Skene arány
A csomóelmélet központi kérdése az , hogy két diagram ugyanazt a csomót ábrázolja-e . A kérdés megválaszolásához használt egyik eszköz a csomópolinom , amely a csomóinvariáns . Ha két diagram különböző polinomoknak felel meg , akkor különböző csomópontokat képviselnek. Ennek a fordítottja nem mindig igaz.
A gombolyag relációt (vagy Conway-típusú relációt ) gyakran használják csomópolinom egyszerű meghatározására. Informálisan szólva a gombolyag-reláció lineáris kapcsolatot határoz meg a csomópolinom értékei között három linken , amelyek csak kis területen térnek el egymástól. Egyes polinomoknál, például a Conway- , Alexander- és Jones -polinomoknál , egy megfelelő skein-reláció elegendő a polinom rekurzív kiszámításához . Mások, például a HOMFLY polinom bonyolultabb algoritmusokat igényelnek.
Definíció
A bőrrelációban három linkdiagram szerepel , amelyek egy metszéspont kivételével mindenhol azonosak. Ennek a három diagramnak három lehetőséget kell kifejeznie, amelyek ebben a metszéspontban előfordulhatnak: egy szál áthaladhat egy másik szál alatt , áthaladhat rajta, vagy egyáltalán nem keresztezheti. Figyelembe kell venni a linkdiagramokat , mivel akár egy metszéspont megváltoztatásával a csomódiagramból linkdiagram lehet, és fordítva. Az adott csomópolinomtól függően a bőrrelációban megjelenő hivatkozások lehetnek orientáltak vagy nem orientáltak.
A három diagramot a következőképpen jelöljük. Forgassa el a csomót úgy, hogy mindkét szál iránya a kérdéses metszéspontban körülbelül észak felé mutasson. Az egyik diagramon az északnyugati irányú szál átmegy az északkeleti szálon, ezt jelöljük . Egy másik diagramon az északkeleti szál áthalad az északnyugati szálon, ez a . Az utolsó diagramon nem szerepel ez a metszés, és jelölése .
(Valójában a jelölés irányfüggetlen abban az értelemben, hogy ha minden irányt megfordítunk, a jelölés változatlan marad. Ezért a polinomokat egyedileg definiálják az irányítatlan csomópontoknál. A hivatkozáson való tájolás azonban alapvetően fontos megjegyezni, hogy milyen sorrendben rekurziót hajtottak végre.)
Hasznos ezt úgy gondolni, hogy egy diagramból két diagramot állítunk össze úgy, hogy azokat a megfelelő tájolással foltozzuk meg.
Egy csomó (link) polinomjának rekurzív definiálásához a és függvényt a diagramok és polinomjainak bármely hármasára rögzítjük, a fentiek szerint,
vagy óvatosabban
mindenkinek .
(Nem egyszerű feladat olyan függvényt találni , amely függetlenné teszi a polinomot a metszéspontok sorrendjétől a rekurzióban.)
Formálisabban a gombolyag-reláció a laposkoszorú algebra hányadostérkép magjának definíciójaként fogható fel . Egy ilyen leképezés akkor felel meg egy csomóponti polinomnak, ha az összes zárt diagram összetett típusú üres diagramokra van leképezve.