Borrome gyűrűk

Borrome gyűrűk
Jelölés
Conway [.egy]
Alexander-Briggs 6 3 2
Polinomok
Jones   [egy]
Invariánsok
A fonat hossza 6
A szálak száma 3
A kereszteződések száma 6
Hiperbolikus térfogat 7,327724753
Szegmensek száma 9
Oldja ki a számot 2
Tulajdonságok
Váltakozó link , hiperbolikus
 Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A borromei gyűrűk [2] három topológiai körből  álló láncszemek , amelyek összekapcsolódnak és egy brunni láncszemet alkotnak (vagyis bármely gyűrű eltávolítása a két megmaradt gyűrű szétválásához vezet). Más szavakkal, a három gyűrű közül nincs kettő összekapcsolva, mint a Hopf -linknél , mégis mindegyik össze van kötve.

Matematikai tulajdonságok

Annak ellenére, hogy a borromei gyűrűk az illusztrációkból látszólag természetesek, geometriailag ideális körökből lehetetlen ilyen kapcsolatot létrehozni [3] . Ez látható egy csomódiagram alapján is : ha feltételezzük, hogy az 1-es és a 2-es körök két metszéspontban érintik, akkor vagy ugyanabban a síkban, vagy egy gömbön fekszenek. Mindkét esetben a harmadik körnek négy pontban kell metszenie ezt a síkot vagy gömböt, és nem feküdnie kell rajta, ami lehetetlen [4] .

Ugyanakkor az ellipszisek segítségével az ilyen összekapcsolás elvégezhető, és ezeknek az ellipsziseknek az excentricitása tetszőlegesen kicsinyre tehető. Emiatt a hajlékony huzalból készült vékony gyűrűk borromei gyűrűként használhatók.

Eljegyzés

A csomóelméletben a borromei gyűrűk a legegyszerűbb példája a brunni kapcsolatnak – bár egyetlen gyűrűpár sincs összekapcsolva , nem lehet szétválasztani őket.

Ennek bizonyításának legegyszerűbb módja, ha figyelembe vesszük két nem összefüggő kör komplementerének alapcsoportját ; a Seifert-van Kampen tétel szerint ez egy szabad csoport két generátorral, a és b generátorral, majd a harmadik ciklus megfelel a kommutátor osztálynak , [ a , b ] = aba −1 b −1 , ami a következőből látható. a link diagram. Ez a kommutátor nem triviális az alapcsoportban, ezért a Borrome-gyűrűk összekapcsolódnak.

Az aritmetikai topológiában van analógia a csomópontok és a prímek között , ami lehetővé teszi a prímek kapcsolatának nyomon követését. A prímek hármasát (13, 61, 937) a 2. modulhoz kapcsoljuk (a Rhedei-szimbóluma egyenlő -1), de ezek a számok páronként nem kapcsolódnak a 2. modulhoz (minden Legendre-szimbólum 1-gyel egyenlő). Az ilyen prímszámokat "szabályos Borromean hármas modulo 2"-nek [5] vagy "egyszerű Borromean modulo 2-nek" nevezik. [6]

Hiperbolikus geometria

A Borrome-gyűrűk a hiperbolikus csatolás példái  – a Borrome -gyűrűk komplementere egy 3 gömbben lehetővé teszi a teljes hiperbolikus metrikát, véges térfogattal. A komplement kanonikus kiterjesztése (Epstein-Penner) két szabályos oktaéderből áll . A hiperbolikus térfogat egyenlő 16Л(π/4) = 7,32772…, ahol Л a Lobacsevszkij-függvény . [7]

Kapcsolódás kaszával

Ha levágjuk a borrome-i gyűrűket, akkor a szokásos fonatszövés egy iterációját kapjuk . Ezzel szemben, ha egy közönséges fonat (egy iteráció) végeit összekötjük, borrome-i gyűrűket kapunk. Az egyik gyűrű eltávolítása felszabadítja a maradék kettőt, és egy szalag eltávolítása a fonatból a másik kettőt – ezek a legegyszerűbb brunni láncszem és a brunni fonat .

A szabványos linkdiagramon a Borrome-gyűrűk ciklikus sorrendben vannak rendezve . Ha a fenti színeket használja, a piros a zöld helyett, a zöld a kék, a kék a piros, és amikor az egyik gyűrűt eltávolítják, a megmaradt gyűrűk egyike a másik fölé kerül, és nem kapcsolódnak be. Ugyanez a helyzet a ferde szalaggal: minden szalag a második felett és a harmadik alatt helyezkedik el.

Történelem

A "borromei gyűrűk" elnevezés az észak-olaszországi borromeai arisztokrata család címerén való használatukból származik . Az eljegyzés sokkal régebbi, és valknut ként jelent meg a hetedik századból származó viking képkövön .

A borromei gyűrűket különféle összefüggésekben használták, például a vallásban és a művészetben, hogy megmutassák az egység erejét. Különösen a gyűrűket használták a Szentháromság szimbólumaként . Jacques Lacan pszichoanalitikusról ismert, hogy az emberi személyiség topológiájának modelljeként a borrome-i gyűrűkben talált ihletet, amelyben mindegyik gyűrű a valóság egy alapvető összetevőjét képviseli („valós”, „képzelt” és „szimbolikus”).

2006-ban a Nemzetközi Matematikai Unió úgy döntött, hogy a spanyolországi Madridban megrendezett XXV. Nemzetközi Matematikai Kongresszuson borrome -i gyűrűkre épülő logót használ [8] .

Az indiai Tamil Nadu állambeli Chennai Marundiiswarar templomának a hatodik századból származó kőoszlopa tartalmaz ilyen ábrát [9] [10] .

Részleges gyűrűk

Számos középkorból és reneszánszból származó vizuális jel létezik, amelyek három elemből állnak, amelyek ugyanúgy kapcsolódnak egymáshoz, mint a borromei gyűrűk (általánosan elfogadott kétdimenziós ábrázolásukban), de az egyes elemek nem zárt ábrázolást jelentenek. gyűrűk. Ilyen szimbólumok például a Snoldelev kövön lévő szarvak és Diane de Poitiers félholdjai . A három különböző elemet tartalmazó jelvényre példa az Internacional klub jelvénye . Bár kisebb mértékben, ezek a szimbólumok közé tartozik a gankiel és a három elemből álló Venn-diagram .

Ezenkívül a majomököl csomó lényegében a Borrome-i gyűrűk háromdimenziós ábrázolása, bár a csomónak három szintje van.

További gyűrűk

A csomóelméletben egyes kapcsolatok több borrome-i gyűrű konfigurációt tartalmaznak. Egy ilyen típusú, öt gyűrűből álló vegyületet használnak szimbólumként a diszkordianizmusban, a Principia Discordia könyv képe alapján .

Megvalósítások

A molekuláris Borrome-gyűrűk a Borrome-gyűrűk  molekuláris analógjai, amelyek mechanikusan összekapcsolt molekulaszerkezetek . 1997-ben Mao Chengde biológus (Chengde Mao) és a New York-i Egyetem társszerzői sikeresen építettek gyűrűket DNS -ből [11] . 2003-ban Fraser Stoddart vegyész és társszerzői a Kaliforniai Egyetemen összetett vegyületeket használtak , hogy egy műveletben 18 komponensből gyűrűket építettek [12] .

A Borrome-gyűrűk kvantummechanikai analógját halo-nak vagy Efimov-állapotnak nevezik (az ilyen állapotok létezését Vitalij Nikolajevics Efimov fizikus jósolta meg 1970-ben). 2006-ban Rudolf Grim és Hans-Christoph Nägerl kutatócsoportja, az Innsbrucki Egyetem Kísérleti Fizikai Intézetéből (Ausztria) kísérletileg megerősítette az ilyen állapotok létezését céziumatomok ultrahideg gázában, és a felfedezést a tudományos folyóiratban publikálták. Természet [13] . A houstoni Rice Egyetemen Randall Hulet vezette fizikusok három kötött lítiumatom felhasználásával ugyanazt az eredményt kapták, és eredményeiket a Science Expressben publikálták [14] . 2010-ben egy K. Tanaka vezette csoport megkapta az Efimov állapotot neutronokkal (neutron halo) [15] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ A csomó atlasz – 2005.
  2. ↑ A név a Borromean család címeréből származik , amelyen ezek a gyűrűk vannak.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Massey termékek a számmezők Galois-kohomológiájában. — 2004. február 13.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analógiák a csomók és a prímek, a 3-elosztók és a számgyűrűk között. - 2009. április 22. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ William Thurston. A három sokaság geometriája és topológiája. - 2002. március - C. Ch 7. A kötet számítása p. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Letöltve: 2015. május 20. Az eredetiből archiválva : 2016. március 3.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Arul Lakshminarayan blogbejegyzése
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , p. 137–138.
  12. ↑ Ezt a munkát a Science 2004 , 304 , 1308-1312 publikálták . Absztrakt archiválva : 2008. december 8. a Wayback Machine -nél
  13. ↑ Kraemer, 2006 , p. 315–318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , p. 062701.

Irodalom

Linkek