Tate hipotézisei

Tate  hipotézisei a 19. századi matematikus, Peter Guthrie Tate három hipotézise, ​​amelyet a csomók tanulmányozása során [ [1] állított fel . Tate hipotézisei olyan csomóelméleti fogalmakat tartalmaznak , mint a váltakozó csomók , a kiralitás és a csavarodási szám . Tate összes sejtése beigazolódott, az utolsó a fordított sejtés.

Háttér

Tate a 19. század végén állt elő hipotéziseivel, miután megpróbálta táblázatba foglalni az összes csomópontot. A csomóelmélet megalapítójaként munkájának nem volt szigorú matematikai alapja, és nem teljesen világos, hogy hipotéziseit minden csomóra kiterjesztette-e, vagy csak a váltakozó csomókra . Kiderült, hogy ezek többsége csak váltakozó csomópontokra igaz [2] . Tate sejtései szerint a csomódiagramot „csökkentettnek” mondják, ha az összes „nyakat” vagy „triviális kereszteződést” eltávolítják.

Változó csomópontok metszéspontjainak száma

Tate azt javasolta, hogy bizonyos körülmények között a kereszteződés száma invariáns csomó , különösen:

Egy váltakozó kapcsolat bármely kicsinyített diagramja a lehető legkisebb számú metszésponttal rendelkezik.

Más szóval, egy redukált váltakozó kapcsolat metszéspontjainak száma csomóinvariáns. Ezt a sejtést Louis Kaufman, Kunio Murasugi (村杉邦男) és Morven B. Thistlethwaite igazolta 1987-ben a Jones-polinom [3] [4] [5] segítségével .

Egy geometriai bizonyítást, amely nem használ csomópolinomokat, 2017-ben adott Joshua Green [6] .

Twist szám és kiralitás

Tate második hipotézise:

Az amficharális (vagy akirális) váltakozó link nulla csavarási számmal rendelkezik.

Ezt a sejtést Kaufman és Thistlethwaite is bebizonyította [3] [7] .

Lapozás

Tate inverziós hipotézise a következőképpen fogalmazható meg:

Adott két rövidített váltakozó diagram és egy orientált egyszerű váltakozó link, akkor a diagram átalakítható valamilyen műveletsorral, amelyet inverziónak neveznek [8]

Tate inverziós hipotézisét Thistlethwaite és William Menasco igazolta 1991-ben [9] . Számos további Tate-hipotézis következik Tate fordított sejtéséből:

Ugyanazon váltakozó csomó bármely két kicsinyített diagramja azonos csavarási számmal rendelkezik.

Ez abból következik, hogy az átfordítás megőrzi a csavarószámot. Ezt a tényt korábban Murasugi és Thistlethwaite is bebizonyította [7] [10] . Ez Green munkájából is következik [6] . A nem váltakozó csomókra ez a sejtés nem igaz, és a Perco pár ellenpélda [2] .

Ez az eredmény a következő feltételezést is magában foglalja:

A váltakozó amfikirális csomópontoknak páros számú metszéspontja van [2] .

Ez abból a tényből következik, hogy a tükörcsomónak ellenkező csavarási száma van. Ez a hipotézis ismét csak a váltakozó csomópontokra igaz – van egy nem váltakozó amfikirális csomópont 15 metszésponttal [11] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Lickorish, 1997 , p. 47.
  2. ↑ 1 2 3 Stoimenow, 2008 , p. 285–291.
  3. ↑ 1 2 Kauffman, 1987 , p. 395–407.
  4. ↑ Murasugi, 1987 , p. 187–194.
  5. ↑ Thistlethwaite, 1987 , p. 297–309.
  6. ↑ Greene 12. , 2017 , p. 2133–2151.
  7. ↑ 1 2 Thistlethwaite, 1988 , p. 311–318.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Tait csomós sejtései  a Wolfram MathWorld webhelyen .
  9. ↑ Menasco, Thistlethwaite, 1993 , p. 113–171.
  10. ↑ Murasugi, 1987 , p. 317–318.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irodalom