Lobacsevszkij geometriája

A Lobacsevszkij - geometria (vagy hiperbolikus geometria ) a nem-euklideszi geometriák egyike , egy geometriai elmélet, amely ugyanazokon az alapvető axiómákon alapul, mint a közönséges euklideszi geometria , kivéve a párhuzamos egyenesek axiómáját , amelyet a tagadása vált fel .

A párhuzamokról szóló euklideszi axióma (pontosabban a vele egyenértékű állítások egyike, más axiómák jelenlétében) a következőképpen fogalmazható meg:

Egy adott egyenesen nem fekvő ponton átmenő síkban pontosan egy egyenes húzható párhuzamosan az adott egyenessel .

A Lobacsevszkij-geometriában a következő axiómát fogadják el helyette:

Egy nem adott egyenesen fekvő ponton legalább két olyan egyenes haladjon át, amelyek az adott egyenessel ugyanabban a síkban vannak, és nem metszik azt.

A Lobacsevszkij-axióma pontos tagadása Euklidész axiómájának (ha minden más axióma teljesül), mivel az az eset, amikor egyetlen egyenes sem megy át olyan ponton, amely nem egy adott egyenesen fekszik, és amely egy adott egyenessel ugyanabban a síkban fekszik, nem metszi, más axiómák (az abszolút geometria axiómái ) miatt kizárt. Így például a gömbgeometria és a Riemann -geometria , amelyben bármely két egyenes metszi egymást, és ezért sem Euklidész párhuzamos axiómája, sem Lobacsevszkij axiómája nem áll fenn, összeegyeztethetetlen az abszolút geometriával.

Lobacsevszkij geometriája kiterjedt alkalmazásokkal rendelkezik mind a matematikában, mind a fizikában. Történelmi és filozófiai jelentősége abban rejlik, hogy konstrukciójával Lobacsevszkij megmutatta az euklideszitől eltérő geometria lehetőségét , amely új korszakot jelentett a geometria , a matematika és általában a tudomány fejlődésében.

Történelem

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérletek

Lobacsevszkij geometriájának kiindulópontja Euklidész ötödik posztulátuma volt, a párhuzamos axiómával egyenértékű axióma . Euklidész elemei posztulátumainak listáján szerepelt . Megfogalmazásának viszonylagos összetettsége és nem intuitív volta másodlagos természetének érzetét keltette, és kísérleteket tett arra, hogy tételként Euklidész többi posztulátumából származtassa.

A sok közül, akik megpróbálták bizonyítani az ötödik posztulátumot, különösen a következő prominens tudósok voltak.

Az ókori görög matematikusok , Ptolemaiosz ( II. század ) és Proklosz ( V. század ) (két párhuzamos távolság véges távolságának feltételezésén alapul).
Ibn al-Haytham Irakból ( 10. század vége - 11. század eleje ) (azon a feltételezésen alapul, hogy az egyenesre merőleges mozgó vége egyenest ír le).
Iráni matematikusok , Omar Khayyam ( 11. század 2. fele – 12. század eleje ) és Nasir ad-Din at-Tusi ( XIII. század ) (azon feltételezés alapján, hogy két konvergáló vonal nem válhat széttartóvá, ha keresztezés nélkül folytatjuk).
Az első általunk ismert európai kísérletet az euklidészi párhuzamosság axiómájának bizonyítására a Provence -ban (Franciaország ) élő Gersonides (más néven Levi ben Gershom, XIV. század ) javasolta . Bizonyítása egy téglalap létezésének állításán alapult [1] .
Clavius német matematikus (1574) [2] .
olasz matematikusok
- Cataldi (először 1603-ban adott ki egy teljes egészében a párhuzamok kérdésének szentelt művet).
- Borelli (1658) [3] .
Wallis angol matematikus (1663, 1693-ban jelent meg) (azon feltételezés alapján, hogy minden alakhoz tartozik egy hasonló, de nem egyenlő szám).
Legendre francia matematikus (1800) (az a feltételezés alapján, hogy egy hegyesszögön belüli minden ponton keresztül lehet húzni egy egyenest, amely a szög mindkét oldalát metszi; más bizonyítási kísérletei is voltak).

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérletekben a matematikusok (explicit vagy implicit) néhány új állítást vezettek be, amely nyilvánvalóbbnak tűnt számukra.

Kísérletek történtek az ellentmondásos bizonyításra:

az olasz matematikus , Saccheri ( 1733 ) (a posztulátumnak ellentmondó állítást megfogalmazva számos következményt vont le, és ezek egy részét tévesen ellentmondásosnak ismerve a posztulátumot bizonyítottnak tekintette),
Lambert német matematikus ( 1766 körül , 1786 -ban jelent meg ) ( kutatások elvégzése után bevallotta, hogy nem talált ellentmondásokat az általa felépített rendszerben).

Végül elkezdett felfogni, hogy lehetséges elméletet építeni az ellenkező posztulátum alapján:

német matematikusok Schweikart ( 1818 ) és Taurinus ( 1825 ).
Carl Friedrich Gauss német matematikus

Nem euklideszi geometria létrehozása

Lobacsevszkij A geometria alapelveiről ( 1829 ), első, nem euklideszi geometriáról írt munkájában egyértelműen kijelentette, hogy az ötödik posztulátum nem igazolható az euklideszi geometria egyéb premisszái alapján, és hogy az euklideszi geometriával ellentétes posztulátum feltételezése. Euklidesz posztulátuma lehetővé teszi, hogy egy ugyanolyan értelmes és ellentmondásoktól mentes geometriát hozzunk létre, mint az euklideszi.

Egyszerre és egymástól függetlenül Bolyai János , Carl Friedrich Gauss pedig még korábban jutott hasonló következtetésekre. Bolyai munkássága azonban nem keltette fel a figyelmet, hamar felhagyott a témával, míg Gauss általában elzárkózott a publikálástól, nézeteit csak néhány levélből és naplóbejegyzésből lehet megítélni [4] . Például egy 1846 -os levelében, amelyet G. H. Schumacher csillagásznak írt , Gauss a következőképpen beszélt Lobacsevszkij munkásságáról:

Ez a munka tartalmazza annak a geometriának az alapjait, amelynek meg kellene történnie, és ráadásul szigorúan következetes egészet alkotna, ha az euklideszi geometria nem lenne igaz... Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezi; Tudja, hogy 54 éven át ( 1792 óta ) ugyanazokat a nézeteket vallom néhány fejleményükkel, amelyeket nem akarok itt megemlíteni; így Lobacsevszkij művében nem találtam semmi újat a magam számára. De a téma kidolgozásában a szerző nem azt az utat követte, amelyet én magam követtem; Lobacsevszkij mesterien csinálja, igazán geometrikus szellemben. Kötelességemnek tartom felhívni a figyelmét erre a munkára, amely minden bizonnyal egészen kivételes örömet okoz. [5]

Ennek eredményeként Lobacsevszkij az új geometria első legfényesebb és legkövetkezetesebb propagandistája volt. Noha Lobacsevszkij geometriája spekulatív elméletként fejlődött ki, és maga Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezte, mégis ő volt az, aki először nyíltan nem az elme játékaként, hanem a térbeli viszonyok lehetséges és hasznos elméleteként javasolta. Konzisztenciájának bizonyítására azonban később került sor, amikor értelmezéseit (modelleit) jelezték.

Lobacsevszkij geometriájának megállapítása

Lobacsevszkij 1856 -ban halt meg . Néhány évvel később Gauss levelezését publikálták, köztük Lobacsevszkij geometriájáról szóló több dicséretet, és ez felhívta a figyelmet Lobacsevszkij munkásságára. Megjelennek francia és olasz fordításaik, neves geométerek megjegyzései. Bolyai műve is megjelenik .

1868- ban Beltrami cikket közölt Lobacsevszkij geometriájának értelmezéseiről. Beltrami meghatározta a Lobacsevszkij-sík metrikáját, és bebizonyította, hogy mindenhol állandó negatív görbülete van. [6] Ekkor már ismert volt egy ilyen felület - ez a Minding pszeudoszféra . Beltrami arra a következtetésre jutott, hogy a Lobacsevszkij-sík lokálisan izometrikus a pszeudoszféra egy részére (lásd alább). Ugyanebben a cikkben a Beltrami két modellt is közöl, amelyeket ma Klein -modellnek és Poincaré-modellnek hívnak .

Ezekben a dolgozatokban Beltrami egyértelmű geometriai bizonyítékot adott az új geometria konzisztenciájára, pontosabban arra, hogy Lobacsevszkij geometriája akkor és csak akkor inkonzisztens, ha Eukleidész geometriája inkonzisztens. Lobacsevszkijnek is volt ilyen bizonyítéka, de az bonyolultabb volt, az egyik irányban az euklideszi síkmodell Lobacsevszkij geometriájában, a modell felhasználásával készült, mint Beltraminál, [7] analitikusan a másik irányba ment el.

Weierstrass külön szemináriumot szentel Lobacsevszkij geometriájának a berlini egyetemen ( 1870 ). A Kazanyi Fizikai és Matematikai Társaság szervezi Lobacsevszkij teljes munkáinak kiadását, 1893 -ban pedig nemzetközi szinten ünneplik az orosz matematikus századik évfordulóját.

Modellek

Lobacsevszkij geometriájának modelljei bizonyították konzisztenciáját, pontosabban megmutatták, hogy Lobacsevszkij geometriája ugyanolyan konzisztens, mint Euklidész geometriája.

Maga Lobacsevszkij adta meg analitikus geometriájának alapjait, és ezzel tulajdonképpen egy ilyen modellt vázolt fel. Azt is észrevette, hogy a Lobacsevszkij-térben lévő horoszféra izometrikus az euklideszi síkhoz képest, így valójában egy inverz modellt javasol. Beltrami és mások munkájában azonban már a modell fogalmát is tisztázták.

Pszeudoszféra

Eugenio Beltrami olasz matematikus 1868 -ban vette észre , hogy a Lobacsevszkij-sík egy darabján a geometria megegyezik az állandó negatív görbületű felületek geometriájával, amelynek legegyszerűbb példája a pszeudoszféra . Ha a Lobacsevszkij-sík egy véges darabján lévő pontok és egyenesek a pszeudoszférán lévő pontokhoz és a legrövidebb vonalakhoz ( geodéziák ) vannak társítva, a Lobacsevszkij-síkban történő mozgás pedig egy alak pszeudoszféra mentén történő mozgásához és hajlításhoz, azaz egy hosszúságot megőrző deformáció, akkor a Lobacsevszkij-geometria bármely tétele megfelel annak, hogy a pszeudoszférán. Ugyanakkor a hosszúságok, szögek, területek a pszeudoszférán való természetes mérésük értelmében értendők.

Itt azonban a geometriának csak egy lokális értelmezése adható meg, vagyis egy korlátozott területen, és nem a teljes Lobacsevszkij-síkon. A Dini-felszín hasonló modellt ad – ez a Lobacsevszkij-sík horociklussal határolt régiójának izometrikus bemerülése .

A projektív modell

A Lobacsevszkij-repülőmodell, amelyet először Beltrami javasolt.

A sík a kör belseje, az egyenes a kör vége nélküli húrja, a pont pedig a körön belüli pont. A „mozgás” egy körnek önmagában való bármilyen átalakítása, amely akkordokat akkordokká alakít át. Ennek megfelelően a körön belüli alakzatokat egyenlőnek nevezzük, amelyeket az ilyen transzformációk átfordítanak egymásba. Aztán kiderül, hogy bármely ilyen nyelven leírt geometriai tény Lobacsevszkij geometriájának egy tételét vagy axiómáját képviseli. Más szóval, Lobacsevszkij geometriájának bármely síkon történő megállapítása nem más, mint az euklideszi geometria megállapítása, amely a körön belüli alakzatokra utal, csak a jelzett kifejezésekkel újramondva. A párhuzamokra vonatkozó euklideszi axióma itt nyilvánvalóan nem teljesül, mivel egy olyan ponton keresztül , amely nem egy adott húron fekszik (azaz „egyenes”), tetszőleges számú akkord („egyenes”) halad át, amelyek nem metszik egymást. azt (például , ). $P$ $b$ $b'$

Ebben a modellben a pontok és egy húr távolságát a kettős összefüggés határozza meg $A$ $B$ $NM$

\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\jobbra)

A külső abszolútumban az anti-de Sitter tér geometriája valósul meg .

Konform euklideszi modell, Poincaré modell

A Beltrami által javasolt másik Lobacsevszkij-repülőmodell.

A kör belsejét a Lobacsevszkij-síknak vesszük, az adott kör kerületére merőleges köríveket és átmérőit egyenesnek tekintjük, a mozgások a körökhöz viszonyított inverziók kombinációjával kapott transzformációk, amelyek ívei egyenes vonalként szolgálnak.

A Poincaré-modell annyiban figyelemre méltó, hogy benne a szögeket közönséges szögekkel ábrázolják.

Modell egy hiperboloidon Minkowski térben

Az aláírási térben vegyünk egy kétlapos hiperboloidot . Válasszuk ki az összetevők tetejét . Vegye figyelembe, hogy ez az összetevő térszerű. Különösen a másodfokú forma határoz meg rajta egy metrikát; ezzel a mérőszámmal a felső komponens a Lobacsevszkij-sík modellje. ${\megjelenítési stílus (+,+,-)}$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$ $t>0$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$

Az egyenesek (más szóval a geodetikusok ) ebben a modellben a hiperboloidnak az origón áthaladó síkok metszete.

A perspektivikus vetítés egy vízszintes síkra, amelynek középpontja az origóban van, ezt a modellt projektív modellté alakítja. A perspektivikus vetítés egy vízszintes síkra, amelynek középpontja egy pont, ezt a modellt konformálisan euklideszivé alakítja. $(0,0,-1)$

Állandó negatív görbületű felület

Lobacsevszkij geometriájának egy másik analitikus definíciója az, hogy Lobacsevszkij geometriáját egy állandó negatív görbületű Riemann-tér geometriájaként definiáljuk. Ezt a meghatározást már 1854-ben Riemann adta, és magában foglalta Lobacsevszkij geometriájának modelljét, mint állandó görbületű felületek geometriáját. Riemann azonban nem kötötte össze konstrukcióit közvetlenül Lobacsevszkij geometriájával, jelentését, amelyben ezeket közölte, nem értették, és csak halála után ( 1868 -ban ) publikálták.

Ilyen felületre példa egy képzeletbeli sugarú gömb

({\vec {x)),{\vec {x)))=-1

x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

a Minkowski térben . Lásd a Modell hiperboloidon részt .

Lobacsevszkij geometriájának tartalma

Lobacsevszkij a geometriai alapfogalmakból és az axiómából kiindulva építette fel geometriáját, és geometriai módszerrel bizonyította a tételeket, hasonlóan ahhoz, ahogy Euklidész geometriájában. A párhuzamos egyenesek elmélete szolgált alapul, hiszen itt kezdődik a különbség Lobacsevszkij geometriája és Euklidész geometriája között. Minden olyan tétel, amely nem függ a párhuzamos axiómától, mindkét geometriában közös; ezek alkotják az úgynevezett abszolút geometriát , amely magában foglalja például a háromszögek egyenlőségének jeleit. A párhuzamosság elméletét követve további szakaszok épültek, köztük a trigonometria, valamint az analitikus és differenciálgeometria elvei .

Mutassunk be (modern jelöléssel) Lobacsevszkij geometriájának több olyan tényét, amelyek megkülönböztetik azt Eukleidész geometriájától, és amelyeket maga Lobacsevszkij állapított meg.

Egy adott R egyenesen nem fekvő P ponton keresztül (lásd az ábrát) végtelenül sok olyan egyenes van, amelyik nem metszi R -t és egy síkban van vele; köztük van két szélső x , y , amelyeket aszimptotikusan párhuzamosnak (néha éppen párhuzamosnak) nevezünk az R egyenessel , a többit pedig ultrapárhuzamosnak .

A P - től R - ig tartó merőleges PB és az aszimptotikusan párhuzamosak közötti szög (az úgynevezett párhuzamossági szög ) 90°-ról 0°-ra csökken, ahogy a P pont távolodik az egyenestől (a Poincare-modellben a szögek a szokásos értelem egybeesik a Lobacsevszkij-i értelemben vett szögekkel, ezért ez a tény közvetlenül is látható). Egyrészt a párhuzamos x (és az ellenkező oldalon y ) aszimptotikusan megközelíti a -t, másrészt végtelenül távolodik tőle (a távolságokat a modellekben nehéz meghatározni, ezért ez a tény közvetlenül nem látható). $\theta$

Egy adott egyenestől PB = a távolságra lévő pontra (lásd az ábrát) Lobacsevszkij adott egy képletet a П(a) párhuzamossági szögre [8] :

\theta =\Pi (a)=2\operátornév {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q))}

Itt q a Lobacsevszkij-tér görbületével kapcsolatos állandó. Ugyanúgy szolgálhat abszolút hosszegységként, mint a gömbgeometriában a gömb sugara speciális pozíciót foglal el.

Ha az egyeneseknek van közös merőlegesük, akkor ultrapárhuzamosak, vagyis annak mindkét oldalán végtelenül divergálnak. Bármelyikre vissza lehet állítani olyan merőlegeseket, amelyek nem érik el a másik egyenest.

Lobacsevszkij geometriájában nincsenek hasonló, de egyenlőtlen háromszögek; A háromszögek egybevágóak, ha szögeik egyenlőek.

Bármely háromszög szögeinek összege kisebb , és tetszőlegesen közel lehet nullához (a 180° és az ABC háromszög szögeinek összege közötti különbség Lobacsevszkij geometriájában pozitív – ezt a háromszög hibájának nevezzük). Ez közvetlenül látható a Poincaré modellben. A különbség , ahol , , a háromszög szögei, arányos a területével: $\pi$ $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

S=q^{2}\cdot \delta

A képletből látható, hogy egy háromszögnek van egy maximális területe, és ez egy véges szám: . $\pi q^{2}$

Az egyenestől egyenlő távolságra lévő vonal nem egyenes, hanem egy speciális görbe, amelyet egyenlő távolságnak vagy hiperciklusnak neveznek .

A végtelenül növekvő sugarú körök határa nem egy egyenes, hanem egy speciális görbe , amelyet határkörnek vagy horociklusnak neveznek .

A végtelenül növekvő sugarú gömbök határa nem egy sík, hanem egy speciális felület - a határoló gömb, vagy horoszféra ; figyelemre méltó, hogy az euklideszi geometria tartja magát rajta. Ez szolgálta Lobacsevszkijt a trigonometriai képletek levezetésének alapjául.

A kerület nem arányos a sugárral, hanem gyorsabban növekszik. A Lobacsevszkij-geometriában a szám nem határozható meg a kör kerületének és átmérőjének arányaként. $\pi$

Minél kisebb a régió a térben vagy a Lobacsevszkij-síkon, annál kevésbé térnek el a geometriai viszonyok ebben a régióban az euklideszi geometria relációitól. Elmondhatjuk, hogy egy infinitezimális tartományban játszódik le az euklideszi geometria. Például minél kisebb a háromszög, annál kevésbé tér el a szögeinek összege a ; minél kisebb a kör, annál kevésbé tér el a hosszának és a sugárnak az aránya stb. a geometriai képletek az euklideszi geometria képleteivé válnak. Az euklideszi geometria ebben az értelemben Lobacsevszkij geometriájának „korlátozó” esete. $\pi$ $2\pi$

A sík és a tér kitöltése szabályos politópokkal

A Lobacsevszkij-síkot nem csak szabályos háromszögekkel , négyzetekkel és hatszögekkel lehet burkolni , hanem bármilyen más szabályos sokszöggel is . Ugyanakkor a parketta egy csúcsában legalább 7 háromszögnek, 5 négyzetnek, 4 öt- vagy hatszögnek, vagy 3 6-nál több oldalú sokszögnek kell konvergálnia, vagyis a különböző burkolólapok száma végtelen és segítséggel. a Schläfli-szimbólum ( M darab N -gons) a Lobacsevszkij-sík összes burkolata a következőképpen írható fel: $\left\{N,M\right\}$

{3, 7}, {3, 8}, …, azaz {3, M }, ahol M ≥7;
{4, 5}, {4, 6}, …, azaz {4, M }, ahol M ≥5;
{5, 4}, {5, 5}, …, azaz {5, M }, ahol M ≥4;
{6, 4}, {6, 5}, …, azaz {6, M }, ahol M ≥4;
{N, M}, ahol N ≥7, M ≥3.

Minden burkolólaphoz szigorúan meghatározott N - gon egységnyi méretre van szükség, különösen a területnek egyenlőnek kell lennie: $\left\{N,M\right\}$

S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\jobb)

Ellentétben a közönséges térrel (háromdimenziós euklideszi tér), amely csak egy módon tölthető ki szabályos poliéderekkel (8 kocka egy csúcson, vagy négy egy élen {4,3,4}), a Lobacsevszkij-féle háromdimenziós tér szabályos poliéderekkel burkolt , valamint lapos, végtelen számú módon. A Schläfli-szimbólum használatával ( M darab N -szög konvergál egy csúcsban , és P poliéder minden élen ) az összes csempe a következőképpen írható fel: $\left\{N,M,P\right\}$

{3,3,6}, {3,3,7}, …, azaz {3,3, P }, ahol P ≥6;
{4,3,5}, {4,3,6}, …, azaz {4,3, P }, ahol P ≥5;
{3,4,4}, {3,4,5}, …, azaz {3,4, P }, ahol P ≥4;
{5,3,4}, {5,3,5}, …. Azaz {5,3, P }, ahol P ≥4;
{3,5,3}, {3,5,4}, …, azaz {3,5, P }, ahol P ≥3.

Az ilyen válaszfalak politópjai végtelen térfogatúak lehetnek, kivéve a tér véges számú, véges térfogatú szabályos poliéderekké történő partícióját:

{3,5,3} (élenként három ikozaéder)
{4,3,5} (élenként öt kocka)
{5,3,4} (négy dodekaéder élenként)
{5,3,5} (öt dodekaéder élenként)

Ezenkívül 11 módja van a Lobacsevszkij-tér kitöltésének szabályos mozaikhoroszférákkal ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, { 4,4, 3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3, 6,3} ).

Alkalmazások

Lobacsevszkij biztos volt benne, hogy valódi terünk euklideszi. Ellenkező esetben bármely csillag éves parallaxisa nagyobb lenne egy bizonyos értéknél, amely csak a tér görbületétől függ. Egyes csillagok akkoriban kiszámított parallaxisát felhasználva (ami nagyon pontatlannak bizonyult) Lobacsevszkij úgy becsülte, hogy egy olyan háromszög szögeinek összege, amelyek oldalai megközelítőleg megegyeznek a Föld pályájának sugarával, legfeljebb annyival tér el a 180 °-tól, mint 0,00037 ″ (később A. P. Kotelnyikov kimutatta, hogy ezen a helyen Lobacsevszkij két nagyságrendű vagy elírási hibát követett el: adatai szerint ez a különbség nem lehet nagyobb 0,0000037″-nál). Lobacsevszkij szerint ezek a számítások azt mutatják, hogy az euklideszi geometria pontosan írja le a fizikai teret [9] .
Maga Lobacsevszkij alkalmazta elméletét a határozott integrálok kiszámítására, és ezeket geometriájában szereplő alakzatok hosszának, területének vagy térfogatának kifejezéseiként értelmezte. [tíz]
Az összetett változó függvényeinek elméletében Lobacsevszkij geometriája segített felépíteni az automorf függvények elméletét . A Lobacsevszkij geometriájával való kapcsolat volt itt Poincaré kutatásának kiindulópontja , aki azt írta, hogy "a nem-euklideszi geometria az egész probléma megoldásának kulcsa". [11] [12]
Szoros kapcsolat jött létre Lobacsevszkij geometriája és a speciális (privát) relativitáselmélet kinematikája között . Ez az összefüggés azon a tényen alapul, hogy a fény terjedésének törvényét kifejező egyenlőség

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2))

-vel osztva , vagyis a fénysebességre, megadja

t^{2}

v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}

- a térben lévő gömb egyenlete , , - a sebesség x , y , z tengelyek menti összetevőivel (a "sebességtérben"). A Lorentz-transzformációk megőrzik ezt a gömböt, és mivel lineárisak, a közvetlen sebességtereket egyenesekké alakítják. Ezért a Klein-modell szerint egy c sugarú gömbön belüli sebességterében , azaz a fénysebességnél kisebb sebességeknél a Lobacsevszkij-geometria játszódik le. [tizenegy]

v_{x}

v_{y}

v_{z}

A Klein-modell segítségével egy nagyon egyszerű és rövid bizonyítást adunk az euklideszi geometriában a pillangótételre .

Mítoszok

Széles körben elterjedt tévhit (amely különösen a nem matematikai irodalomban és folklórban tükröződik), hogy Lobacsevszkij geometriájában „párhuzamos vonalak metszik egymást” [13] [14] . Ez nem igaz. Először is, a párhuzamos egyenesek nem metszhetik egymást (semmilyen geometriában) a párhuzamosság definíciója szerint . Másodszor, Lobacsevszkij geometriájában pontosan lehetséges egy olyan ponton keresztül húzni, amely nem egy adott egyenesen fekszik, végtelenül sok olyan egyenest, amely nem metszi egymást.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rosenfeld B. A. Euklidész ötödik posztulátumának bizonyítékai Hassan ibn al-Khaytham és Leo Gersonides középkori matematikusaitól. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
↑ Clavius C. Euclidis Elementorum, libri XV. – Róma, 1574.
↑ Borelli GA Euclidus Restitutus. — Pisa, 1658.
↑ Általában azt mondják, félt, hogy félreértik. Valójában az egyik levélben, amely az ötödik posztulátum és a nem euklideszi geometria kérdését érinti , Gauss ezt írja: „féljetek a boióták kiáltásától „<...> Talán azonban Gauss hallgatásának egy másik magyarázata: ő azon kevesek közé tartozott, akik megértették, hogy bármennyi érdekes tételt nem vezettek le a nem-euklideszi geometriáról, ez mégsem bizonyít semmit - mindig fennáll annak elméleti lehetősége, hogy további következményeként egy ellentmondásos állítás születik. Vagy talán Gauss megértette (vagy érezte), hogy akkoriban (a 19. század első felében) még nem találtak olyan matematikai fogalmakat, amelyek lehetővé tennék a probléma pontos felvetését és megoldását. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, ch. XII, par. 2, - Fizmatlit, Moszkva, 2009.
↑ A geometria alapjairól. Klasszikus művek gyűjteménye Lobacsevszkij geometriájáról és gondolatainak fejlődéséről. Moszkva: Gostekhizdat, 1956, 119-120.
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Lobachevsky, N.I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. Berlin: F. Fincke, 1840; harminc
↑ Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.) A 19. század matematikája. Moszkva: Nauka, II. kötet, p. 62.
↑ Larisa I. Brylevskaya. Lobacsevszkij geometriája és az Univerzum geometriájának kutatása (angol) // A Belgrádi Csillagászati Obszervatórium kiadványai. - 2008. - Nem. 85 . - 129-134 . o . Archiválva az eredetiből: 2019. szeptember 24.
↑ Kagan V.F. Lobacsevszkij . - M. - L .: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1948. - S. 238 -242.
↑ 1 2 Lobacsevszkij geometria // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ C.S. Yogananda. Poincaré és az automorf függvények elmélete // Rezonancia. - 2000. - V. 5 , sz. 2 . - S. 26-31 .
↑ Párhuzamos vonalak - a mitológiában, a valóságban és a matematikában A Wayback Machine 2010. április 20-i archív példánya Uspensky V. A. Matematika bocsánatkérése, 8. fejezet.
↑ Lobacsevszkij geometriájának felfedezése nagy hatással volt a matematika fejlődésére, valamint a matematika és a külvilág kapcsolatának megértésére. Az ebből fakadó viták láthatóan sok bölcsész nézetét befolyásolták. Sajnos itt inkább egy művészi kép formájában rögzülnek: a „földi” – euklideszi geometria és az „absztrakt” – nem euklideszi, matematikusok által kitalált szembenállás. Sőt, e két geometria közti különbség állítólag abban rejlik, hogy az elsőben, mindenki számára érthetően párhuzamos egyenesek nem metszik egymást, a másodikban pedig, amit a hétköznapi elme nehezen fog fel, metszik egymást. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, ch. XII, 426. o., - Fizmatlit, Moszkva, 2009.

Irodalom

Az alapítók munkái

Lobachevsky NI Geometriai tanulmányok a párhuzamos egyenesek elméletéről // Kazan Bulletin. - Kazan: Kazanyi császári egyetem, 1829-1830. - 25-29. sz .
A geometria alapjairól. Klasszikus művek gyűjteménye Lobacsevszkij geometriájáról és gondolatainak fejlődéséről. Moszkva: Gostekhizdat, 1956.

Modern irodalom

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometria. - Moszkva: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Mi a nemeuklideszi geometria. – Moszkva: URSS, 2007.
Delaunay BN Lobacsevszkij planimetriája következetességének elemi bizonyítéka. - Moszkva: Gostekhizdat , 1956.
Iovlev N. N. Bevezetés Lobacsevszkij elemi geometriájába és trigonometriájába . - M. - L. : Giz., 1930. - S. 67.
Kadomtsev S. B. Lobacsevszkij geometriája és a fizika. - Szerk. 3. - M . : Könyvesház " LIBROKOM ", 2009. - 72 p.
Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Popov A. G. "Lobacsevszkij geometriája: felfedezés és út a modernitáshoz" // Priroda . - 1993. - 7. sz . - S. 19-27 .
S. B. Kadomcev, E. G. Poznyak, D. D. Szokolov Lobacsevszkij geometriájának néhány fizikával kapcsolatos kérdése . — A tudomány és a technológia eredményei. Ser. Probl. geom., 13, VINITI, M., 1982, 157-188.
Klein F. Nem-euklideszi geometria . - M. - L. : ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G. Pszeudoszférikus felületek // Soros Oktatási Folyóirat . - ISSEP, 2004. - V. 8. , 2. sz . - S. 119-127 .
Popov AG Pszeudogömbfelületek és a matematikai fizika néhány problémája .
Rozenfeld B. A. Lobacsevszkij geometriájának értelmezései // Történeti és matematikai tanulmányok . - M. : GITTL, 1956. - 9. sz . - S. 169-208 .
Smogorzhevsky A. S. "Lobacsevszkij geometriájáról" // Népszerű előadások a matematikáról . - Gostekhizdat, 1958. - T. 23 . - S. 68 .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - Moszkva: Fizmatlit , 2009.

Linkek

Lobacsevszkij geometriája archiválva 2021. december 7-én a Wayback Machine -nél

Szótárak és enciklopédiák

Nagy norvég
Nagy orosz
Nagy Szovjet (1 kiadás)
Britannica (online)

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 12065206h GND : 4161041-6 J9U : 987007565328305171 LCCN : sh85054149 LNB : 000142143 NKC : ph257174