A csomóelméletben egy csomó vagy link diagramja váltakozik , ha a metszéspontok váltakoznak – alatta, felette, alatta, felette stb., ha végighaladunk a kapcsolat egyes összetevői között. Egy hivatkozás váltakozó , ha van egy váltakozó diagramja.
A 10-nél kisebb metszéspontokkal rendelkező csomópontok közül sok váltakozik. Ez a tény és a váltakozó csomók hasznos tulajdonságai, mint például Tate sejtései , lehetővé tették néhány kutatónak, köztük Tate-nek, hogy viszonylag kevés hibát vagy kihagyást tartalmazó táblázatokat állítsanak össze. A legegyszerűbb, nem váltakozó egyszerű csomóknak 8 metszéspontja van (és három ilyen csomó van - 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Van egy olyan hipotézis, hogy a metszéspontok számának növekedésével a nem váltakozó csomópontok százalékos aránya exponenciálisan gyorsan 0-ra hajlik.
A váltakozó láncszemek fontos szerepet játszanak a csomóelméletben és a 3 -sokozatú elméletben , mivel komplementereik hasznos és érdekes geometriai és topológiai tulajdonságokkal rendelkeznek. Ez pedig lehetővé tette Ralph Foxnak , hogy a kérdést: „Mi az a váltakozó csomó?” . Így azt kérdezi, hogy a csomó komplementerének milyen, diagramokhoz nem kapcsolódó tulajdonságai jellemezhetik a váltakozó csomókat.
2015 novemberében Joshua Evan Green kiadott egy preprintet, amely az összehúzódó felületek meghatározása szempontjából meghatározza a váltakozó láncszemek jellemzését, pl. alternáló linkek definíciói (melyek között a váltakozó csomók speciális esetek) a link diagramok fogalmának használata nélkül [1] .
Különféle geometriai és topológiai információk váltakozó diagramokban jelennek meg. A hivatkozás egyszerűsége és oszthatósága jól látható a diagramon. Az adott váltakozó diagram metszéspontjainak száma a csomó metszéspontjainak száma, és ez Tate egyik híres sejtése.
A váltakozó csomódiagram egy az egyhez egyezésben van egy síkgráftal . Minden metszésponthoz egy él tartozik, a diagram komplementer összefüggő komponenseinek fele pedig csúcsokhoz van társítva.
Tate hipotézisei:
Tate első két sejtését Morven B. Thistlethwaite , Louis Kaufman és K. Murasugi igazolta 1987-ben, 1991-ben pedig ugyanez a Thistlethwaite és William Menasco bizonyította Tate inverziós sejtését.
William Menasco , Thurston hiperbolizációs tételét alkalmazva Haken-sokaságokra , bebizonyította, hogy bármely egyszerű elválaszthatatlan váltakozó láncszem hiperbolikus , azaz. a hivatkozás komplementere Lobacsevszkij geometriájú , hacsak nem tórikus a hivatkozás .
Így a hiperbolikus térfogat sok váltakozó kapcsolat invariánsa. Mark Lakenby megmutatta, hogy a térfogatnak van felső és alsó lineáris határa a csavart régiók számának függvényében az adott váltakozó diagramban.