészetet a perzsa és marokkói falazatban található szimmetriák , a perforált mogul kőfalak és a közönséges méhsejt-boltozatok jellemzik .  

A matematika olyan eszközöket adott a művészeknek, mint a lineáris perspektíva, a szimmetriák elemzése, és mindenféle geometriai objektumot, például poliédereket vagy Möbius-szalagot . A tanítási gyakorlat ihlette Magnus Weningert , hogy többszínű csillag alakú poliédereket alkosson . Rene Magritte festményei és Escher metszetei rekurziót és logikai paradoxonokat alkalmaznak. A fraktálgrafikák elérhetőek a számítógépes művészeti ágak számára, különösen a Mandelbrot-készlet megjelenítéséhez . Egyes közlemények sejtautomatákat mutatnak be . David Hockney művész azzal a hevesen vitatott hipotézissel állt elő, hogy kollégái a reneszánsz óta használták a camera lucidát a jelenetek pontos ábrázolására. Philip Steadman építész azt állítja, hogy Jan Vermeer egy camera obscurát használt .

A matematika és a művészet kapcsolata sok más módon is kifejeződik. A műtárgyakat algoritmikus elemzésnek vetik alá röntgen-fluoreszcencia spektroszkópiával . A Jáva egész területéről származó hagyományos batikolás fraktáldimenziója 1-2 . Végül a művészet néhány matematikai kutatásra adott okot. Filippo Brunelleschi építészeti rajzok készítésekor fogalmazta meg a perspektíva elméletét, majd később Gérard Desargues fejlesztette ki, lerakva a projektív geometria alapjait . Az Isten-geométer pitagoraszai elképzelése összhangban van a szakrális geometria elveivel , ami a művészetben is tükröződik. Tipikus példa a The Great Architect William Blake -től .

Eredet: Az ókori Görögország a reneszánszig

Polyclete "Canon" és "szimmetriája"

Az ókori művészet történetében a „négyzet alakú figurák” kifejezés ismert (( ógörögül τετραγωνος ). Az ókori római író Idősebb Plinius (i.sz. 23-79) az ókori görög szobrász bronzszobrait „szögletesnek” nevezte ( lat . .  signa quadrata ) az idősebb Polycletus argive iskolájának ( i.e. 450-420 körül), különösen a híres Doryphorus és Diadumen . , ami azt sugallja, hogy a „négyzet” szó nem a szobor sziluettjének természetét, hanem az arányosítás módját jelölheti, amelyet Poliklet „ Canon ” [2] elméleti munkájában ismertetett . A traktátus, ha létezett, nem fennmaradt, de úgy vélik, hogy a szobrász illusztrációként ugyanazt a lándzsatartót alkotta meg, akit később Doryphoros néven [3] . A szerző szándéka szerint a „Kánon” az ideális anatómiai arányok mércéjét kívánta felállítani az ábrázolásban. a férfialak.

Az ókori görög filozófus , Platón (i.e. 427-347) megemlítette a geometriai módszert, amellyel egy négyzet területét megkétszerezték úgy, hogy egy nagyobb négyzetet építenek az átlójára. A második négyzet az első négy "felet" tartalmaz, ezért a területe kétszer akkora [4] . Ez a legegyszerűbb konstrukció fontos szabályszerűséget tartalmaz. A négyzet átlója irracionális mennyiség. Ha egy négyzet oldalát 1-nek vesszük, akkor az átlója egyenlő vagy 1,414... Így egy négyzeten és annak átlóján alapuló mértékrendszer kettősséget, az egyszerű egészek és irracionális számok közötti kapcsolatok polifonikus elvét hordozza.

A Polykleitos képében látható sportolók szobrai valóban „négyzet alakúak” (más fordításban „széles arányok”). Arányaik elemzésekor kiderül, hogy az ábra modulja a négyzet oldala, amelynek átlója a nagyobb négyzet oldalaként szolgál stb. Ennek eredményeként a szoborvonal minden része arányosan felfelé a "páros mértékek" rendszerében: racionális és irracionális kapcsolatok. Tehát az egész figura magassága két, négy és nyolc részre oszlik (az ábra feje a magasság 1/8-a). A plasztikus mozgás során azonban (a sportoló az egyik lábán nyugszik, a második láb térdre hajlik és hátra van állítva) irracionális kapcsolatok keletkeznek. Ha egységnek vesszük (egy kis négyzet oldalát) a figura felső részét (függetlenül a tényleges méretétől) - a fejet és a törzset a csípőtarajig (amelyen a ferde izmok fekszenek) - egységnek, akkor a figura alsó része (medencei öv és támasztóláb) 1,618 lesz (a nagyobb négyzet oldala). Ennek megfelelően az ábra teljes magassága 2,618. Ezeket a kapcsolatokat az ókori egyiptomiak által felfedezett „ aranymetszet ” mintája köti össze, amely egyetemes [5] .

A „Kánon” hatása kiterjedt az ókori Görögország, az ókori Róma és a reneszánsz szobrászatára. Polykleitos egyik munkája sem maradt fenn a mai napig, a fennmaradt márványmásolatok hozzávetőlegesek és jelentősen eltérnek egymástól. Maga az értekezés szövege is elveszett, bár az ókori szerzők idézetei és megjegyzései megmaradtak [3] . Egyes tudósok azzal érvelnek, hogy Polikletre a pitagoreusok tanításai voltak hatással [6] . A "Canon" az ókori görög geometria alapfogalmaival operál: arány, arány és szimmetria. A "Canon" rendszer lehetővé teszi az emberi alak folyamatos geometriai progressziókkal történő leírását [7] .

Perspektíva és arány

Az ókorban a művészek nem folyamodtak lineáris perspektívához . Az objektumok méretét nem távoli elhelyezkedésük, hanem tematikai fontosságuk határozta meg. Egyes középkori festők fordított perspektívát használtak , hogy felhívják a figyelmet a különösen jelentős alakokra. 1021-ben Ibn al-Khaytham iszlám matematikus megfogalmazta az optika elméletét , de nem alkalmazta azt műtárgyakra [8] . A reneszánsz az ókori görög és római kulturális hagyományok helyreállításához kötődik. Felelevenedtek a matematika természet- és művészettanulmányozási alkalmazásának gondolatai is . A késő középkor és a reneszánsz művészeit két okból is érdekelte a matematika. Először is a festők azt akarták tudni, hogyan lehet pontosan ábrázolni háromdimenziós tárgyakat egy kétdimenziós vászonfelületen. Másodszor, a művészek, mint egyes filozófusok, hittek a matematikában, mint a fizikai világ igazi lényegében; a képzőművészet, mint ennek az univerzumnak a része, alá van vetve a geometria törvényeinek [9] .

A perspektíva kezdetét Giotto (1266-1337) látja, aki távoli tárgyakat festett a vonalak perspektivikus helyzetének algebrai meghatározásával. Filippo Brunelleschi építész 1415- ben barátjával , Leon Battista Albertivel együtt bevezette Firenzében a perspektíva létrehozásának geometriai módszerét. Eukleidész hasonló háromszögeinek felhasználásával kiszámították a távoli objektumok látszólagos magasságát [10] [11] . A Brunelleschi perspektívájú festményei elvesztek, de Masaccio Szentháromsága lehetővé teszi, hogy az elvet működés közben lássuk [8] [12] [13] . Paolo Uccello (1397-1475) olasz festőt magával ragadta az új technika. A " San Romano-i csatában " törött lándzsákat helyezett el a perspektíva vonalak közé [14] [15] .

Piero della Francesca (kb. 1415-1492) munkája az olasz reneszánsz új ideológiára való átmenetének példája. Jelentős matematikusként és különösen geometrikusként a sztereometriáról és a perspektívaelméletről írt műveket . Közéjük tartozik a " Perspektíva a festészetben " ( olaszul:  De Prospectiva Pingendi ), a "Treatise on Accounts" ( olaszul:  Trattato d'Abaco ) és a "A szabályos poliéderekről" ( olaszul:  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Giorgio Vasari történész " Életrajzaiban " Pierót "kora, és talán minden idők legnagyobb geometriájának" nevezi [19] . Piero perspektíva iránti érdeklődését a Szent Antal poliptichon [ 20] , a Szent Ágoston oltárkép és a Jézus Krisztus megkorbácsolása című műveiben láthatjuk . Geometriai kutatásai hatással voltak a matematikusok és művészek következő generációira, köztük Luca Paciolira és Leonardo da Vincire . Ismeretes, hogy Pierrot az ókori matematikusok munkáit tanulmányozta, köztük Arkhimédészt is [21] . Pierrot kereskedelmi aritmetikai képzést kapott az „ abakusz iskolájában ”; értekezései ugyanolyan stílusban készültek, mint az "iskola" [22] tankönyvei . Talán Piero ismerte Fibonacci " Az abakusz könyvét " (1202) . A lineáris perspektíva fokozatosan behatolt a művészet világába. A "Festészetről" című értekezésében ( olaszul: De pictura , 1435) Alberti ezt írta: "a fénysugarak a kép pontjaiból egyenes vonal mentén haladnak a szem felé, piramist képezve , ahol a szem a csúcs." A lineáris perspektíva elve szerint festett kép ennek a piramisnak egy metszete [23] .  

A Perspective in Painting című művében Piero a perspektívával kapcsolatos empirikus megfigyeléseit matematikai kifejezésekké és bizonyításokká alakítja át. Eukleidész nyomán egy pontot úgy definiál, mint „a legkisebb szemmel érzékelhető tárgyat” ( olaszul:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] . Piero a háromdimenziós testek kettős ábrázolásához vezeti el az olvasót. -dimenziós felület deduktív érveléssel [24] .

David Hockney kortárs művész azt állítja , hogy kollégái az 1420-as évektől a camera lucidát használták , ami a festmények pontosságának és valósághűségének drámai növekedéséhez vezetett. Úgy véli, hogy Ingres , van Eyck és Caravaggio [25] is használta ezt az eszközt . A szakértői vélemények ebben a kérdésben megoszlanak [26] [27] . Philip Steadman építész egy másik ellentmondásos hipotézisnek [28] adott hangot Vermeer camera obscura [29] használatával kapcsolatban .

1509-ben Lukács (kb. 1447-1517) kiadott egy értekezést "Az isteni arányról", amelyet az arány matematikai és művészi vonatkozásainak szenteltek , beleértve az emberi arcot is. Leonardo da Vinci (1452–1519), aki az 1490-es években Paciolinál tanult, szabályos poliéderekből készült fametszetekkel illusztrálta szövegét. A da Vinci által készített drótvázas poliéderképek az első ilyen jellegű illusztrációk, amelyek eljutottak hozzánk [30] . Ő volt az elsők között , aki más figurák arcára épített poliédereket (beleértve a rombikubotaédert is) ábrázolta – Leonardo így mutatta be a perspektívát. Maga a traktátus a perspektíva leírásának szenteli Piero della Francesca, Melozzo da Forli és Marco Palmezzano [31] műveiben . Da Vinci úgy tanulmányozta Pacioli "Összegét", hogy táblázatokat másolt az arányokkal [32] . Mind a " Gioconda ", mind az " Utolsó vacsora " a lineáris perspektíva elvén épül fel egy eltűnési ponttal , amely látható mélységet ad a képnek [33] . Az Utolsó vacsora a 12:6:4:3 arányokat használja – ezek megtalálhatók Raphael Athéni Iskolájában is . A rajta ábrázolt Pythagoras egy ideális arányú táblázatot tart, amelyhez a püthagoreusok szent jelentést tulajdonítottak [34] [35] . A Vitruvius Man Leonardo a római építész, Vitruvius elképzeléseit tükrözi ; két egymásra helyezett férfialak van körbe és négyzetbe is beírva [36] .

A vizuális torzítások iránt érdeklődő festők már a 15. században görbe vonalú perspektívát alkalmaztak . Jan van Eyck " Arnolfinis portréja " (1343) domború tükre a hősök alakját tükrözi [37] . "Önarckép domború tükörben" (1523-1524 körül) Parmigianino a művész szinte torzítatlan arcát és erősen ívelt hátterét és a szélén elhelyezkedő kezét ábrázolja [38] .

A háromdimenziós objektumok meglehetősen meggyőzően ábrázolhatók anélkül, hogy perspektívát alkalmaznánk. A ferde vetületeket , beleértve a lovas perspektívát is (amelyet a 18. századi francia harci festők erődítmények festésére használtak), folyamatosan és mindenütt megfigyelhető a kínai művészek körében az 1-2. századtól a 18. századig. Ez a hagyomány a kínaiakhoz Indiából, oda pedig az ókori Rómából érkezett. A ferde vetítés a japán művészetben látható, például Torii Kiyonaga ukiyo-e festményein [39] .

Aranyarány

Az aranymetszés körülbelül 1,618-at még Eukleidész is ismerte [40] . Sok kortárs állítja [41] [42] [43] [44] , hogy az ókori Egyiptom, az ókori Görögország művészetében és építészetében használták , de erre nincs megbízható bizonyíték [45] . Ennek a feltevésnek az oka lehet az aranymetszés és az "arany középút" közötti összekeverés, amelyet a görögök "a felesleg hiányának bármely irányban" [45] neveztek . A piramidológusok a 19. század óta beszélnek az aranymetszés használatáról a piramisok tervezésében, álláspontjukat kétes matematikai érvekkel érvelve [45] [46] [47] . Valószínűleg a piramisok vagy egy 3-4-5 oldalú háromszögre épültek (hajlásszög - 53 ° 8'), amelyet az Ahmes papirusz említ, vagy egy π koszinuszú háromszög alapján. / 4 (dőlésszöge - 51 ° 50 ') [48] . A Kr.e. V. században épült Parthenon homlokzata és padlózata . e. Athénban , állítólag az aranymetszés alapján tervezték [49] [50] [51] . Ezt az állítást valós mérések is cáfolják [45] . Úgy tartják, hogy az aranymetszés a tunéziai Kairouan Nagymecset tervezésénél is felhasználható volt [52] . Ez az érték azonban nem található meg a mecset eredeti tervében [53] . Frederic Makody Lund építészettörténész 1919-ben kijelentette, hogy a Chartres-i székesegyház (XII. század), a Lane (1157-1205) és a párizsi Notre-Dame-székesegyház (1160) az aranymetszés elvének megfelelően készültek [54] . Egyes kutatók azzal érvelnek, hogy Pacioli művének 1509-es publikálása előtt a szakaszt sem a művészek, sem az építészek nem ismerték [55] . Például a Notre-Dame de la Lane homlokzatának magassága és szélessége 8/5 vagy 1,6, de nem 1,618. Ez az arány az egyik Fibonacci-arány , amelyet nehéz megkülönböztetni az aranymetszéstől, mert 1,618-hoz konvergál [56] . Az aranymetszés Pacioli követőinél, köztük Leonardo Giocondájánál [57] figyelhető meg .

Síkszimmetriák

A síkbeli szimmetriákat több ezer éve figyelték meg a szőnyegszövésben, a burkolatban, a szövésben és a rácsos tárgyak létrehozásában [58] [59] [60] [61] .

Sok hagyományos szőnyeg, akár bozontos, akár kilim (lapos szövésű), középső medalionra és szegélyre van osztva. Mindkét rész tartalmazhat szimmetrikus elemeket, míg a kézzel készített szőnyegek szimmetriáját gyakran sértik a szerző részletei, minta- és színváltozatai [58] . Az anatóliai kilimek motívumai gyakran önmagukban szimmetrikusak. Az általános minta magában foglalja a csíkok jelenlétét, beleértve a szaggatott motívumokat is, és a hatszögletű formák hasonlóságát. A központi rész a pmm tapétacsoporttal , míg a keret a pm11, pmm2 vagy pma2 szegélycsoportokkal jellemezhető. A törökországi és közép-ázsiai kilimeknek általában legalább három határa van, amelyeket különböző csoportok írnak le. A szőnyegkészítők határozottan a szimmetriára törekedtek, bár annak matematikáját nem ismerték [58] . Nikos Salingaros matematikus és építészeti teoretikus úgy véli, hogy a szőnyegek esztétikai hatását speciális matematikai technikák adják, közel Christopher Alexander építész elméleteihez . Példaként a 17. századi Konian szőnyegeket említi két medalionnal. Ezek a technikák ellentétes tárgypárok felépítését foglalják magukban; színkontraszt; a területek geometriai megkülönböztetése kiegészítő ábrák vagy éles sarkok koordinációja segítségével; összetett ábrák bemutatása (egyedi csomópontokkal kezdve); kis és nagy szimmetrikus figurák építése; figurák reprodukálása nagyobb léptékben (az egyes új szintek aránya az előzőhöz képest 2,7). Salingaros azt állítja, hogy minden sikeres szőnyeg tíz feltételből legalább kilencnek megfelel. Sőt, lehetségesnek tartja az adott mutatók esztétikai mérőszámba öltöztetését [62] .

Az ügyes indiai jali rácsok , amelyeket márványból készítettek, palotákat és sírokat díszítenek [59] .  A 17 tapétacsoportból 14-ben szerepelnek a mindig valamilyen szimmetriával felruházott kínai rácsok - gyakran tükrözött , dupla tükrözött vagy forgó . Némelyiknek középső medalionja van, van, amelyiknek szegélycsoporthoz tartozó éle [63] . Daniel S. Dai számos kínai rácsot elemzett matematikailag. Meg tudta állapítani, hogy e művészet központja Szecsuán tartomány [64] .

A szimmetriák gyakoriak az olyan textilművészetekben, mint a foltvarrás [60] , a kötés [65] , a horgolás [66] , a hímzés [67] [68] , a keresztszemes hímzés és a szövés [69] . Figyelemre méltó, hogy az anyag szimmetriája lehet pusztán dekoratív, vagy szimbolizálhatja a tulajdonos státuszát [70] . A kör alakú tárgyakban forgásszimmetria fordul elő. Számos kupola kívül-belül szimmetrikus mintákkal díszített, ilyen például az iszfaháni Lutfulla sejk mecset (1619) [71] . A reflexiós és forgásszimmetria jellemző a terítők és asztalszőnyegek hímzett és csipkeelemeire, amelyeket orsóval vagy tetszéstechnikával készítettek . Ezeket az objektumokat is matematikai vizsgálatnak vetik alá [72] .

Az iszlám művészet számos formában mutat szimmetriát, különösen a perzsa girih mozaik formájában . Öt csempézett alakzat alkotja: egy szabályos tízszög, egy szabályos ötszög, egy hosszúkás tízszög, egy rombusz és egy csokornyakkendőre emlékeztető figura . Ezeknek az ábráknak minden oldala egyenlő, minden szögük a 36° többszöröse (π/5 radián ), ami ötszörös és tízszeres szimmetriát ad. A csempét egy összefonódó dísz (a tulajdonképpeni girih) díszíti, amely általában jobban látható, mint a csempe szélei. 2007-ben Peter Lu és Paul Steinhardt fizikusok megállapították a girih és a kvázi kristályos Penrose csempék hasonlóságát [73] . A marokkói építészet jellegzetes eleme a geometriailag igazított zellige csempék [61] . A méhsejt-saodok vagy muqarnák háromdimenziósak, de - geometriai cellák rajzolásával - két dimenzióban készültek [74] .

Poliéder

A szabályos poliéderek  a nyugati művészet egyik leggyakoribb tárgya. A kis csillagos dodekaéder például a velencei Szent Márk-bazilika márványmozaikjain található ; a szerzőséget Paolo Uccellonak tulajdonítják [14] . Da Vinci szabályos poliédereit Luca Pacioli Az isteni arányról című műve illusztrálja [14] . Az üveg rombikubotaéder Jacopo de Barbari Pacioli portréján (1495) található [14] . Egy csonka poliéder és sok más, a matematikához kapcsolódó tárgy szerepel Durer „ Melankólia ” című metszetén [14] . Salvador Dali utolsó vacsorája Krisztust és tanítványait egy óriási dodekaéderben ábrázolja .

Albrecht Dürer (1471–1528), a német reneszánsz metszője és grafikusa az "Útmutató a méréshez" ( németül  Underweysung der Messung ) 1525-ös kiadásával járult hozzá az elmélethez. A mű a lineáris perspektívának, az építészet geometriájának, a szabályos poliédereknek és a sokszögeknek szenteli. Valószínűleg Dürert Pacioli és Piero della Francesca munkái ihlették olaszországi utazásai során [75] . A „Mérési útmutató” perspektívamintái nem teljesen kidolgozottak és pontatlanok, de Dürer teljesen megvilágította a poliédert. Ebben a szövegben említik először a poliéder kialakulását, vagyis egy (például papír) poliéder kibontását lapos, nyomtatható figurává [76] . Dürer másik nagy hatású műve a Négy könyv az emberi arányokról ( németül:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

Dürer híres metszete "Melancholia" egy szomorú gondolkodót ábrázol, aki egy csonka háromszögletű trapézéderen és egy varázstéren ül [1] . Ez a két tárgy és a metszet egésze érdekli a legnagyobb érdeklődést a modern kutatók számára Dürer összes munkájában [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster kétkötetes könyvet adott ki a Melankóliáról [80] , míg Erwin Panofsky monográfiájában [1] [81] tárgyalja a munkát . Salvador Dali " Hiperkocka teste " egy hiperkocka háromdimenziós kibontását tartalmazza  – egy négydimenziós szabályos poliédert [82] .

Fraktál méretek

A hagyományos indonéz batikolt festészet viaszt használ tartalékként. Motívumai megfelelhetnek a környező világ elemeinek (például növények), vagy lehetnek absztraktak, akár kaotikusak. Előfordulhat, hogy a tartalékot nem pontosan alkalmazzák, a viasz repedése (repedése) fokozza a véletlenszerűség hatását. A festmény fraktáldimenziója 1-2, származási régiótól függően. Például a cireboni batik mérete 1,1, a Yogyakarta és Surakarta (Közép - Jáva ) batikolás mérete 1,2-1,5; A Lasem (Észak-Jáva) és Tasikmalai (Nyugat-Jáva) mérete 1,5-1,7 [83] .

A kortárs művész, Jackson Pollock csepegtető technikával készült munkája fraktáldimenziójáról is figyelemre méltó: A "Number 14" ( eng.  Number 14 , 1948) festmény mérete 1,45. Későbbi munkáit magasabb dimenzió jellemzi, ami a minták jobb tanulmányozására utal. Pollock egyik utolsó festménye , a  Blue Poles 1,72-es, és hat hónapig tartott elkészülni .

Összetett kapcsolatok

Galileo Galilei csillagász a „The Assay Master ” című értekezésében azt írta, hogy a világegyetem a matematika nyelvén van megírva , és ennek a nyelvnek a szimbólumai háromszögek, körök és egyéb geometriai alakzatok [85] . Galilei szerint a természetet megismerni vágyó művészeknek mindenekelőtt a matematikához kell érteniük. A matematikusok ezzel szemben a geometria és a racionalitás (a szó matematikai értelmében) prizmáján keresztül próbálták elemezni a képzőművészetet. Felipe Kuker matematikus azt javasolta, hogy ez a tudomány, és különösen a geometria, a "szabályvezérelt művészi alkotás" ( eng.  "rule-driven artistic creation" ) szabályrendszereként szolgáljon, bár nem az egyetlen [86] . Ennek az összetett kapcsolatnak néhány különösen figyelemreméltó példáját az alábbiakban ismertetjük [87] .

A matematika mint művészet

Jerry P. King matematikus a matematikáról mint művészetről ír, és azt állítja, hogy ennek kulcsa a szépség és az elegancia, nem pedig az unalmas formalizmus. King úgy véli, hogy a szépség az, ami motiválja a kutatókat ezen a területen [88] . Idézi egy másik matematikus, G. H. Hardy „ Apology of a Mathematician ” (1940) című esszéjét , amelyben megvallja szerelmét két ősi tétel iránt: az Euklidész prímszámok végtelenségének bizonyítása és a kettő négyzetgyökének irracionalitása iránt. King ez utóbbit Hardy matematikai szépségkritériumai szerint értékeli : komolyság, mélység, általánosság, meglepetés, elkerülhetetlenség és gazdaságosság (King dőlt betűje), és arra a következtetésre jut, hogy a bizonyíték „esztétikailag vonzó” [89] . Erdős Pál magyar matematikus is beszél a matematika szépségéről, amelynek nem minden dimenziója fejezhető ki szavakkal: „Miért szépek a számok? Ez egyenértékű lenne azzal a kérdéssel, hogy Beethoven Kilencedik szimfóniája miért szép . Ha nem látod, senki sem tudja elmagyarázni neked. "Tudom", hogy a számok gyönyörűek." [90] [91]

A művészet matematikai eszközei

A vizuális művészetekkel összefüggésben a matematika számos eszközt ad az alkotónak, mint például a Brook Taylor és Johann Lambert által leírt lineáris perspektívát, vagy a leíró geometriát , amelyet már Albrecht Dürer és Gaspard Monge is megfigyelt , és amelyet ma háromdimenziós modellezés szoftveres modellezésére használnak. objektumok [92] . A középkor (Pacioli) és a reneszánsz (da Vinci és Dürer) óta a művészek kreatív célokra használták a matematika vívmányait [93] [94] . Az ókori görög építészet perspektívájának alapjait leszámítva széles körű alkalmazása a 13. században kezdődött, úttörői közé tartozott Giotto is . Az eltűnési pont szabályát Brunelleschi fogalmazta meg 1413-ban [8] . Felfedezése nemcsak da Vincit és Dürert ihlette meg, hanem Isaac Newtont is , aki az optikai spektrumot tanulmányozta , Goethét , aki a „ Színelméletről ” című könyvet írta , majd a művészek új generációit, köztük Philip Otto Runge -ot , Williamet is. Turner [95] , preraffaeliták és Wassily Kandinsky [96] [97] . A művészek a kompozícióban jelenlévő szimmetriákat is feltárják [98] . A matematikai eszközöket használhatják a művészettudósok vagy maguk a kézművesek, mint például M.C. Escher grafikusművész ( Harold Coxeter közreműködésével ) vagy Frank Gehry építész esetében . Utóbbi azt állítja, hogy a számítógéppel segített tervezőrendszerek teljesen új kifejezési módokat adtak számára [99] .

Richard Wright művész úgy véli, hogy a matematikai objektumok vizuális modelljei vagy egy bizonyos jelenség szimulálására szolgálnak, vagy a számítógépes művészet tárgyai . Wright helyzetét a Mandelbrot halmaz képével illusztrálja , amelyet egy cellás automata és számítógépes rendering generál ; a Turing-tesztre hivatkozva azt taglalja, hogy az algoritmusok termékei művészetnek tekinthetők -e [100] . Ugyanez a megközelítés figyelhető meg Sasho Kalaidzewski esetében is, aki vizualizált matematikai objektumokkal foglalkozik: parkettával, fraktálokkal, hiperbolikus geometriájú alakzatokkal [101] .

A számítógépes művészet egyik úttörője Desmond Paul Henry volt, aki megalkotta a "Rajzgép 1"-et. A bombsight számítógépen alapuló analóg számítási mechanizmust 1962-ben mutatták be a nagyközönségnek [102] [103] . A gép bonyolult, absztrakt, aszimmetrikus, görbe vonalú, de ismétlődő terveket tudott létrehozni [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh halak, madarak és más valós tárgyak figuráit készíti görbecsaládok segítségével [105] [106] [107] . A kortárs művészek, köztük Mikael H. Christensen, az algoritmikus művészet műfajában dolgoznak, szoftverek forgatókönyveit készítik . Egy művész által vezetett rendszer matematikai műveleteket alkalmaz egy adott adathalmazra [108] [109] .

A matematikától a művészetig

Ismeretes, hogy Henri Poincaré matematikus és fizikus "Tudomány és hipotézis" (1902) című könyvét sok kubista olvasta , köztük Pablo Picasso és Jean Metzinger [111] [112] . Poincare az euklideszi geometriában nem objektív igazságot látott , hanem csak egyet a sok lehetséges geometriai konfiguráció közül. A negyedik dimenzió lehetséges létezése arra inspirálta a művészeket, hogy megkérdőjelezzék a reneszánsz klasszikus perspektíváját, és a nem euklideszi geometriák felé fordultak [113] [114] [115] . A kubizmus egyik előfeltétele a cselekmény színben és formában történő matematikai kifejezésének ötlete volt. Az absztrakcionizmus története a kubizmussal kezdődik [116] . 1910-ben Metzinger ezt írta: "[Picasso] egy szabad, mobil perspektívát hoz létre, amelyből az a leleményes matematikus, Maurice Princet egy teljes geometriát származtatott" [117] . Metzinger emlékirataiban így emlékezett vissza:

„Maurice Princet gyakran meglátogatott minket; ... úgy értette a matematikát, mint egy művész, esztétaként az n - dimenziós kontinuumokhoz apellált. Szerette felkelteni a művészekben az érdeklődést a tér új nézetei iránt , amelyeket Schlegel és többen fedeztek fel . Ebben kitűnt." [118]

A matematikai alakzatok kutatási vagy oktatási célú modellezése elkerülhetetlenül bizarr vagy gyönyörű figurákhoz vezet. Hatással voltak rájuk a dadaisták Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] és Max Ernst [121] [122] és Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray geometrikus figurák modelljeit fényképezte a Párizsi Intézetben. Poincare. Ennek a ciklusnak az egyik leghíresebb munkája a The Mathematical Object ( franciául:  Objet mathematique , 1934). A művész jelzi, hogy az "Objektum" egy pszeudoszférából származó , állandó negatív görbületű Enneper-felület . A matematikai alapozás rendkívül fontos volt számára; a matematika lehetővé tette számára, hogy megcáfolja az "objektum" "absztrakt" jellegét. Man Ray azt állította, hogy a megörökített figura olyan valóságos, mint a piszoár, amelyet Duchamp művészeti tárggyá készített. Mégis elismerte: "[Enneper felületi képlete] számomra semmit sem jelent, de maguk a formák ugyanolyan változatosak és hitelesek voltak, mint a természetben találhatóak." A Poincaré Intézet fényképeit használta fel Shakespeare drámáin alapuló művekben , például Antonius és Kleopátra (1934) [124] megalkotásakor . Jonathan Keats, a ForbesLife rovatvezetője azt állítja, hogy Man Ray "ugyanaz elliptikus paraboloidokat és kúpos pontokat fényképezett le, ahogyan Kiki de Montparnasse ábrázolta " [125] , és "szellemesen újragondolta a matematikusok hideg számításait a topológia feltárása érdekében". a vágy” [126] [127] . A 20. század szobrászai, köztük Henry Moore , Barbara Hepworth és Nahum Gabo szintén matematikai modellekben találtak ihletet [128] . Létrehozásáról, a Stringed Mother and Child ( 1938 ) Moore a következőket mondta : „Vonós figuráim forrása kétségtelenül a Tudományos Múzeum volt ; ... elbűvöltek az ott látott matematikai modellek; ... nem az izgatott, ezeknek a modelleknek a tudományos tanulmányozása, de az a képesség, hogy átlássanak a húrokon, ahogy a madár kinéz a ketrecből, és az a képesség, hogy egy formát a másikban lássunk.” [129] [130] 

Theo van Doesburg és Piet Mondrian művészek megalapították a " De Stijl " mozgalmat, amelynek célja "az elemi geometriai formák vizuális szókincse létrehozása volt, amely mindenki számára érthető és bármely tudományágra alkalmazható" [132] [133] [134] . Sok munkájuk úgy néz ki, mint egy vonalas sík téglalapokkal és háromszögekkel, néha körökkel. A "De Stijl" tagjai képeket festettek, bútorokat és belső tereket készítettek, és építészettel foglalkoztak [133] . Amikor a mozgalom összeomlott, van Doesburg megalapította az Art Concret ( franciául: Art concret , "concrete art") avantgárd csoportot . Van Doesburg saját „Aritmetikai kompozíciójáról” (1929-1930) ezt írta: „egy irányítható szerkezet, egy bizonyos felület véletlenszerű elemek vagy személyes szeszély nélkül” [135] , miközben „nem mentes a szellemtől, nem nélkülözi a egyetemes és nem... üres, mert minden a belső ritmusnak felel meg” [136] . A kritikus, Gladys Fabre két előrehaladást lát a "Kompozícióban": a fekete négyzetek növekedését és a változó háttér [137] .  

A parketták , poliéderek, térformák és önreprodukciós matematika M. K. Escher (1898-1972) grafikusnak életre szóló telekkészletet adott [138] [139] . Escher az Alhambra mozaikokat példaként felhasználva megmutatta, hogy egyszerű figurákkal is lehet művészetet létrehozni. A sík meghajtásához szabálytalan sokszögeket, tükröződéseket, pillantási szimmetriát és párhuzamos fordítást alkalmazott . Ellentmondásokat teremtve a perspektivikus vetítés és a háromdimenziós tér tulajdonságai között, a való világban lehetetlent, de esztétikus konstrukciókat ábrázolt. A „ Descending and Ascending ” (1960) litográfia egy lehetetlen lépcsőt mutat be, amelynek felfedezése Lionel (apa) és Roger (fia) Penrose [140] [141] [142] nevéhez fűződik .

Az Escher által készített tesszellációk meglehetősen sokak, és az ötletek egy része Harold Coxeter matematikussal folytatott beszélgetések során született a hiperbolikus geometriáról [143] . Eschert leginkább öt poliéder érdekelte: tetraéder, kockák, oktaéderek, dodekaéderek és ikozaéderek. Munkásságában többször is megjelentek figurák, de különösen szembetűnőek a "Rend és káosz" (1950) és a "Négy szabályos poliéder" (1961) [144] c . Ezek a csillagképződmények egy másik alakban nyugszanak, ami tovább torzítja a poliéderek látószögét és érzékelését [145] .

A parketták és poliéderek vizuális összetettsége számos műalkotás alapját képezte. Stuart Coffin sokrétű rejtvényeket készít ritka fákból, George W. Hart poliédereket tanulmányoz és farag, Magnus Wenninger pedig csillagképződmények modelljeit [146] .

Az anamorfózis torz perspektívái a 16. század óta ismertek a festészetben. Hans Holbein Jr. 1553-ban megfestette a " Követeket ", egy erősen eltorzult koponyát helyezve az előtérbe. Ezt követően az anamorf technikák egészítették ki Escher és más grafikák arzenálját [147] .

A topológiai cselekmények a kortárs művészetben észrevehetők . John Robinson (1935-2007) szobrász a Gordian Knot és a Bands of Friendship című műveiről ismert , amelyek  a csomóelméletet csiszolt bronzból ábrázolják [9] . Robinson néhány más szobra a tori topológiájával foglalkozik . A "teremtés" ( eng. Genesis ) a borrome-i gyűrűk elvén épül fel : három kör nincs párban összekapcsolva, de csak a teljes szerkezet tönkretételével kapcsolhatók szét [148] . Helaman Ferguson felületeket és más topológiai objektumokat farag [149] . The Eightfold Way című munkája a PSL(2, 7) projektív speciális lineáris csoporton alapul , amely egy 168 elemből álló véges csoport [150] [151] . Bathsheba Grossman szobrász a matematikai struktúrák megtestesítőjéről is ismert [152] [153] .    

Az olyan tárgyakat, mint a Lorentz-sokató és a hiperbolikus sík, a szövésművészet mesterei alkotják újra, köztük a horgolás [154] [155] [156] . Ada Dietz takács 1949-ben publikálta az Algebraic Expressions in Handwoven  Textiles című monográfiát , amelyben új szövési sémákat javasolt a többdimenziós polinomok kiterjesztése alapján [157] . Jeffrey C. P. Miller matematikus a cellás automatára vonatkozó 90-es szabályt felhasználva fákat és absztrakt háromszögmintákat ábrázoló kárpitokat készített [158] ; cellás automatákat is használnak közvetlenül a digitális vizuális művészet létrehozására [159] . Math Knitters [ 160] [ 161] Pat Ashforth és Steve Plummer kötött mintákat a hatszögletű szöghez és más figurákat diákoknak. Figyelemre méltó, hogy nem sikerült megkötni Menger szivacsát – az műanyagból készült [162] [163] . Ashforth és Plummer mathghans projektje [ 164 ] hozzájárult ahhoz, hogy a kötéselmélet beépüljön az Egyesült Királyság matematikai és technológiai tanterveibe [165] [166] .   


Illusztráló matematika

A modellezés messze nem az egyetlen módja a matematikai fogalmak szemléltetésének. Giotto Stefaneschi-triptichonja ( 1320) rekurziót tartalmaz . Az előlap középső panelén (balra lent) maga Stefaneschi bíboros látható; letérdelve a Triptichon egy kis példányát ajánlja ajándékba [167] . Giorgio de Chirico metafizikai festményei , köztük a The Great Metaphysical Interior (1917) a művészet reprezentációs szintjeinek témáival foglalkoznak; de Chirico képeket fest képek között [168] .

A művészet logikai paradoxonokat képes megragadni. A szürrealista René Magritte szemiotikai viccnek alkotta festményeit , megkérdőjelezve a felületek kapcsolatát. Az " Az emberi lét feltételei " (1933) festmény egy festőállványt ábrázol vászonnal; a táj támogatja a kilátást az ablakból, melynek kereteit függöny jelzi. Escher a Képcsarnok (1956) cselekményét ugyanígy építette fel: torz városkép, a városban található galéria, maga a festmény mint kiállítás. A rekurzió a végtelenségig folytatódik [169] . Magritte más módon is eltorzította a valóságot. A Mental Aithmetic (1931) egy települést ábrázol, ahol házak ülnek egymás mellett labdákkal és téglatestekkel, mintha a gyerekjátékok óriási méretűre nőttek volna [170] . A The Guardian egyik újságírója megjegyezte, hogy a „játékváros hátborzongató terve” [171] próféciává vált, amely a „régi kényelmes formák” [172] modernisták általi bitorlását hirdeti . Ugyanakkor Magritte játszik az emberi hajlamkal, hogy mintákat keressen a természetben [173] .

Salvador Dali utolsó festménye , a Fecske farka (1983) fejezi be a René Thomas katasztrófaelmélete által ihletett munkák sorozatát [174] . A spanyol festő és szobrász, Pablo Palazuelo (1916-2007) kifejlesztett egy stílust, amelyet "az élet és az egész természet geometriájának" nevezett. Palazuelo alkotásai gondosan strukturált és színes, egyszerű figurákból állnak. Az önkifejezés eszközeként geometriai transzformációkat alkalmaz [9] .


A művészek nem mindig veszik szó szerint a geometriát. 1979- ben jelent meg Douglas Hofstadter Gödel , Escher, Bach című könyve, amelyben az emberi gondolkodás mintáira reflektál, beleértve a művészet és a matematika kapcsolatát:

„A különbség Escher rajzai és a nem euklideszi geometria között az, hogy az utóbbiban lehet definiálatlan fogalmakra értelmes értelmezéseket találni oly módon, hogy a rendszer közérthetővé válik, míg az előbbiben a végeredmény nem egyeztethető össze a mi felfogásunkkal. a világban, nem számít, mennyi ideig tekintjük a képet." [175]

Hofstadter Escher „Képtárának” paradoxonára hivatkozik, a valóságszintek „furcsa hurokjaként vagy bonyolult hierarchiájaként” [176] jellemzi azt. A művész maga nem képviselteti magát ebben a hurokban; sem létezése, sem a szerzőség ténye nem paradoxon [177] . A kép közepén lévő vákuum felkeltette Bart de Smit és Hendrik Lenstra matematikusok figyelmét. A Droste-effektus jelenlétére utalnak : a kép önreprodukálja elforgatott és tömörített formában. Ha a Droste-effektus valóban jelen van, a rekurzió még bonyolultabb, mint azt Hofstadter [178] [179] megállapította .

Művészettörténeti elemzés

A műalkotások, például a röntgenfluoreszcencia algoritmikus elemzése lehetővé teszi a szerző által utólag átfestett rétegek észlelését, a repedt vagy elsötétült képek eredeti megjelenésének visszaállítását, a másolatok megkülönböztetését az eredetitől, valamint a mester keze megkülönböztetését a tanulóé [180] [181] .

Jackson Pollock „csepegő” technikája [182] fraktáldimenziójáról [183] ​​figyelemre méltó . Pollock irányított káoszára [184] valószínűleg Max Ernst volt hatással. Ernst egy perforált fenekű festékes vödröt forgatva a vászon fölött Lissajous-figurákat készített [185] . Neil Dodgson informatikus megpróbálta kideríteni, hogy Bridget Riley csíkos vásznai matematikailag jellemezhetők-e . A sávok közötti távolságok elemzése "határozott eredményt adott", néhány esetben beigazolódott a globális entrópia hipotézise , ​​de nem volt autokorreláció , mivel Riley változtatta a mintákat. A helyi entrópia jobban működött, ami összhangban volt Robert Koudelka kritikus téziseivel a művész munkásságáról [186] .

1933-ban George D. Birkhoff amerikai matematikus bemutatta a nagyközönségnek az "Esztétikai mérés" című művét - a festészet esztétikai minőségének kvantitatív elméletét . Birkhoff kizárta a konnotáció kérdéseit a mérlegelésből, a kép mint sokszög geometriai tulajdonságaira („rendelemeire”) összpontosítva. Az additív mérőszám -3 és 7 közötti értékeket vesz fel, és öt jellemzőt kombinál:

A második metrika a sokszög legalább egyik oldalát tartalmazó sorok számát tükrözi. Birkhoff egy tárgy esztétikájának mértékét arányként határozza meg . Az attitűd úgy értelmezhető, mint az egyensúly a tárgy szemlélődése és az építés bonyolultsága között. Birkhoff elméletét különböző nézőpontokból bírálták, felróva neki azt a szándékát, hogy képletekkel írja le a szépséget. A matematikus azt állította, hogy nem volt ilyen szándéka [187] .

Élelmiszer a kutatáshoz

Vannak esetek, amikor a művészet a matematika fejlődésének ösztönzője volt. Miután Brunelleschi megalkotta a perspektíva elméletét az építészetben és a festészetben, tanulmányok egész sorát nyitotta meg, amelyek magukban foglalták Brooke Taylor és Johann Lambert a perspektíva matematikai alapjairól szóló munkáit [188] . Erre az alapra építették fel Gerard Desargues és Jean-Victor Poncelet a projektív geometria elméletét [189] .

A matematikai módszerek lehetővé tették Tomoko Fuse -nak a japán origami művészet fejlesztését . Modulok segítségével egybevágó papírdarabokból - például négyzetekből - poliédereket és parkettákat állít össze [190] . 1893-ban T. Sundara Rao kiadta a Geometric Exercises in Paper Folding (Geometriai gyakorlatok a papírhajtogatásban) című könyvét, ahol különféle geometriai eredmények vizuális bizonyítékait adta [191] . Az origami matematika területén a legfontosabb felfedezések közé tartozik Maekawa tétele [192] , Kawasaki tétele [193] és Fujita szabályai [194] .

Az illúziótól az optikai művészetig

Az optikai illúziók , köztük a Fraser-spirál, a vizuális képek emberi észlelésének korlátait demonstrálják. Ernst Gombrich művészettörténész "érthetetlen trükköknek" nevezte az általuk létrehozott hatásokat [196] . A fekete-fehér csíkok, amelyek első pillantásra spirált alkotnak , valójában koncentrikus körök . A 20. század közepén kialakult az optikai művészet egy olyan stílusa, amely az illúziókat kihasználva dinamikát adott a festményeknek, villódzás vagy vibráció hatását keltette. Az irányzat híres képviselői az "op art" néven is ismert jól ismert hasonlat alapján Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Szakrális geometria

Az Isten-geométer gondolata és minden dolog geometriájának szent természete az ókori Görögország óta ismert, és nyomon követhető a nyugat-európai kultúrában. Plutarkhosz rámutat arra, hogy Platón is ilyen nézeteket vallott : „Isten szüntelenül geometrizál” ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Platón nézetei a zenei harmónia pithagoreusi felfogásában gyökereznek, ahol a hangjegyek a líra húrjainak hossza által meghatározott ideális arányban helyezkednek el. A zenével analóg módon a szabályos poliéderek („platonikus testek”) meghatározzák a környező világ arányait, és ennek eredményeként a cselekményeket a művészetben [199] [200] . Egy híres középkori szemléltetés arról, hogy Isten az univerzumot egy iránytűvel teremtette meg, a bibliai versre utal : „Amikor az eget készítette, ott voltam. Amikor kört húzott a mélység arcára” ( Salamon Példabeszédek könyve , 8:27) [201] . 1596-ban Johannes Kepler matematikus és csillagász bemutatta a Naprendszer modelljét  – a beágyazott platóni szilárd testek halmazát, amelyek a bolygópályák relatív méretét reprezentálják [201] . William Blake "The Great Architect " című festménye , valamint "Newton" monotípiája, ahol a nagy tudóst meztelen geometriaként ábrázolják, a matematikailag tökéletes lelki világ és a tökéletlen fizikai kontrasztot mutatják be [202] . Ugyanígy értelmezhető Dali " Hiperkubikus teste " is, ahol Krisztust egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontakozásán feszítik keresztre . A művész szerint az isteni szem többet tud mérni, mint az emberi [82] . Dali úgy képzelte el Krisztus utolsó étkezését a tanítványokkal , mint ami egy gigantikus dodekaéder belsejében zajlik [203] ,

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 3 4 Ziegler, Günter M. Dürer poliéder: 5 elmélet, amely megmagyarázza Melencolia őrült kockáját . The Guardian (2014. december 3.). Letöltve: 2015. október 27. Az eredetiből archiválva : 2020. november 11.
  2. ↑ Idősebb Plinius. Természettudomány. A művészetről. - M .: Ladomir, 1994. S. 65 (XXXIV, 55-56)
  3. ↑ 1 2 McCague, Hugh. Pitagoreusok és szobrászok: Polykleitos kánonja  //  Rózsakeresztes Digest: folyóirat. - 2009. - 1. évf. 1 . — 23. o .
  4. ↑ Platón. Menon // Platón. Sobr. op. 4 kötetben - V.1. - M .: Gondolat, 1990. - S. 594-595 (85 a-s)
  5. ↑ Vlaszov V. G. . Az alakítás elmélete a képzőművészetben. Tankönyv középiskoláknak. - Szentpétervár: Szentpétervári Kiadó. un-ta, 2017. - C.121-122
  6. ↑ Raven, JE Polyclitus és a pythagoreanizmus // Classical Quarterly. - 1951. - V. 1 , No. 3-4 . - S. 147 - . - doi : 10.1017/s0009838800004122 .
  7. ↑ Tobin, Richard. Polykleitos kánonja // American Journal of   Archaeology : folyóirat. - 1975. - október ( 79. évf. , 4. sz.). - P. 307-321 . - doi : 10.2307/503064 .
  8. ↑ 1 2 3 O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Matematika és művészet-perspektíva . St Andrews Egyetem (2003. január). Letöltve: 2015. szeptember 1. Az eredetiből archiválva : 2019. március 24.
  9. ↑ 1 2 3 4 A vizuális elme II / Emmer, Michelle. - MIT Press , 2005. - ISBN 978-0-262-05048-7 .
  10. ↑ Vasari, Giorgio . A legkiválóbb festők, szobrászok és építészek élete . - Torrentino, 1550. - C. Brunelleschiről szóló fejezet.
  11. ↑ Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. A festészetről . - Yale University Press , 1956.
  12. ↑ Field, JV A végtelen feltalálása: Matematika és művészet a  reneszánszban . - Oxford University Press , 1997. - ISBN 978-0-19-852394-9 .
  13. ↑ Witcombe, Christopher LCE művészettörténeti források . Hozzáférés dátuma: 2015. szeptember 5. Eredetiből archiválva : 2016. március 4.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra in Art . Letöltve: 2015. június 24. Az eredetiből archiválva : 2019. április 21..
  15. ↑ Cunningham, Lawrence; Reich, János; Fichner Rathus, Lois. Kultúra és értékek: A nyugati  humán tudományok felmérése . — Cengage Learning, 2014. - P. 375. - ISBN 978-1-285-44932-6 . . — „amelyek Uccello perspektíva iránti vonzalmát illusztrálják. A lovagi harcosok egy olyan csatatéren vesznek részt, amely tele van törött lándzsákkal, amelyek majdnem rácsmintázatban estek, és valahol a távolban egy eltűnési pont felé mutatnak."
  16. ↑ della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. - Firenze, 1942.
  17. ↑ della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. – Pisa, 1970.
  18. ↑ della Francesca, Piero. L'opera "De corporibus regularibus" Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli  (olasz) / G. Mancini. — 1916.
  19. ↑ Vasari, G. Le Opere, 2. kötet / G. Milanesi. - 1878. - S. 490.
  20. ↑ Zuffi, Stefano. Piero della Francesca . - L'Unità - Mondadori Arte, 1991. -  53. o .
  21. ↑ Heath, TL Euklidész elemeinek tizenhárom könyve. - Cambridge University Press , 1908. - S. 97.
  22. ↑ Grendler, P. Mit tanult Piero az iskolában: A tizenötödik századi népi oktatás  / M.A. Lavin. Piero della Francesca és öröksége. – University Press of New England, 1995. - P. 161-176.
  23. ↑ Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (ford.). A festészetről / Kemp, Martin. - Pingvin klasszikusok , 1991.
  24. ↑ Peterson, Mark. Piero della Francesca geometriája (nem elérhető link) . – „Az I. könyvben néhány elemi konstrukció után bevezeti azt az elképzelést, hogy egy tárgy látszólagos mérete valójában a szemhez bezárt szöge, és hivatkozik Eukleidész Elemek I. és VI. könyvére, valamint Eukleidész Optikájára, 13. javaslat, a néző előtt a földön fekvő négyzet ábrázolásához. Mit rajzoljon valójában a művész? Ezt követően a négyzetben objektumokat szerkesztenek (például csempék, amelyek járólapos padlót ábrázolnak), és a megfelelő objektumokat perspektívában; a II. könyvben ezekre a sík tárgyakra prizmákat állítanak fel, amelyek házakat, oszlopokat stb. ábrázolnak; de a módszer alapja az eredeti négyzet, amelyből minden más következik." Letöltve: 2017. június 2. Az eredetiből archiválva : 2016. július 1. 
  25. ↑ Hockney, David. Titkos tudás: A régi mesterek elveszett technikáinak újrafelfedezése  (angol) . – Temze és Hudson, 2006. - ISBN 978-0-500-28638-8 .
  26. ↑ Van Riper, Frank Hockney „Lucid” bombája a művészeti intézetben . A Washington Post. Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 11..
  27. ↑ Marr, Andrew Amit a szem nem látott . The Guardian (2001. október 7.). Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 25.
  28. ↑ Janson, Jonathan Interjú Philip Steadmannel . Essential Vermeer (2003. április 25.). Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 6..
  29. ↑ Steadman, Philip. Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces  (angol) . - Oxford, 2002. - ISBN 978-0-19-280302-3 .
  30. ↑ Hart, George. Luca Pacioli poliéderei . Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2018. október 18..
  31. ↑ Morris, Roderick Conway Palmezzano reneszánsza: Az árnyékból előbukkan a festő . New York Times (2006. január 27.). Letöltve: 2015. július 22. Az eredetiből archiválva : 2021. április 18..
  32. ↑ Calter, Paul. Geometria és művészet 1. egység (nem elérhető link) . Dartmouth College . Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2009. augusztus 21.. 
  33. ↑ Brizio, Anna Maria. Leonardo, a művész . – McGraw-Hill Education , 1980.
  34. ↑ Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, Az utolsó vacsora: Kozmikus dráma és a megváltás aktusa  (angol) . - Temple Lodge Kiadó, 2006. - P. 61-62. - ISBN 978-1-902636-75-7 .
  35. ↑ Turner, Richard A. Leonardo feltalálása. — Alfred A. Knopf, 1992.
  36. ↑ Wolchover, Natalie Leonardo da Vinci lemásolta híres "Vitruvius Man"-ját? . NBC News (2012. január 31.). Letöltve: 2015. október 27. Az eredetiből archiválva : 2016. január 28..
  37. ↑ Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, SB Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin  //  Historical Methods: Journal. - 2004. - 20. évf. 37 , sz. 3 . - P. 109-121 . - doi : 10.3200/hmts.37.3.109-122 .
  38. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P. 299-300, 306-307. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  39. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  269 -278. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  40. ↑ Joyce, David E. Euclid's Elements, II. könyv, 11. tétel . Clark Egyetem (1996). Letöltve: 2015. szeptember 24. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 30.
  41. ↑ Seghers, MJ; Longacre, JJ; Destefano, GA  Az arany arány és szépség  // Plasztikai és helyreállító sebészet : folyóirat. - 1964. - 1. évf. 34 , sz. 4 . - P. 382-386 . - doi : 10.1097/00006534-196410000-00007 .
  42. ↑ Mainzer, Klaus. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science  (angol) . - Walter de Gruyter , 1996. - 118. o.
  43. ↑ Matematikai tulajdonságok az ókori színházakban és amfiteátrumokban (lefelé irányuló kapcsolat) . Letöltve: 2014. január 29. Az eredetiből archiválva : 2017. július 15. 
  44. ↑ Építészet: Ellipszis? . The-Colosseum.net. Hozzáférés időpontja: 2014. január 29. Az eredetiből archiválva : 2013. december 11.
  45. ↑ 1 2 3 4 Markowsky, George. Tévhitek az aranyarányról  //  The College Mathematics Journal :magazin. - 1992. - január ( 23. évf. , 1. sz.). - P. 2-19 . - doi : 10.2307/2686193 . Archiválva az eredetiből 2008. április 8-án.
  46. ↑ Taseos, Socrates G. Vissza az időben 3104-ben a Nagy  Piramisig . – SOC Publishers, 1990.
  47. ↑ A ferde magasság és az alap hosszának feléhez viszonyított aránya 1,619, ami kevesebb, mint 1%-kal tér el az aranymetszéstől (1,618). A Kepler-háromszög használatára utal ( a dőlésszöge 51°49').
  48. ↑ Gazale, Midhat. Gnomon: A fáraóktól a fraktálokig. - Princeton University Press , 1999. - ISBN 978-0-691-00514-0 .
  49. ↑ Huntley, H. E. Az isteni arány. – Dover, 1970.
  50. ↑ Hemenway, Priya. Isteni arány : Phi a művészetben, a természetben és a tudományban  . - Sterling, 2005. -  96. o .
  51. ↑ Usvat, Liliana A Parthenon matematikája . Matematikai Magazin. Letöltve: 2015. június 24. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 14..
  52. ↑ Boussora, Kenza; Mazouz, mondta. Az aranymetszet használata a kairouani nagy mecsetben  //  Nexus Network Journal : folyóirat. — Vol. 6 , sz. 1 . - 7-16 . o . - doi : 10.1007/s00004-004-0002-y . Az eredetiből archiválva: 2008. október 4. . – „Úgy tűnik, az aranymetszet geometriai építési technikája meghatározta a térszervezés főbb döntéseit. Az épületmérések egyes részeiben többször is megjelenik az aranymetszet. Megtalálható a terv összarányában és az imatér, az udvar és a minaret méretezésében. Az aranymetszet megléte a Kairouan mecset egyes részein arra utal, hogy az ezzel az elvvel tervezett és előállított elemek ugyanabban az időszakban valósulhattak meg." Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2017. június 4. Az eredetiből archiválva : 2008. október 4.. 
  53. ↑ Brinkworth, Péter; Scott, Paul. A matematika helye // Australian Mathematics Teacher. - 2001. - T. 57 , 3. sz . - S. 2 .
  54. ↑ Chanfon Olmos, Carlos. Curso sobre Arány. Procedimientos reguladors en construcción  (spanyol) . — Convenio de intercambio Unam–Uady. Mexikó – Merica, 1991.
  55. ↑ Livio, Mario . Az aranyarány: Phi története, a világ legcsodálatosabb  száma . — Broadway Books, 2002.
  56. ↑ Smith, Norman AF Cathedral Studies: Engineering or History  // Transactions of the Newcomen Society. - 2001. - T. 73 . - S. 95-137 . - doi : 10.1179/tns.2001.005 . Az eredetiből archiválva : 2015. december 11. Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2017. június 4. Az eredetiből archiválva : 2015. december 11. 
  57. ↑ McVeigh, Karen Miért tetszik az aranymetszés a szemnek: amerikai akadémikus azt mondja, ismeri a művészet titkát . The Guardian (2009. december 28.). Hozzáférés időpontja: 2015. október 27. Az eredetiből archiválva : 2015. október 19.
  58. ↑ 1 2 3 Cucker, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  89 -102. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  59. ↑ 12 Lerner , Martin. A láng és a lótusz: indiai és délkelet-ázsiai művészet a Kronos gyűjteményből  (angol) . — Kiállítási katalógus. – Metropolitan Museum of Art, 1984.
  60. ↑ 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diana. Matematikai paplanok: varrás nem szükséges. — Kulcstanterv, 1999.
  61. ↑ 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francois. arabeszkek. Dekoratív művészet Marokkóban. - Művészetalkotás megvalósítása, 1999. - ISBN 978-2-86770-124-5 .
  62. ↑ Salingaros, Nikos. Egy szőnyeg „élete”: az Alexander-szabályok alkalmazása  (angol)  // 8th International Conference on Oriental Carpets : folyóirat. - Philadelphia, 1996. - november. Reprinted in Oriental Carpet and Textile Studies V / Eiland, M.; Pinner, M.. – Danville, CA: Konferencia a keleti szőnyegekről, 1998.
  63. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  103-106 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  64. ↑ Dye, Daniel S. Kínai rácsos minták . - Dover, 1974. - S.  30 -39.
  65. ↑ belcastro, sarah-marie. Kalandok a matematikai kötésben   // Amerikai tudós :magazin. - 2013. - Kt. 101 , sz. 2 . — 124. o . doi : 10.1511 / 2013.101.124 .
  66. ↑ Taimina, Daina. Horgolási kalandok hiperbolikus síkokkal  . — A. K. Peters, 2009. - ISBN 1-56881-452-6 .
  67. ↑ Snook, Barbara. Firenzei hímzés . Scribner, Második kiadás, 1967.
  68. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Firenzei vászonmunka . Van Nostrand Reinhold, 1967.
  69. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics  // Mathematics Magazine  : magazin  . - 1980. - május ( 53. köt. , 3. sz.). - 139-161 . o . - doi : 10.2307/2690105 . — .
  70. ↑ 1 2 Gamwell, Lynn. Matematika és művészet: Kultúrtörténet. - Princeton University Press , 2015. - P. 423. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  71. ↑ Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Irán . — 3. — Bradt útikönyvek, 2009. - P. 107. - ISBN 1-84162-289-3 .
  72. ↑ Irvine, Veronica; Ruskey, Frank. Matematikai modell kidolgozása Bobbin Lace számára  //  Journal of Mathematics and the Arts : folyóirat. - 2014. - Kt. 8 , sz. 3-4 . - P. 95-110 . - doi : 10.1080/17513472.2014.982938 . - arXiv : 1406.1532 .
  73. ↑ Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture  // Science  :  Journal. - 2007. - Vol. 315 , sz. 5815 . - P. 1106-1110 . - doi : 10.1126/tudomány.1135491 . - Irodai . — PMID 17322056 .
  74. ↑ van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-Matematika az iszlám művészetekben . Letöltve: 2018. május 6. Az eredetiből archiválva : 2019. május 6.
  75. ↑ Panofsky, E. Albrecht Durer élete és művészete. – Princeton, 1955.
  76. ↑ Hart, George W. Dürer poliéderei . Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2009. augusztus 19..
  77. ↑ Dürer, Albrecht. Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion  (német) . - Nurenberg: Archive.org, 1528.
  78. ↑ Schreiber, P. Új hipotézis Durer „Melencolia I” című rézmetszetében található rejtélyes poliéderről  //  Historia Mathematica : folyóirat. - 1999. - 1. évf. 26 . - P. 369-377 . - doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
  79. ↑ Dodgson, Campbell. Albrecht Durer. - London: Medici Társaság, 1926. - S. 94.
  80. ↑ Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berlin: Gebr. Mann Verlag, 1991, 17-83.
  81. ↑ Panofsky, Erwin ; Klibansky, Raymond; Saxl, Fritz . Szaturnusz és melankólia . – Alapkönyvek , 1964.
  82. ↑ 1 2 Keresztre feszítés (Corpus Hypercubus) . Metropolitan Museum of Art. Hozzáférés időpontja: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. október 23.
  83. ↑ Lukman, Mohamed; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal: Traditional Art to Modern Complexity  (angol)  // Proceeding Generative Art X, Milánó, Olaszország : folyóirat. – 2007.
  84. ↑ Pollock fraktáljai  (2001. november). Archiválva az eredetiből 2016. október 7-én. Letöltve: 2016. szeptember 26.
  85. ↑ Galilei, Galilei . Az Assayer. - 1623. , Drake, Stillman fordítása szerintGalilei felfedezései és véleményei. - Doubleday, 1957. - S. 237-238. — ISBN 0-385-09239-3 .
  86. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. -  381. o . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  87. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. -  10. o . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  88. ↑ King, Jerry P. A matematika művészete. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 8-9. - ISBN 0-449-90835-6 .
  89. ↑ King, Jerry P. A matematika művészete. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 135-139. - ISBN 0-449-90835-6 .
  90. ↑ Devlin, Keith. Különböző agyuk van a matematikusoknak? // A matematikai gén : Hogyan fejlődött a matematikai gondolkodás, és miért olyanok a számok, mint a pletykák  . - Alapvető könyvek , 2000. - P. 140. - ISBN 978-0-465-01619-8 .
  91. ↑ angol.  "Miért szépek a számok? Olyan, mintha azt kérdeznénk, miért szép Beethoven Kilencedik szimfóniája . Ha nem látja, miért, valaki nem tudja megmondani. Tudom , hogy a számok szépek."
  92. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika és művészet. 2. Matematikai eszközök művészeknek . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2015. szeptember 1. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 14..
  93. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika és művészet . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2015. szeptember 1. Archiválva az eredetiből: 2015. augusztus 29.
  94. ↑ Matematika és művészet: A jó, a rossz és a szép . Amerikai Matematikai Szövetség. Letöltve: 2015. szeptember 2. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 9..
  95. ↑ Cohen, Louise Hogyan pörgetsük a színkört, Turner, Malevich és mások . Tate Gallery (2014. július 1.). Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 11..
  96. ↑ Kemp, Martin. A művészet tudománya : Optikai témák a nyugati művészetben Brunelleschitől Seurat-ig  . - Yale University Press , 1992. - ISBN 978-968-867-185-6 .
  97. ↑ Gage, John. Szín és kultúra : gyakorlat és jelentés az ókortól az absztrakcióig  . - University of California Press , 1999. - P. 207. - ISBN 978-0-520-22225-0 .
  98. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika és művészet. 3. Szimmetria . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2015. szeptember 1. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 14..
  99. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika és művészet. 4. Matematikus művészek és művész matematikusok . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2015. szeptember 1. Archiválva az eredetiből: 2015. szeptember 15.
  100. ↑ Wright, Richard. A számítógépes művészet mint matematikai művészeti forma fejlesztésének néhány kérdése  //  Leonardo : folyóirat. - 1988. - 1. évf. 1 , sz. Electronic Art, kiegészítő szám . - 103-110 . o . - doi : 10.2307/1557919 . — .
  101. ↑ Kalajdzievski, Sasho. Matematika és művészet: Bevezetés a vizuális matematikába  (angol) . - Chapman és Hall , 2008. - ISBN 978-1-58488-913-7 .
  102. ↑ 1 2 Beddard, Honor Computer art a V&A-nál . Victoria és Albert Múzeum. Letöltve: 2015. szeptember 22. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 25.
  103. ↑ A számítógép rajzokat készít: sorok ezrei mindegyikben (1962. szeptember 17.). Beddardban, 2015.
  104. ↑ O'Hanrahan, Elaine. Rajzgépek: A gép rajzokat készített Dr. D.P. Henry a géppel generált művészet fogalmi és technológiai fejlődésével kapcsolatban (UK 1960–1968). Kiadatlan MPhil. Szakdolgozat  (angol) . – John Moores Egyetem, Liverpool, 2005. Beddardban, 2015.
  105. ↑ Bellos, Alex . A nap fogása: a matematikus furcsa, összetett halakat hálóz , The Guardian (2015. február 24.). Az eredetiből archiválva : 2016. november 30. Letöltve: 2015. szeptember 25.
  106. ↑ "A madár repül (2016)", Hamid Naderi Yeganeh . Amerikai Matematikai Társaság (2016. március 23.). Letöltve: 2017. április 6. Az eredetiből archiválva : 2017. március 29.
  107. ↑ Chung, Stephy . Következő da Vinci? A matematikai zseni képletekkel fantasztikus műalkotásokat készít , CNN  (2015. szeptember 18.). Archiválva az eredetiből 2017. február 2-án. Letöltve: 2017. június 7.
  108. ↑ Levin, Golan Generative Artists . CMUEMS (2013). Letöltve: 2015. október 27. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 21.. Ez tartalmaz egy linket a Hvidtfeldts Syntopia -ra, archiválva 2015. október 31-én a Wayback Machine -nél .
  109. ↑ Verostko, Roman Az algoristák . Letöltve: 2015. október 27. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 4..
  110. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  315-317 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  111. ↑ Miller, Arthur I. Einstein, Picasso : Tér, idő és a szépség, amely pusztítást okoz  . - New York: Basic Books, 2001. -  171. o . - ISBN 0-465-01860-2 .
  112. ↑ Miller, Arthur I. Insights of Genius : Képalkotás és kreativitás a tudományban és a művészetben  . - Springer, 2012. - ISBN 1-4612-2388-1 .
  113. ↑ Henderson, Linda D. A negyedik dimenzió és a nemeuklideszi geometria a modern művészetben  . – Princeton University Press , 1983.
  114. ↑ Antliff, Márk; Leighten, Patricia Dee. Kubizmus és kultúra . – Temze és Hudson, 2001.  (elérhetetlen link)
  115. ↑ Everdell, William R. Az első modernek: Profilok a huszadik századi gondolkodás eredetéből  . - University of Chicago Press , 1997. -  312. o . - ISBN 0-226-22480-5 .
  116. ↑ Zöld, Christopher. A kubizmus és ellenségei, modern mozgások és reakciók a francia művészetben, 1916-1928  (angol) . - Yale University Press , 1987. - P. 13-47.
  117. ↑ Metzinger, JeanNote sur la peinture // Pan. - S. 60 . Millerben . Einstein, Picasso . - Alapkönyvek , 2001. - S.  167 .
  118. ↑ Metzinger, JeanLe cubisme etait né. - Éditions Présence, 1972. - S. 43-44. Ferryben , Luc Homo Aestheticus: Az ízlés feltalálása a demokratikus korban  (angol) . - University of Chicago Press , 1993. -  215. o . — ISBN 0-226-24459-8 .
  119. ↑ Man Ray – Emberi egyenletek Utazás a matematikától Shakespeare-ig. 2015. február 7 – május 10 . Phillips kollekció. Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 6..
  120. ↑ Adcock, Craig. Duchamp erotika: matematikai elemzés  // Iowa Research Online. - 1987. - T. 16 , 1. sz . - S. 149-167 .
  121. ↑ Elder, R. Bruce. DADA, szürrealizmus és a filmes  hatás . - Wilfrid Laurier Egyetemi Kiadó, 2013. - P. 602. - ISBN 978-1-55458-641-7 .
  122. ↑ Tubbs, Robert. Matematika a huszadik századi irodalomban és művészetben: tartalom, forma,  jelentés . — JHU Press, 2014. - P. 118. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  123. ↑ Hiroshi Sugimoto fogalmi formák és matematikai modellek 2015. február 7 – május 10 . Phillips kollekció. Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 6..
  124. ↑ Tubbs, Robert. Matematika a 20. századi irodalomban és  művészetben . - Johns Hopkins, 2014. - P. 8-10. — ISBN 978-1-4214-1380-8 .
  125. ↑ angol.  "az elliptikus paraboloidok és kúppontok ugyanolyan érzéki fényben, mint Kiki de Montparnasse-ról készült képei"
  126. ↑ angol.  "zseniálisan újratervezi a matematika hűvös számításait, hogy felfedje a vágy topológiáját"
  127. ↑ Keats, Jonathon Nézze meg, hogyan tette Man Ray erotikussá az elliptikus paraboloidokat ezen a Phillips Collection fényképészeti kiállításon . Forbes (2015. február 13.). Letöltve: 2015. szeptember 10. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 23..
  128. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika és művészet: Kultúrtörténet. - Princeton University Press , 2015. - S. 311-312. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  129. ↑ Henry Moore: Szöveg szobrán / Hedgecoe, John. - Henry Spencer Moore. - Simon és Schuster , 1968. - 105. o.
  130. ↑ angol.  "A vonós figuráim forrása kétségtelenül a Tudományos Múzeum volt... Lenyűgöztek az ott látott matematikai modellek... Ezeknek a modelleknek nem tudományos tanulmányozása volt, hanem az a képesség, hogy úgy nézzek át a húrokon, mint egy madárnál. ketrecbe, és látni egyik formát a másikban, ami izgatott."
  131. ↑ Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et bevezetés à la géométrie à n dimensions  (francia) . – Párizs: Gauthier-Villars, 1903.
  132. ↑ angol.  "egy olyan vizuális szókincs létrehozása, amely [ sic ] elemi geometriai formákból áll, mindenki számára érthető és bármely tudományághoz adaptálható"
  133. ↑ 12 De Stijl . Tate Glossary . A Tate. Letöltve: 2015. szeptember 11. Az eredetiből archiválva : 2017. február 11.
  134. ↑ Curl, James Stevens. Építészeti és tájépítészeti  szótár . — Másodszor. - Oxford University Press , 2006. - ISBN 0-19-860678-8 .
  135. ↑ angol.  "szabályozható szerkezet, határozott felület véletlen elemek és egyedi szeszélyek nélkül"
  136. ↑ angol.  "nem hiányzik a lélek, nem hiányzik az univerzális és nem... üres, hiszen minden van, ami a belső ritmushoz illik"
  137. ↑ Tubbs, Robert. Matematika a huszadik századi irodalomban és művészetben: tartalom, forma,  jelentés . — JHU Press, 2014. - P. 44-47. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  138. ↑ Túra: MC Escher - Élet és Munka (nem elérhető link) . NGA. Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2009. augusztus 3.. 
  139. ↑ M.C. Escher . Mathacademy.com (2007. november 1.). Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2007. október 11..
  140. ↑ Penrose, L.S.; Penrose, R. Lehetetlen tárgyak: A vizuális illúzió speciális típusa  (angol)  // British Journal of Psychology : folyóirat. - 1958. - 1. évf. 49 . - P. 31-33 . - doi : 10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x . — PMID 13536303 .
  141. ↑ Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H.A poliéderes jelenetek felismerésének összetettsége // 26th Annual Symposium on Foundations of Computer Science(FOCS 1985). - 1985. - S. 175-185 . - doi : 10.1109/sfcs.1985.59 .
  142. ↑ Cooper, Martin. Vonalrajz értelmezése . - Springer-Verlag , 2008. - S.  217 -230. - ISBN 978-1-84800-229-6 . - doi : 10.1007/978-1-84800-229-6_9 .
  143. ↑ Roberts, Siobhan. „Coxetering” MC Escherrel. - A végtelen űr királya: Donald Coxeter, az ember, aki megmentette a geometriát. - Walker, 2006. - S. 11. fejezet.
  144. ↑ Escher, MC MC Escher világa. - Random House , 1988.
  145. ↑ Escher, M.C.; Vermeulen, M. W.; Ford, K. Escher: Escher: Exploring the Infinite. – HN Abrams, 1989.
  146. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika és művészet. 5. Poliéderek, burkolások és boncolások . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2015. szeptember 1. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 14..
  147. ↑ Marcolli, Matilde . A tér fogalma a matematikában a modern művészet szemüvegén keresztül  (angol) . - Századi Könyvek, 2016. - P. 23-26.
  148. ↑ John Robinson . Bradshaw Alapítvány (2007). Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2010. május 3..
  149. ↑ Helaman Ferguson webhelye . Helasculpt.com. Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2009. április 11..
  150. ↑ Thurston, William P. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson  / Levy, Silvio. - 35. kötet: Nyolcszoros út: Klein kvartikus görbéjének szépsége. - MSRI Publications, 1999. - P. 1-7.
  151. ↑ MAA könyvajánló a ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve''-ről . Maa.org (1993. november 14.). Letöltve: 2009. augusztus 13. Az eredetiből archiválva : 2009. december 21..
  152. ↑ A Math Geek ünnepi ajándékkalauz . Scientific American (2014. november 23.). Letöltve: 2015. június 7. Az eredetiből archiválva : 2015. június 17..
  153. ↑ Hanna, Raven Gallery: Bathsheba Grossman . Symmetry Magazin. Letöltve: 2015. június 7. Az eredetiből archiválva : 2015. április 26..
  154. ↑ Osinga, Hinke a Lorenz-elosztó horgolása . Aucklandi Egyetem (2005). Letöltve: 2015. október 12. Az eredetiből archiválva : 2015. április 10.
  155. ↑ Henderson, David; Taimina, Daina A hiperbolikus sík horgolása  //  A matematikai intelligencia . - 2001. - 20. évf. 23 , sz. 2 . - 17-28 . o . - doi : 10.1007/BF03026623 . .
  156. ↑ Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd. A Lorenz-sokató horgolása  //  A matematikai intelligencia . - 2004. - 20. évf. 26 , sz. 4 . - P. 25-37 . - doi : 10.1007/BF02985416 .
  157. ↑ Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse , < http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf > Archivált másolat innen 2016. február 22-én a Wayback Machine -ben 
  158. ↑ Miller, JCPA satnya fák időszakos erdei  (angol)  // A Londoni Királyi Társaság filozófiai tranzakciói  : folyóirat. - 1970. - 1. évf. 266 , sz. 1172 . - P. 63-111 . doi :/ rsta.1970.0003 . — .
  159. ↑ Designing Beauty: The Art of Cellular Automata / A. Adamatzky, GJ Martínez (szerk.). - Springer International Publishing, 2016. - (Emergence, Complexity and Computation; v. 20). - ISBN 978-3-319-27270-2 , 978-3-319-27269-6.
  160. ↑ Angolból .  matematikusok  - "matematikusok" és angol.  kötni  – kötni.
  161. ↑ Pat Ashforth és Steve Plummer - Mathekniticians . Gyapjas gondolatok . Letöltve: 2015. október 4. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 15.
  162. ↑ Ward, Mark Knitting újra feltalálva: matematika, feminizmus és metál . BBC (2012. augusztus 20.). Letöltve: 2015. szeptember 23. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 23..
  163. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Menger Szivacs . Gyapjas gondolatok: A ravasz matematika nyomán . Letöltve: 2015. szeptember 23. Az eredetiből archiválva : 2021. április 17.
  164. ↑ Angolból .  matematika  - "matematika" és angol.  Atghans  - "kötött sál", "fátyol".
  165. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Afghans for Schools . Gyapjas gondolatok: Mathghans . Letöltve: 2015. szeptember 23. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 18..
  166. ↑ Mathghans a különbséggel . - Simply Knitting Magazin, 2008. - július 1. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 25.
  167. ↑ Giotto di Bondone és asszisztensek: Stefaneschi triptichon . A Vatikán. Letöltve: 2015. szeptember 16. Az eredetiből archiválva : 2016. november 30.
  168. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika és művészet: Kultúrtörténet. - Princeton University Press , 2015. - S. 337-338. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  169. ↑ Cooper, Jonathan Art and Mathematics (2007. szeptember 5.). Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 25..
  170. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: Egy örök aranyfonat  (német) . - Pingvin, 1980. - S. 627. - ISBN 978-0-14-028920-6 .
  171. ↑ angol.  "kísérteties játékváros kép" .
  172. ↑ angol.  "hangulatos hagyományos formák" .
  173. ↑ Hall, James René Magritte: The Pleasure Principle - kiállítás . The Guardian (2011. június 10.). Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 23..
  174. ↑ Király, Elliot. Dali / Ades, Hajnal. - Milánó: Bompiani Arte, 2004. - S. 418-421.
  175. ↑ "Az a különbség az Escher-rajz és a nem euklideszi geometria között, hogy az utóbbiban a nem definiált kifejezésekre érthető értelmezések találhatók, ami egy érthető totális rendszert eredményez, míg az előbbinél a végeredmény nem egyeztethető össze a felfogással. a világról, nem számít, mennyi ideig bámulja az ember a képeket."
  176. ↑ angol.  "furcsa hurok, vagy kusza hierarchia"
  177. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: Egy örök aranyfonat  (német) . - Pingvin, 1980. - S. 98-99, 690-717. - ISBN 978-0-394-74502-2 .
  178. ↑ de Smit, B. Az Escher's Print Gallery matematikai szerkezete  // Notices of the American Mathematical Society  : folyóirat  . - 2003. - 1. évf. 50 , sz. 4 . - P. 446-451 .
  179. ↑ Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart Matematika alkalmazása az Escher's Print Gallery-ben (hivatkozás nem érhető el) . Leideni Egyetem. Letöltve: 2015. november 10. Az eredetiből archiválva : 2018. január 14.. 
  180. ↑ Stanek, Becca Van Gogh és az algoritmus: Hogyan mentheti meg a matematika a művészetet ? Time Magazine (2014. június 16.). Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 28..
  181. ↑ Sipics, Michelle A Van Gogh-projekt: A művészet találkozik a matematikával a folyamatban lévő nemzetközi tanulmányokban (hivatkozás nem érhető el) . Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság (2009. május 18.). Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 7.. 
  182. ↑ Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912-1956 . - 2003. - P. 63. - ISBN 3-8228-2132-2 .
  183. ↑ Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Pollock cseppfestményeinek fraktálanalízise  (angol)  // Nature  : Journal. - 1999. - június ( 399. kötet ). - 422. o . - doi : 10.1038/20833 . Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 16. Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2017. június 9. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 16.. 
  184. ↑ Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fraktál expresszionizmus: Használható-e a tudomány a művészet megértésének elősegítésére?  (angol)  // Physics World  : magazin. - 1999. - október ( 12. köt. ). - P. 25-28 . - doi : 10.1088/2058-7058/12/10/21 . Az eredetiből archiválva: 2012. augusztus 5. . – Pollock 1956-ban halt meg, mielőtt a káoszt és a fraktálokat felfedezték volna. Ezért nagyon valószínűtlen, hogy Pollock tudatosan megértette a festett fraktálokat. Ennek ellenére a fraktálok bevezetése szándékos volt. Például a horgonyréteg színét úgy választották ki, hogy a legélesebb kontrasztot hozza létre a vászonháttérrel szemben, és ez a réteg több vászonterületet foglal el, mint a többi réteg, ami arra utal, hogy Pollock azt akarta, hogy ez az erősen fraktál horgonyréteg vizuálisan uralja a festményt. Továbbá, miután a festmények elkészültek, dokkolta a vásznat, hogy eltávolítsa azokat a területeket a vászon széle közelében, ahol a mintázat sűrűsége kevésbé volt egyenletes." Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2017. június 9. Az eredetiből archiválva : 2012. augusztus 5.. 
  185. ↑ King, M. Max Ernsttől Ernst Machig: episztemológia a művészetben és a tudományban. (2002). Hozzáférés dátuma: 2015. szeptember 17. Az eredetiből archiválva : 2016. május 4.
  186. ↑ Dodgson, N. A. Bridget Riley csíkos festményeinek matematikai jellemzése  //  Journal of Mathematics and the Arts : folyóirat. - 2012. - Kt. 5 . - P. 1-21 . doi : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . . „Az 1980-as évek elején Riley mintái szabályosabbról véletlenszerűbbre változtak (amit a globális entrópia jellemez), anélkül, hogy elveszítették volna ritmikus szerkezetüket (amit a lokális entrópia jellemez). Ez Kudielka művészi fejlődésének leírását tükrözi."
  187. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  116-120 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  188. ↑ Treibergs, Andrews A perspektivikus rajzolás geometriája számítógépen . Utah Egyetem (2001. július 24.). Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2010. március 10.
  189. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika és művészet: Kultúrtörténet. - Princeton University Press , 2015. - xviii. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  190. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika és művészet. 6. Origami . Amerikai Matematikai Társaság. Letöltve: 2015. szeptember 1. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 14..
  191. ↑ T. Sundara Rao. Geometriai gyakorlatok papírhajtogatásban . - Addison, 1893.
  192. ↑ Justin, J. Az origami matematikája, 9. rész // Brit origami. - 1986. - június. - S. 28-30 . .
  193. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Bájos bizonyítékok: Utazás az elegáns  matematikába . - Mathematical Association of America , 2010. - Vol. 42. - P. 57. - (Dolciani Mathematical Expositions). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
  194. ↑ Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. Egy-, két- és többszörös origami axiómák  // 4OSME. – A. K. Peters, 2009.
  195. ↑ A geometrikus játékok világa archiválva 2020. július 22-én a Wayback Machine -nél , Origami Spring Archivált 2017. június 19-én a Wayback Machine -nél , 2007. augusztus.
  196. ↑ angol.  "elképesztő trükk" .
  197. ↑ Főző, Félix. Sokrétű tükrök: A művészetek és a matematika kereszteződése  (angol) . - Cambridge University Press , 2013. - P.  163-166 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  198. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika és művészet: Kultúrtörténet. - Princeton University Press , 2015. - S. 406-410. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  199. ↑ Ghyka, Matila. A művészet és az élet geometriája. - Dover, 2003. - S. ix-xi. - ISBN 978-0-486-23542-4 .
  200. ↑ Lawlor, Robert. Szakrális geometria: filozófia és gyakorlat. – Temze és Hudson, 1982. - ISBN 978-0-500-81030-9 .
  201. ↑ 1 2 Calter, Paul égi témák a művészetben és építészetben (a hivatkozás nem elérhető) . Dartmouth College (1998). Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2015. június 23. 
  202. ↑ Egy gondolat gondolata – Edgar Allan Poe . MathPages. Letöltve: 2015. szeptember 5. Az eredetiből archiválva : 2021. április 18..
  203. ↑ Livio, Mario Az aranymetszés és az esztétika . Letöltve: 2015. június 26. Az eredetiből archiválva : 2015. június 17..

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák