Hopf link
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .A Hopf-hivatkozás a legegyszerűbb, nem triviális kapcsolat , amely két vagy több komponensből áll [1] , két egyszer összekapcsolt körből áll [2] , és Heinz Hopfról kapta a nevét [3] .
Geometriai ábrázolás
A konkrét modell két , egymásra merőleges síkban elhelyezkedő egységkörből áll , úgy, hogy mindegyik áthalad a másik középpontján [2] . Ez a modell minimalizálja a kötél hosszát (a kötél hossza a csomóelmélet invariánsa), és 2002-ig a Hopf-link volt az egyetlen, amelyre vonatkozóan a kötél hosszát ismerték [4] . E két kör domború teste egy oloidnak nevezett testet alkot [5] .
Tulajdonságok
A két komponens relatív orientációjától függően a Hopf összekapcsolási együttható ±1 [6] .
A Hopf link egy (2,2) -torikus hivatkozás [7] egy leíró szóval [8] .
A Hopf- kapcsolat komplementere egy tórusz feletti henger [9] . Ennek a térnek lokálisan euklideszi geometriája van , így a Hopf-hivatkozás nem hiperbolikus . A Hopf link csomócsoport ( kiegészítőjének alapcsoportja ) a ( szabad Abel-csoport két generátoron), és ez különbözteti meg a Hopf hivatkozást két nem összekapcsolt körtől, amelyek két generátoron lévő szabad csoportnak felelnek meg [10] .
A Hopf link nem lehet háromszínű . Ez egyenesen következik abból, hogy egy linket csak két színnel lehet kiszínezni, ami ellentmond a színezés definíciójának második részének. Minden kereszteződésben maximum 2 szín lehet, így a színezésnél megszegjük az 1 vagy 3 szín követelményét minden kereszteződésben, illetve megszegjük az 1-nél több szín követelményét.
Hopf köteg
A Hopf-köteg egy folyamatos leképezés egy 3 gömbből (háromdimenziós felület a négydimenziós euklideszi térben ) az ismertebb 2 gömbbe , úgy, hogy a 2 gömb minden pontjának inverz képe egy kör. Így a 3-as gömb egy folytonos körcsaládra bomlik, és ebből a családból minden két különböző kör Hopf-kapcsolatot alkot. Ez a tény arra késztette Hopfot, hogy tanulmányozza a Hopf-hivatkozásokat – mivel bármely két réteg össze van kapcsolva , a Hopf-köteg egy nem triviális köteg . Ezzel kezdetét vette a gömbök homotópiás csoportjainak vizsgálata [11] .
Történelem
A kapcsolat Heinz Hopf topológusról kapta a nevét , aki 1931 -ben tanulmányozta a Hopf-fibrációról szóló munkájában [12] . Egy ilyen linket azonban Gauss [3] használt , és a matematikán kívül már jóval korábban is találkoztak vele, például a 16. században alapított Buzan-ha
Lásd még
- Cathenans , kémiai vegyületek két mechanikusan összekapcsolt molekulával
- Salamon csomója , két kétfogú gyűrű
Jegyzetek
- ↑ Adams, 2004 , p. 151.
- ↑ 1 2 Kusner és Sullivan 1998 , p. 67–78.
- ↑ 1 2 Prasolov, Sosinsky, 1997 , p. 12.
- ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002 , p. 257–286.
- ↑ Dirnböck, Stachel, 1997 , p. 105–118.
- ↑ Adams, 2004 .
- ↑ Kauffman, 1987 , p. 373.
- ↑ Adams, 2004 , p. 133, 5.22. gyakorlat.
- ↑ Turaev, 2010 , p. 194.
- ↑ Hatcher, 2002 , p. 24.
- ↑ Shastri, 2013 , p. 368.
- ↑ Hopf, 1931 , p. 637–665.
Irodalom
- Prasolov V. V., Sosinsky A. B. . Csomók, linkek, zsinórok és háromdimenziós elosztók. - M. : MTSNMO, 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .
- Adams, Colin Conrad. . A csomók könyve: Elemi bevezetés a csomók matematikai elméletébe. - Amerikai Matematikai Társaság, 2004. - ISBN 9780821836781 .
- Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. A csomók és láncszemek minimális kötélhosszáról // Inventiones Mathematicae. - 2002. - 20. évf. 150, sz. 2. - doi : 10.1007/s00222-002-0234-y . - arXiv : math/0103224 .
- Dirnböck H., Stachel H. Az oloid fejlődése // Journal for Geometry and Graphics. - 1997. - 1. évf. 1, sz. 2.
- Hatcher, Allen. . Algebrai topológia. - 2002. - ISBN 9787302105886 .
- Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen . - Berlin: Springer , 1931. - doi : 10.1007/BF01457962 .
- Kauffman, Louis H. Csomókon. - Princeton University Press, 1987. - Vol. 115. - (Matematika Tanulmányok Évkönyvei). — ISBN 9780691084350 .
- Kusner R. B., Sullivan J. M.. Topológia és geometria a polimertudományban (Minneapolis, MN, 1996). - New York: Springer, 1998. - Vol. 103.- (IMA Vol. Math. Appl.). - doi : 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 .
- Shastri, Anant R. . Alapvető algebrai topológia. - CRC Press, 2013. - ISBN 9781466562431 .
- Turaev, Vladimir G. . Csomók és 3-sokaságok kvantuminvariánsai. - Walter de Gruyter, 2010. - Vol. 18. - (De Gruyter matematikai tanulmányok). — ISBN 9783110221831 .