Antidesitter tér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 122 szerkesztést igényelnek .

Az anti-de Sitter tér állandó negatív görbületű pszeudo-Riemann-féle sokaság . A -dimenziós hiperbolikus tér pszeudo-riemann analógjának tekinthető . Elnevezése a de Sitter térrel szemben , általánosan jelölve $n$ $AdS_{n}$

Az AdS tér nagyon fontos szerepet játszik az általános relativitáselméletben , mivel az Einstein-egyenletek maximálisan szimmetrikus megoldásaként jön létre vákuumban , negatív kozmológiai állandóval : $\lambda$

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R-\Lambda g_{\mu \nu }=0

Az AdS meghatározása beágyazási felületként

A tér sík térbe ágyazható [1] . Ez a beágyazás úgy néz ki, mint egy egylapos hiperboloid, amelyet a következő egyenlet ad meg: $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$

-y_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{d}y_{i}^{2}-y_{d+1}^{2}=-R^{2 }

( 1 )

ahol a környezeti tér mérőszáma a következőképpen van megadva: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$

ds^{2}=-(dy_{0})^{2}+\sum _{i=1}^{d}(dy_{i})^{2}-(dy_{d+1 })^{2}=\eta _{\mu \nu }dy^{\mu }dy^{\nu },

\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,...,+1,-1),

és az R állandó a tér sugara . Ezt a kozmológiai állandóval fejezzük ki az Einstein-egyenletben : $AdS_{d+1}$ $\lambda$

\Lambda =-{\frac {d(d-1)}{2R^{2))}.

( 2 )

A fenti beágyazás a tér szabványos definíciójaként szolgál , amelyre a [2] szöveg későbbi részében utalunk . Az ( 1 ) egyenlet megmarad a környező térben történő forgások során. Ennek eredményeként a csoport izomorf a tér izometriáinak (transzformációk, amelyek nem változtatják meg a távolságot) csoportjával . Ez a tulajdonság nagyon fontos szerepet játszik a húrelmélet AdS /CFT megfelelésében , mivel a csoport konform transzformációk csoportja a négydimenziós Minkowski térben. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$ $AdS_{d+1}$ $SO(2,d)$ $AdS_{d+1}$ $SO(2,4)$

Az AdS meghatározása homogén térként

Létezik egy topológiai módszer is a tér homogén térként való meghatározására, pl. pontok halmaza valamely csoport megkülönböztetett tranzitív tevékenységével . A maximálisan szimmetrikus terek (vagyis homogén és izotróp terek) esetében az izometriák egy csoportja, amely teljes mértékben meghatározza az ilyen terek topológiáját [3] Például egy kétdimenziós gömb esetében létezik egy természetes beágyazása . A forgáscsoport hatását korlátozva egyértelmű , hogy minden pontra a stabilizátor a csoport , azaz. pontban érintő síkban a forgatások nem változtatják meg a pont helyzetét . Ebből következik, hogy egy kétdimenziós gömb tere két merőleges csoport arányaként határozható meg [4] : $AdS_{d+1}$ $G$ $G$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $O(3)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{2}$ $x\in S^{2}$ ${\text{Stab}}(x)=O(2)$ $S^{2}$ $x$ $x$

S^{2}={\frac {O(3)}{O(2)))

Hasonlóan érvelve a szóköz beágyazásakor , az AdS területet két általánosított ortogonális csoport arányaként határozhatjuk meg: $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$

AdS_{d+1}={\frac {O(2,d)}{O(1,d)))

A hirdetési terület metrikájának általános tulajdonságai

Az AdS-terület metrikájának megírására (parametrizálására) sokféle módszer létezik. Mindegyik az ( 1 ) beágyazási egyenlet különböző megoldása. Állandó görbületű terek esetében általános, hogy a metrikát konforman lapos formában ábrázolják [5] :

{\displaystyle ds^{2}=f(x^{2})\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))

ahol , , az állandó előjel valamilyen függvénye. Például az ( 1 ) beágyazási egyenlet megoldható úgy, hogy a leképezésnek megfelelő helyi koordinátákat az AdS-en (sztereografikus vetület) vezetünk be: $f(x^{2})$ ${\displaystyle x^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu ))$ $x^{1},...,x^{d+1}$

{\displaystyle y^{0}=R{\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

{\displaystyle y^{\mu }=R{\frac {2Rx^{\mu }}{R^{2}-x^{2))))

ahol

x^{2}=(x^{1})^{2}+...(x^{d})^{2}-(x^{d+1})^{2}\ neq R^{2}

\mu =1,...,d+1

ami az AdS-terület metrikájának, mint tipikus hiperbolikus térnek a jól ismert paraméterezéséhez vezet (lásd például [5] ):

ds^{2}={\frac {4\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}{(1+K_{0}\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu })^{2))}.

Itt

{\displaystyle K_{0}=-{\frac {1}{R^{2))))

egy állandó metszeti görbület [6] . A Schur Lemma (Riemanni geometria) szerint az állandó görbületű terek Riemann-tenzora a következőképpen fejeződik ki : $K_{0}$

R_{\mu \nu \rho \sigma }=K_{0}(g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }-g_{\nu \rho }g_{\mu \sigma }) .

Innen a Ricci-tenzor és a tér skaláris görbületének kifejezései kaphatók : $R_{\mu \nu }$ ${\cal {R}}$ $AdS_{d+1}$

R_{\mu \nu }=g^{\rho \sigma }R_{\rho \mu \sigma \nu }=(K_{0}d)g_{\mu \nu },

{\cal {R}}=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=d(d+1)K_{0}.

Amint az a ( 2 )-ből látható, az y -dimenziós tér nullától eltérő görbülete az Einstein-egyenletek nem nulla kozmológiai állandója miatt adódik: $K_{0}$ ${\megjelenítési stílus (d+1)}$ $\lambda$

\Lambda ={\frac {d(d-1)}{2}}K_{0}

Megmutatható, hogy az AdS tér Weil-tenzora eltűnik [7] . A méreteknél ez szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a tér egyenletesen lapos legyen. A fenti ábrázolásban a metrika koordináta szingularitású, ezért ez a koordináta rács nem fedi le a teljes sokaságot. Hasonló tulajdonság érvényesül a legtöbb más bevonat esetében is. Az AdS terület legismertebb lefedései az alábbiakban találhatók. $d\geq 4$

Globális koordináták az AdS d+1 -en

Fizikai alkalmazásokban az ( 1 ) egyenlet általános megoldása a következő formában kényelmesebb:

y^{0}={\sqrt {\rho ^{2}+R^{2))}\cdot \sin {\frac {t}{R)),

y^{d+1}={\sqrt {\rho ^{2}+R^{2))}\cdot \cos {\frac {t}{R)),

( 3 )

y^{i}=\rho \cdot {\hat {n_{i))},

ahol a feltétel által meghatározott hiperszférikus koordináták szögrészét fejezi ki: ${\displaystyle {\kalap {n_{i))))$

\sum _{i=1}^{d}(y^{i})^{2}=\rho ^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{d}({\ kalap {n_{i}}})^{2}=1

Például d=3 esetén:

y^{1}=\rho \cdot \cos \theta

y^{2}=\rho \cdot \sin \theta \cos \phi

y^{3}=\rho \cdot \sin \theta \sin \phi

A beágyazott koordináták ( 3 ) szempontjából a térmetrika a következőképpen alakul: $AdS_{d+1}$

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {d\rho ^{2}}{1+{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}} ))}+\rho ^{2}d\Omega _{d-1}^{2}-\left(1+{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}\jobb )dt^{2},

( 4 )

ahol a térszög-különbség négyzete van . Például d=3 esetén: $d\Omega _{d-1}^{2}$ $S^{d-1}$

d\Omega _{2}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

Általánosságban, a miatt a következőket írhatjuk: $\sum \limits _{i=1}^{d}{\hat {n_{i}}}d{\hat {n_{i}}}=0$

d\Omega _{d-1}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{d}d{\hat {n_{i))}^{2}.

A ( 4 ) egyenlet azt mutatja, hogy a bevezetett metrika karakterisztikus hosszúsági skálával rendelkezik , pl. a térsugár nemcsak a görbületét határozza meg, hanem a vizsgált tér távolságainak léptékét is . Ugyanakkor a ( 3 )-ból látható, hogy topológiailag , ami egy lapos hiperboloidnak felel meg (1. ábra). $R$ $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle AdS_{d+1}\approx S^{1}\times R^{d))$

A változók megváltoztatása után:

t\rightarrow tR,

{\frac {\rho }{R}}=\operátornév {tg} \chi ,

0\leqslant \chi <{\frac {\pi }{2)),

a metrika ( 4 ) a következő formában jelenik meg:

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{2}\chi }}\left(dt^{2}-d\chi ^{2}-\sin ^{2}\chi d\Omega _{d-1}^{2}\jobbra)

( 5 )

Itt a környező tér metrikájának előjele megváltozik (az ( 1 ) egyenlet előjelével együtt). A metrikában ( 5 ) a radiális koordináta mentén tértömörödés jelenik meg, mert az új radiális koordináta véges értéktartományon megy keresztül: $AdS_{d+1}$ $\chi$

{\frac {\rho }{R}}\rightarrow \infty ,

\chi \rightarrow {\frac {\pi }{2)).

Gyakran kényelmesebb a radiális koordinátát az ( 5 )-be inverz helyettesítéssel bevinni,

{\frac {\rho }{R}}=\chi ,

és vegye figyelembe a mérőszámot:

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{2}\left({\frac {\rho }{R}}\right )}}\left(dt^{2}-{\frac {d\rho ^{2}}{R^{2}}}-\sin ^{2}\left({\frac {\rho }{ R}}\right)d\Omega _{d-1}^{2}\right).

( 6 )

Ez nem kapcsolódik a metrikához ( 4 ). A metrika ( 6 ) a , feltétel mellett teljesen egyenértékű a ( 5 ) metrikával. A ( 6 ) alakú metrikát globálisnak [8] nevezzük . Ebben a paraméterezésben célszerű (lokálisan) hengerként elhelyezni és ábrázolni , amelynek szimmetriatengelye egybeesik az időtengellyel és a radiális koordinátával , amint az a 2. ábrán látható. ${\frac {\rho }{R))$ ${\frac {\rho }{R))$ ${\frac {\rho }{R}}\in [0;{\frac {\pi }{2)))$ $t\in (-\infty ;\infty )$ $R=1$ $AdS_{d+1}$ $\rho \in [0;{\frac {\pi }{2)))$

Abból, hogy a metrika ( 6 ) indukálva van (a környezeti tér metrika előjele megváltozik), kapcsolatot létesíthetünk a beágyazási koordinátákkal: $\mathbb {R} ^{d,2}$

y^{0}=R{\frac {\cos t}{\cos({\frac {\rho }{R))))),

y^{d+1}=R{\frac {\sin t}{\cos({\frac {\rho }{R))))),

( 7 )

y^{i}=R\;\operátornév {tg} ({\frac {\rho }{R)))\cdot {\hat {n_{i))}.

A ( 7 ) jobb oldalán lévő globális koordinátákat tekintve a globális szimmetriák a következő szimmetriákban láthatók: vannak körüli elforgatások , 1 elforgatás az idősíkban , végül pedig a térszerű tengelyek kombinációinak és a térbeli tengelyekkel való kombinációinak megfelelő emelések . Ugyanakkor ezek az átalakulások együtt egy csoportot alkotnak . $AdS_{d+1}$ ${\frac {1}{2}}d(d-1)$ $y^{i},\;1\leqslant i\leqslant d$ $(y^{0},y^{d+1})$ $2d$ $y^{0}$ $y^{d+1}$ $d$ ${\displaystyle y^{i))$ $SO(2,d)$

Gyakran kényelmesnek bizonyul a globális metrika egy másik megfogalmazása , amelyet a következő koordináták megváltoztatásával kapunk ( 6 ): $AdS_{d+1}$

dk={\frac {d({\frac {\rho }{R)))}{\cos({\frac {\rho }{R))))),\;\Rightarrow k=\ int {\frac {d({\frac {\rho }{R)))}{\cos({\frac {\rho }{R))))

ami a ( 6 ) alakhoz vezet:

ds^{2}=R^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}(k)dt^{2}-dk^{2}-\operatorname {sh} ^{2} (k)d\Omega _{d-1}^{2}\jobbra)

Ezenkívül ez a nézet közvetlenül elérhető a beágyazott koordinátákból ( 3 ). Ez a kifejezés egy globális metrika hiperbolikus formában, és a mérőszám pontja nem szinguláris, és [9] $AdS_{d+1}$ $k=0$ $k\in [0;\infty )$

Poincaré koordináták az AdS-en

Az AdS tér globális koordinátákban való figyelembevétele fizikai szempontból bonyolult, mert a globális koordinátákban megadott idő ciklikus, amint az a ( 7 ) -ből látható . Valójában, amikor az AdS az Einstein-egyenletek megfelelő megoldását jelenti üres térben, mindig meg kell érteni, hogy az időkoordináta ki van tekercselve , különben oksági problémák merülnek fel (zárt időciklusok létezése). Ez a finomság különbözteti meg az AdS-terület fizikai megközelítését a tisztán matematikai megközelítéstől. Ez a finomság elkerülhető a globális koordináták speciális lefedésével, amelyek csak az AdS terület egy részét írják le. A globális koordináták leggyakrabban használt univerzális lefedése az AdS-ben a Poincaré-koordinátákra való áttérés (Poincare Patch). E koordináták különleges szerepe, hogy ebben a paraméterezésben keletkezik az AdS tér a húrelméletben jól ismert AdS/CFT megfelelésben.

AdS (E) Poincaré-koordinátái d+1 (euklideszi változat)

Végezzünk el Wick-forgatást a koordinátához , és írjuk be a fénykúp koordinátáit az euklideszi aláírásba: $y^{d+1}:y^{d+1}\rightarrow iy^{d+1}$

U=y^{0}+y^{d+1},

( 8 )

V=y^{0}-y^{d+1}.

Nevezzük a pontok lokuszának euklideszi változatát: $AdS_{d+1}$

y_{E}^{2}=(y^{0})^{2}-(y^{d+1})^{2}-{\overline {y))^{2}= UV-{\overline {y}}^{2}=R^{2},

( 9 )

{\overline {y}}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{d}(y^{i})^{2}.

Ez azt jelenti, hogy rögzített esetén kétlapos hiperboloidként ábrázolható a síkban . Ezután vegye figyelembe a koordináták következő változását: $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$ ${\overline {y))$ $(y^{0},y^{d+1})$

\zeta ^{\alpha }={\frac {y^{\alpha }}{U)),\;(\alpha =1..d),

( 10 )

{\overline {\zeta }}^{2}=\sum _{\alpha =1}^{d}(\zeta ^{\alpha })^{2}.

Egy ilyen at változtatás lehetővé teszi, hogy a ( 9 ) beágyazási egyenletet a következő formában írjuk fel: $U\neq 0$

y_{E}^{2}=UV-{\overline {y}}^{2}=UV-U^{2}{\overline {\zeta }}^{2}=R^{2 },

\Rightarrow V={\overline {\zeta }}^{2}U+{\frac {R^{2}}{U}}.

( 11 )

Így lehetőség van a teljes tér paraméterezésére a következővel : $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$ $(U,\zeta ^{\alpha })$

dV=2U\zeta ^{\alpha }d\zeta ^{\alpha }+\zeta ^{2}dU-{\frac {R^{2}dU}{U^{2))},

dy^{\alpha }=Ud\zeta ^{\alpha }+{\overline {\zeta }}^{\alpha }dU.

( 12 )

A környezeti tér metrikája a következőképpen írható fel , figyelembe véve ( 9 ): $(U,\zeta ^{\alpha })$

ds_{\text{emb))^{2}=dUdV-(d{\overline {y)))^{2}=(dy^{0})^{2}-(dy^{d +1})^{2}-(d{\overline {y)))^{2}.

Az indukált metrika pedig szabványosan a ( 12 )-ből származik, figyelembe véve a kapcsolatot ( 11 ) és megváltoztatva az előjelet: $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$

ds_{AdS_{d+1}^{\text{(E)}}}^{2}={\frac {R^{2}(dU)^{2}}{U^{2} ))+U^{2}d{\overline {\zeta }}^{2}.

( 13 )

És a mérőszám ( 13 ) is a következő formában lesz:

dS^{2}={\frac {1}{(\zeta ^{0})^{2}}}(R^{2}(d\zeta ^{0})^{2}+ d{\overline {\zeta }}^{2}).

Későbbi cserék és elvezetés a mérőszámhoz: $\zeta ^{i}={\frac {r^{i}}{R}}$ ${\displaystyle \zeta ^{0}={\frac {z}{R^{2))))$

dS_{\text{EPP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+d{\overline {r}}^ {2}).

( 14 )

A metrika ( 14 ) a metrika Poincare-koordinátákban való kifejezése – az úgynevezett euklideszi Poincare-folt (EPP) –, és a tér univerzális lefedése . Nem nehéz kapcsolatot létesíteni az euklideszi aláírás globális koordinátái, a Poincaré-koordináták és a környező tér koordinátái között. A ( 8 ), ( 10 ) és ( 11 ) egyenletek felhasználásával , figyelembe véve a végrehajtott változtatásokat, azt kapjuk, hogy: $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$ $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$

y^{i}={\frac {r^{i}}{z}}R,\;(i=1..d),

y^{0}+y^{d+1}={\frac {R^{2}}{z)),

y^{0}-y^{d+1}={\frac {r^{2}}{z}}+z.

Szükséges csatlakozás:

y^{0}=R{\frac {\operátornév {ch} \tau }{\cos({\frac {\rho }{R)))))={\frac {1}{2} }\left({\frac {z^{2}+r^{2}+R^{2}}{z}}\jobb),

y^{d+1}=R{\frac {\operátornév {sh} \tau }{\cos({\frac {\rho }{R))))))={\frac {1} { 2}}\left({\frac {z^{2}+r^{2}-R^{2}}{z}}\jobb),

( 15 )

y^{i}=R\;\operátornév {tg} \left({\frac {\rho }{R))\right)\cdot {\hat {n_{i))}={\frac {R}{z}}r^{i}.\;(z>0)

Az euklideszi idő már a globális koordinátákban sem ciklikus, azonban ezek a Poincaré-koordináták analitikusan kiterjeszthetők a környező tér Lorentzi aláírására, amelyet alább mutatunk be. A ( 15 ) első egyenletéből látható, hogy és a határ a pontnak felel meg . A ( 15 ) összefüggéseket sematikusan a 3. ábra szemlélteti. $\tau=it$ $y^{0}>0$ $z=0$ $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$

Az euklideszi aláírásban a Poincare koordináták a részt figyelembe véve leírják a teljes AdS teret , és ebben az értelemben egyenértékűek a globális koordinátákkal. Amint alább látható, a lorentzi aláírást a Poincaré-koordinátákkal leírt régió szűkítése jellemzi. Ennek az az oka, hogy a globális koordinátákban az idő ciklikus, ellentétben az euklideszi idővel . $z<0$ $^{\text{(E)))$ $\tau$

Poincaré koordináták az AdS d+1 -ben

A Poincaré-koordinátái ugyanúgy vannak megadva, mint az AdS esetében . Kissé megváltoztatva a jelölést, és a beágyazási egyenletet a következő alakba írva: $AdS_{d+1}$ $^{\text{(E)))$

{\megjelenítési stílus (y^{d+1}-y^{d})(y^{d+1}+y^{d})-\sum _{i=1}^{d-1}(y ^{i})^{2}+(y^{0})^{2}=R^{2},}

( 16 )

lehetőség van az előző bekezdés indoklása szerint a fénykúp-koordináták analógjainak bevezetésére és a ( 16 ) átírására a következő formában: $U$ $V$

y_{L}^{2}=UV-g_{\mu \nu }y^{\mu }y^{\nu }=R^{2},

( 17 )

ahol , és az indexek az értékek felett mozognak . Vezessünk be új koordinátákat: $g_{\mu \nu }={\text{diag))(-1,1,..,1)$ ${\mu ,\nu }=0,1,...,d-1$

\zeta ^{\alpha }={\frac {y^{\alpha }}{U)),\;(\alpha =0,...,d-1),

{\overline {\zeta ^{2}}}=\sum _{\alpha =1}^{d-1}(\zeta ^{\alpha })^{2}-(\zeta ^{ 0})^{2}=g_{\mu \nu }\zeta ^{\mu }\zeta ^{\nu }.

Továbbá a ( 11 )-( 14 ) argumentumok teljes megismétlésével és a , kiválasztásával a Poincaré-koordinátákban lévő metrikához jutunk : $\zeta ^{i}={\frac {x^{i}}{R));\;(i<d)$ $\zeta ^{0}={\frac {x^{0}}{R}}={\frac {t}{R}}$ $AdS_{d+1}$

ds_{\text{PP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+dx^{\mu }dx_{\ mu}),

( 18 )

x^{\mu }x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\sum _{i=1}^{d-1}( x^{i})^{2}-t^{2},

{\megjelenítési stílus (z>0),}

ahol most az időt jelöli Poincaré koordinátákkal. Továbbá, hogy ne keverjük össze az idővel a globális koordinátákban, az utóbbit a következővel jelöljük . A globális beágyazási koordináták és a Poincaré-koordináták közötti kapcsolatok a ( 15 ) relációkhoz hasonlóan a következőképpen vannak felírva: $t$ $t$ $\tau$ $AdS_{d+1}$

y^{0}=R{\frac {\sin \tau }{\cos({\frac {\rho }{R)))))={\frac {R}{z))x^ {0}={\frac {R}{z}}t,

y^{i<d}=R\;\operátornév {tg} ({\frac {\rho }{R)))\cdot {\hat {n_{i))}={\frac {R }{z}}x^{i},

( 19 )

y^{d}=R\;\operátornév {tg} ({\frac {\rho }{R)))\cdot {\hat {n_{d))}={\frac {z}{ 2}}\left(1-{\frac {R^{2}-x^{\mu }x_{\mu }}{z^{2}}}\jobb),

y^{d+1}=R{\frac {\cos \tau }{\cos({\frac {\rho }{R)))))={\frac {z}{2)) \left(1+{\frac {R^{2}+x^{\mu }x_{\mu }}{z^{2}}}\jobb).

Ezeket az egyenleteket relatív módon oldjuk meg , amelyben kényelmes a behelyettesítés ( ): ${\megjelenítési stílus (t,z,x^{i})}$ $(\tau ,\rho ,{\hat {n_{i))})$ ${\frac {\rho }{R))\rightarrow \rho$

t=R{\frac {\sin \tau }{{\hat {n_{d))}\sin \rho -\cos \tau )),

z=R{\frac {\cos \rho }{{\hat {n_{d))}\sin \rho -\cos \tau )),

( 20 )

x^{i}=R{\frac {{\hat {n_{i))}\sin \rho }({\hat {n_{d))}\sin \rho -\cos \tau } }.

Ezekből az összefüggésekből következik, hogy -kor a globális idő most egy véges intervallumon vesz fel értékeket (lásd 4. ábra). $t\rightarrow \pm \infty$ $\tau$

Fontos megjegyezni, hogy az euklideszi szignatúrában a Poincaré-koordináták lefedik a teljes AdS teret , valamint a globális koordinátákat (ez látható a hiperbolikus függvények relációkban való jelenlétéből ( 15 ). A lorentzi aláírásban azonban a A Poincaré-koordináták a teljes AdS-nek csak egy kis aldomainjét fedik le, amelyet az AdS henger köré tekert oksági rombusz határol (lásd 4. ábra). Általánosságban elmondható, hogy a globális koordináták (izometrikusan) az AdS alcsoportjának ábrázolásai szerint alakulnak át. csoportban , a Poincaré-koordinátákban ( 18 ) pedig a -dimenziós Poincaré-csoport és a dilatációk (az összes koordináta egyidejű megnyújtása egy mértékkel) válik láthatóvá . $^{\text{(E)))$ $AdS_{d+1}$ $SO(2)\times SO(d)$ $SO(2,d)$ $d$

Speciális konform transzformációk Poincare koordinátákban

A dilatációk mellett , amelyek a metrika nyilvánvaló szimmetriája ( 18 ), vannak kevésbé nyilvánvaló végtelenül kicsi koordináta-transzformációk az izometria algebrában ( 18 ): $(x^{\mu },z)\to (\lambda x^{\mu },\lambda z)$

x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+(x^{\nu }x_{\nu }-z^{2})b^{\ mu }-2(b^{\nu }x_{\nu })x^{\mu },

( 21 )

z\to z^{\prime }=z-2(b^{\nu }x_{\nu })z.

Itt van egy kis vektor a Poincaré-altérben (azaz a vektor irányú koordinátája egyenlő nullával: ) a Poincaré-koordinátákban. Ennek a transzformációnak az izometrikus volta közvetlen helyettesítéssel ellenőrizhető. A transzformáció Poincaré része ( 21 ) egybeesik egy speciális konform transzformáció definíciójával egy konform dimenziós sokaságon , de a koordinátához kapcsolódó transzformációk , valamint a vektorkomponensek száma nem teszi lehetővé, hogy speciális konformálisként definiáljuk őket. átalakulások a Poincaré foltban . Az adott folt tehát egy Riemann-sokaság, amelynek az izometria algebrája valamivel bonyolultabb, mint a Minkowski-tér. ${\displaystyle b^{\mu ))$ $b$ $z$ $b_{z}=0$ $AdS_{d+1}$ $d$ $z$ ${\displaystyle b^{\mu ))$ $AdS_{d+1}$ $AdS_{d+1}$

Az AdS tér konform határa

Az AdS tér határának kérdése külön tárgyalást igényel. A tér AdS nem a szabványos értelemben vett határral rendelkező sokaság (amikor a határ szomszédságai különböznek az euklideszi féltér határán lévő pontok szomszédságától). Az alábbiakban említett határ a konform tér-idő tömörítéssel kapott ún. konformális határ.

A konform tömörítési konstrukcióban a szóban forgó elosztó egy kompakt elosztó belsejére van leképezve határral, majd ennek a leképezésnek a határát az eredeti elosztó konformális határának nevezzük . Az alkalmazott tervben a mérőszámot megszorozzuk egy közös tényezővel úgy, hogy az új metrikában a távolság bármely ponttól az összes határpontig véges. Lapos térben a konformális határ csak egy pontra redukálódik. A hiperbolikus terek esetében, amelyekhez az AdS is tartozik, a konformális határ nem triviális, és fontos információkat tartalmaz. ${\megjelenítési stílus (N,g)}$ $(M,g)$ $\partial \Phi (N,g)$ $N$

AdS határa globális koordinátákban

Térjünk vissza a ( 17 ) egyenlethez, és vezessünk be új koordinátákat:

y^{\mu }={\widetilde {y^{\mu ))}b,

U={\widetilde {U}}b,

V={\widetilde {V}}b.

Ha elérjük a határértéket , megkapjuk a határbeágyazási egyenletet : $b\rightarrow \infty$ $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$

{\widetilde {U}}{\widetilde {V}}-g_{\mu \nu }{\widetilde {y^{\mu }}}{\widetilde {y^{\nu }}}= 0.

Ez az egyenlet invariáns a skálázás alatt , ahol bármely pozitív valós szám. Ezért a határsokaságot a (projektív) konform ekvivalencia osztályainak kell tekinteni: $b\rightarrow lb$ $l$

UV-g_{\mu \nu }y^{\mu }y^{\nu }=0,

( 22 )

(U,V,y)\sim l(U,V,y).

Könnyen belátható, hogy az ekvivalencia osztályok közül melyik választható újraskálázással ( 22 ):

(y^{0})^{2}+(y^{d+1})^{2}=\sum _{i=1}^{d-1}(y^{i}) ^{2}+(y^{d})^{2}=1.

Ennek eredményeként a tér határa a globális koordinátákban egy konform sokaság a topológiával . A konformális határ mérete eggyel kisebb, mint az eredeti sokaság mérete, ami hasonló a határos sokaság szokásos határának esetéhez. $AdS_{d+1}$ $S^{1}\times S^{d-1}$

AdS határa Poincaré koordinátákban

A Poincare-koordinátákban lévő AdS-határral kapcsolatos érvelést némileg nehezíti, hogy a Poincaré-koordináták az AdS-térnek csak egy részét írják le, így a Poincaré-koordinátákban lévő határnak további régiói vannak, amelyek megfelelnek a globális koordináták nyalábjának [10] .

Poincaré skyline

A ( 17 ) és ( 19 ) egyenletek azt mutatják, hogy a Poincare-koordináták paraméterezése valójában két egyenlő felére osztja az AdS teret: $z>0$

{\frac {y^{d+1}-y^{d}}{R^{2}}}={\frac {1}{z}}={\frac {U}{R^ {2}}}.

( 23 )

A ( 23 ) egyenlet a következőképpen értelmezhető. A paraméterezés kiválasztásakor a beágyazás hiperboloidjának csak a fele kerül leírásra , amelynek koordinátái a feltételtől függenek . Ezzel szemben a paraméterezés globális koordinátákban határozza meg a feltételt . Így, mint a ( 3 ) beágyazó hiperboloidot, egy hipersík boncolja fel , amelynek mindegyik felét Poincaré-koordinátákkal írjuk le. Ezenkívül a ( 23 ) egyenletből az következik, hogy a hipersík az AdS határ Poincare-koordinátákban az a része, amely globális koordinátákban nem szinguláris, és a Poincaré-koordinátákban megadott határértéknek felel meg. Ezt a határt Poincaré-horizontnak nevezik. $z>0$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$ ${\displaystyle y^{d+1}>y^{d))$ $z<0$ ${\displaystyle y^{d+1}<y^{d))$ $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2,d))$ $y^{d+1}=y^{d}$ $y^{d+1}=y^{d}$ $z\rightarrow \infty$

A Poincaré-horizont egyik fontos jellemzője, hogy a globális koordinátákkal ( 20 ) való kapcsolatból a metsző hipersík egyenletét is megkapjuk a következő alakzat globális koordinátáiban: $z\rightarrow \infty$ $x^{\mu <d},t\rightarrow \infty$

\cos \tau ={\hat {n_{d))}\sin \rho .

( 24 )

A ( 25 ) határig való áthaladás , azaz. figyelembe véve a globális határ AdS-t ( 6 ), egyértelmű, hogy léteznek a következő formájú megoldások: $\rho \rightarrow {\frac {\pi }{2))$

\cos \tau ={\hat {n_{d))}.

( 25 )

A ( 25 ) egyenletből következik, hogy a Poincaré-horizont nemcsak a globális határ (at ) részeit tartalmazza, hanem a globális AdS nagy részének alsokaságait is. Másrészt a ( 25 )-ből az következik, hogy a Poincare-patch nyaláb a globális konformális határ részsokaságait tartalmazza, mivel a ( 25 ) egyenlet a esetén is teljesülhet . $\rho \rightarrow {\frac {\pi }{2))$ $0<z<\infty$

Mindazonáltal a Poincaré-horizont részben konform sokaságnak tekinthető, mivel a határértékben a metrika ( 18 ) cseréjével újraparametrizálásával a következő metrika alakot kaphatjuk: $0<z<\infty$ ${\frac {1}{z}}=e^{r}$

ds_{\text{PP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+dx^{\mu }dx_{\ mu })=R^{2}(dr^{2}+e^{2r}dx^{\mu }dx_{\mu }).

( 26 )

Azok. a horizont területe megfelel , és a horizont -ra csökken . Emlékeztetni kell azonban arra, hogy a Poincaré-horizont csak a Poincaré-koordinátákban szinguláris jellemző, pl. még mindig magában foglalja a globális tömeg területeit, ezért nem tekinthető konformális határnak [11] . $z\rightarrow \infty$ $r\rightarrow -\infty$ ${\displaystyle M^{d}\times R^{1))$

Konform AdS-határ Poincaré-koordinátákban

A metrikának ( 18 ) van szingularitása. Az aspiráció során a ( 19 ) relációkból következik (ami csak egy része a globális határnak), és a ( 26 ) at metrika a következő alakra alakul: $z\rightarrow 0$ $y^{\mu }\rightarrow \infty$ $r\rightarrow +\infty$

ds_{\text{PP}}^{2}=e^{2r}dx^{\mu }dx_{\mu }.

( 27 )

Egy szinguláris konform faktor jelenléte azt jelenti, hogy a metrika ( 27 ) konforman lapos. Így látható a térhatár lokális szerkezete a Poincare-koordinátákban – topológiailag ez egy konformális Minkowski dimenziósokaság . $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle M^{d))$ $d$

A fény véges terjedési ideje a határig az AdS-ben

Az AdS térnek van egy speciális tulajdonsága, amely erősen befolyásolja a tér fizikáját, legalábbis makroszkopikus távolságokban. Tekintsük egy fénysugár mozgását Poincaré-koordinátákban, amelyeket fényszerű vektorok írnak le metrikusan ( 26 ), és keressük meg a fénysugár terjedési idejét a ponttól a határig . A metrika ( 26 ) a fényszerű vektorok ( ) állandóinál a következő formában van: $z$ $z_{0}$ $z\to 0$ $x_{i},(i=1...d-1)$ $ds^{2}=0$

ds^{2}=R^{2}(dr^{2}-e^{2r}dt^{2})=0.

Ebből látható, hogy Poincaré a fényjel terjedési ideje a pontban elhelyezkedő forrástól a határig , i.e. a határ koordinátája mentén végesnek bizonyul: $r$ $r_{0}$ $r\to\infty$ $z$ $z\to 0$

t=\int {dt}=R^{2}\int \limits _{r_{0}=-\ln z_{0}}^{\infty }e^{-r}dr=e^ {-r_{0}}<\infty .

Egy masszív részecske, amikor egy geodetikus mentén mozog, nem éri el a határt, és véges időn belül visszatér arra a pontra, ahonnan elkezdett mozogni. Ennek eredményeként az AdS térben lévő szabad részecskék egy gravitációs dobozban vannak .

Határnyaláb kapcsolat az AdS dinamikájához

A fenti tulajdonság szorosan összefügg a globális hiperbolicitás hiányával az AdS térben: az AdS tér bármely fizikai rendszerének evolúciójának leírásához a Cauchy felület kezdeti feltételein túlmenően kiderül, hogy be kell állítani peremfeltételek a teljes konformális határon. Ez annak a következménye, hogy ez a határ időbeli irányt tartalmaz. Ebből egy fontos következtetés következik: ha az AdS tér nyalábjában a dinamikát adjuk meg, akkor annak konformális határán is egyedileg adjuk meg a dinamikát, és fordítva. Bizonyos értelemben ez a tulajdonság a húrelméletben jól ismert holografikus megfelelés (AdS/CFT levelezés) alapja. Nagyjából elmondható, hogy az AdS tömegében a gravitáció egyértelműen meghatározza a konformális térelméletet a határán. Ennek eredményeként, mondjuk egy részecske dinamikája a határon, két egyenértékű leírást enged meg - a gravitációs és a kvantumtér.

Intuitív módon paradoxnak tűnhet a részecskedinamika egyértelmű holografikus kapcsolata valamely tér határán és térfogatában (az ömlesztettben ), mivel a határnak kisebb a dimenziója, aminek – úgy tűnik – korlátozottabb dinamikához kellene vezetnie. Ezek az intuíciók azonban tévesnek bizonyulnak az AdS tér esetében. Ezzel kapcsolatban érdemes megemlíteni a terület és a térfogat arányát az AdS területén. Egy sík térben egy lineáris méretű térrégió területének a térfogatához viszonyított aránya így viselkedik . A sugarú AdS térben ez az arány másként viselkedik - kimutatható, hogy kellően nagy esetén úgy viselkedik , mint pl. nem függ a lineáris mérettől (lásd például [12] ). Ezért a végtelenbe hajlóan világossá válik, hogy az AdS határa annyi fizikai szabadsági fokot (például hullámcsomagok formájában lévő részecskéket) tud befogadni , amennyi ennek a térnek a teljes térfogata. $S$ $L$ $V$ $S/V\sim 1/L$ $R$ $L$ $S/V\sim 1/R$ $L$ $L$

Penrose diagram

A határvonalak szerkezetét kényelmesen szemlélteti a Penrose diagram. Ennek a diagramnak a koordinátákban való felépítéséhez ( 7 ) emlékeznünk kell arra, hogy a globális idő ciklikus, azaz. csak az oksági tartományt lehet megszerkeszteni, például . Változtassunk a mérőszámon ( 6 ). A ( 20 )-ból kitűnik , hogy kényelmesebb egy henger lokális metszetét olyan síkban vizsgálni, amelyre nézve . Az időbeli és térbeli részek tömörítési folyamata , amelyet korábban a metrika globális koordinátákban történő meghatározásánál ismertettünk, egy konformális tényező megjelenéséhez vezet, és így megőrzi azokat a fényszerű görbéket, amelyekre . Így a Penrose diagram -síkján lévő összes egyenes , amely szöget zár be a vagy -hoz képest , fényjeleknek felel meg. Egy ilyen paraméterezésben a tér Penrose-diagramja a 4. ábrán látható globális henger lapos szimmetrikus vetülete, és a diagram minden pontja valójában egy gömb . Ez a diagram az 5. ábrán látható $\tau \in [-\pi ,\pi ]$ $\rho /R\to \rho \in (0,\pi /2]$ $(\tau ,\rho )$ $AdS_{d+1}$ ${\hat {n}}_{d}\in [-1,1]$ $ds^{2}=0$ $(\tau ,\rho )$ $\pi /4$ $\rho$ $\tau$ $AdS_{d+1}$ $AdS_{d+1}$ $S^{d-1}$

A hirdetések Schwarzschild-megoldásként egy feltöltött fekete lyukhoz

Az AdS tér gravitációs megjelenésének jól ismert példája a metrika megoldása egy extrém töltésű Reisner-Nordström fekete lyuk horizontja közelében. A fekete lyuk gömbszimmetrikus metrikájának általános képe:

ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{f(r)))+r^{2}d\Omega ^{2} ,

( 28 )

ahol a térszög négyzete, és egy statikus, gömbszimmetrikus, töltött Reissner-Nordström fekete lyuk négydimenziós térben történő megoldásának függvénye: $d\Omega ^{2}$ $f(r)$

f(r)=1-{\frac {r_{0}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}.

( 29 )

A ( 29 ) általánosítása a mérések esetére a következő helyettesítéssel [13] : $D$

f(r)=1-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{D-3}+\left({\frac {r_{Q}^{2 }}{r^{2}}}\jobbra)^{D-3}.

( 30 )

Itt van a fekete lyuk tömege és a fekete lyuk töltése méterben. Az egyenlet gyökei a metrika szingularitási pontjai ( 28 ). Ha , azaz a fekete lyuk töltetlen, akkor ennek az egyenletnek egy gyöke van, és a metrikának van egy eseményhorizontja a Schwarzschild-sugárban . A Reissner-Nordström megoldás esetében két gyök és : $r_{0}\approx 2M$ $M$ $r_{Q}$ $f(r)=0$ $r_{Q}=0$ $r_{0}$ ${\displaystyle r_{+))$ $r_{-}$

r_{\pm }={\frac {r_{0}\pm {\sqrt {r_{0}^{2}-4r_{Q}^{2)))){2)).

Tekintsük azt az esetet , amikor a metrikának ( 28 ) csak egy szingularitási pontja van, és az úgynevezett szélsőséges Reissner-Nordström fekete lyuk metrikájába kerül: $r_{+}=r_{-}={\frac {r_{0}}{2}}$

f(r)=\left(1-{\frac {r_{0}}{2r}}\right)^{2}.

Kibővíthető a függvény ehhez a szingularitáshoz közel , ha bevezetjük: $f(r)$ $r={\frac {r_{0}}{2}}$

r={\frac {r_{0}}{2}}+u,\qquad u\ll r_{0},\qquad u={\frac {r_{Q}^{2}}{z }}.

( 31 )

A bővítést ( 28 )-ba behelyettesítve és a vezető sorrendet megtartva a következő mérőszámot kapjuk a fekete lyuk közelében:

ds^{2}={\frac {r_{Q}^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}-dt^{2})+r^{2}d \Omega ^{2}.

( 32 )

A metrika ( 32 ) topológiai felépítésű , ahol az AdS-rész Poincaré-koordinátákkal van írva. Ez a mérőszám Bertotti-Robinson mérőszámként ismert. A Poincare-horizont ebben a mérőszámban , amint azt korábban tárgyaltuk, egy extrém fekete lyuk eseményhorizontjának felel meg, és a ( 31 )-ből következik . Ezzel szemben a konformális határ ( ) a fekete lyuktól végtelenül távoli térrégiónak felel meg . $AdS_{2}\times S^{2}$ $z\to \infty$ $u\to 0$ ${\displaystyle AdS_{2))$ $z\to +0$ $u\to +\infty$

Fekete lyukak termodinamikája az AdS térben

Mint ismeretes, a fekete lyukak sugároznak, így hozzárendelhetők egy bizonyos hőmérséklet, az úgynevezett Hawking-hőmérséklet. Ez a sugárzás egy kvantumhatás a fekete lyukak eseményhorizontjához közel. Egészen egyszerűen ez a hatás a következőképpen írható le. Ha egy gömbszimmetrikus fekete lyuk horizontjában lévő kvantumtereket vizsgálunk (görbült geometriával szemben), a mezőoperátorok hatékonyan felbonthatók (lásd például [14] ) a horizonton túlmutató és a területet elhagyó módokra. horizont régióban, és kibocsátják a világűrbe. Így egy gömbszimmetrikusan ívelt szinguláris háttéren a sugárirány kiemelődik. Ennek a hatásnak a fizikai értelmezése az, hogy a fekete lyuk horizontjához közeli gravitációs mezők, amelyek az anyagmezők hátterének tekinthetők, részecskepárok létrejöttéhez vezetnek, amelyek közül az egyik bejut a fekete lyukba, a másik pedig úgy bocsát ki. egy fizikai részecske a tömeg felületén. Ennek a sugárzásnak termikus spektruma van, és a Hawking-sugárzásról kapta a nevét [15] . Hőmérséklete gömbszimmetrikus Schwarzschild-típusú megoldásoknál meglehetősen általános esetben számítható:

ds^{2}=-g_{tt}(r)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{D-2}^{2 }.

Ebben az esetben, amint az például a [16] -ban látható , a Hawking-hőmérséklet a következőképpen alakul:

T_{H}=\lim _{r\to r_{s)){\frac {\partial _{r}{\sqrt {g_{tt)))){2\pi {\sqrt {g_ {rr}}}}},

( 33 )

ami a ( 28 ) jelölésben átírható így:

T_{H}=\lim _{r\to r_{s}}{\frac {\partial _{r}{\sqrt {f(r)))}{2\pi {\sqrt {f ^{-1}(r)))))={\frac {f^{\prime }(r_{s})}{4\pi )),

( 34 )

hol van a szinguláris pont . Tekintsünk egy statikus töltetlen fekete lyukat a háttérben, amely az Einstein-egyenletek szinguláris megoldása negatív kozmológiai állandóval (( 4 ) és ( 30 ) felhasználásával: $r_{s}$ $f(r_{s})=0$ $AdS_{5}$

ds_{AdS_{5}}^{2}=-\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{0}^{ 2}}{r^{2}}}\jobbra)dt^{2}+\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{ 0}^{2}}{r^{2}}}\jobbra)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{3}^{2}.

( 35 )

Itt van egy paraméter, amely az M fekete lyuk tömegéhez és a Newton-féle ötdimenziós állandóhoz kapcsolódik az összefüggés alapján: $r_{0}$ $G_{5}$

r_{0}=2MG_{5}.

A szinguláris tényező, mint a ( 29 ) esetben, egyenlő:

f(r)=\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2 }}}\jobb).

A szinguláris pont (horizont) az egyenlet megoldása : $f(r_{s})=0$

r_{s}^{2}={\frac {R^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {4r_{0}^{2}}{R ^{2}}}}}-1\jobbra)>0.

( 36 )

Mivel a skála rögzített, két aszimptotikuma van: $R$ $r_{s}$

r_{0}\ll R\Rightarrow r_{s}\sim r_{0},

r_{0}\gg R\Rightarrow r_{s}\sim {\sqrt {r_{0}R)).

A horizont sugarát a Schwarzschild-sugár korlátozza: $r_{s}$

{\frac {r_{s}^{2}}{r_{0}^{2}}}={\frac {2}{{\sqrt {1+{\frac {4r_{0}^ {2}}{R^{2}}}}}}+1}}\leq 1.

( 37 )

Az aszimptotikus viselkedés az AdS térben lévő fekete lyuk tömegének minőségi jellemzője . Egy fekete lyuk, amelyet kicsinek neveznek . Az ilyen fekete lyukak esetében a ( 37 ) reláció egységre törekszik. Ezzel szemben azokat a fekete lyukakat, amelyek teljesülnek , nagynak nevezzük . Számukra a ( 37 )-ből kapjuk . $r_{s}$ $r_{0}\ll R$ $r_{o}\gg R$ $r_{s}\gg R$

A ( 36 ) és ( 37 ) kifejezések ( 34 )-re cserélése lehetővé teszi egy fekete lyuk Hawking-hőmérsékletének meghatározását a háttérben: $AdS_{5}$

T_{H}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {2r}{R^{2}}}+2{\frac {r_{0}^{2 }}{r^{3}}}\right){\bigg |}_{r=r_{s}}={\frac {R^{2}+2r_{s}^{2}}{2\ pi r_{s}R^{2}}}.

( 38 )

Ennek a hőmérsékletnek két aszimptotikája van, amelyek egy nagy és egy kis fekete lyuknak felelnek meg:

r_{s}\ll R\Rightarrow T_{H}\approx {\frac {1}{2\pi r_{s))},

r_{s}\gg R\Rightarrow T_{H}\approx {\frac {r_{s}}{\pi R^{2}}}.

Látható, hogy a Hawking-hőmérséklet mind a nagy tömeg határán, mind a kis fekete lyuk tömegének határán nő. Így az űr támogatja [17] a viszonylag stabil, sugarú fekete lyukak létezését . Ugyanakkor a kis fekete lyukak Hawking-hőmérséklete úgy viselkedik, mint a Minkowski-tér fekete lyukaiké (minél kisebb, annál melegebb). Ez azt jelenti, hogy kis fekete lyukak esetén az R térgörbület elhanyagolható.. A fenti eredmények a fekete lyukak termodinamikájára általánosíthatók -ra . Ehhez általános esetben le kell vezetnie a Hawking-hőmérsékletet ( 38 ). Ezt a hőmérsékletet a horizonthoz közeli euklideszi metrika úgynevezett kúpos szingularitás elemzéséből vonják ki (lásd például [18] ). A sugárzási hőmérsékletet az euklidizáció után (a Wick-forgatással ) az euklideszi idő zárási periódusának nevezik a kvantumtérelméletben véges hőmérsékleten. $AdS_{5}$ $r_{s}\approx R$ $AdS_{5}$ $AdS_{5}$ $AdS_{d+1}$ ${\displaystyle t\to -it_{E))$

Tekintsünk egy olyan teret a globális koordinátákban, amelynek beágyazott szingularitása, például egy fekete lyuk: $AdS_{d+1}$

ds^{2}=-\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d- 2}}}\right)dt^{2}+\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^ {d-2}}}\jobbra)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2},

( 39 )

ahol a Newton-állandó, a beágyazott szingularitás tömege, és a beágyazott szingularitás Schwarzschild-sugara: $G_{N}$ $M$ ${\displaystyle w_{d))$

w_{d}={\frac {8\pi G_{N}^{(d+1)}}{(d-2)\Omega _{d-1}}}.

( 40 )

Továbbá, ha a külső horizontot egy szinguláris tényező egyenletének legnagyobb megoldásaként határozzuk meg, ${\displaystyle r_{+))$

1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d-2}}}=0,

( 41 )

elvégezhető a Wick-elforgatás, és egyidejűleg a közeli metrika figyelembevétele , áthaladva a nézet radiális koordinátájához : ${\displaystyle r_{+))$ ${\displaystyle r=r_{+}+\rho ^{2))$ $\rho \to 0$

ds_{+}^{2}\simeq {\frac {4}{\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2) w_{d}M}{r_{+}^{d-1}}}\jobbra)}}\left(d\rho ^{2}+\rho ^{2}{\frac {dt^{2} }{4}}\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_{d}M}{r_{+}^{d- 1}}}\jobbra)^{2}\jobbra)+r_{+}^{2}d\Omega _{d-1}^{2}.

( 42 )

Ha a térelméletet véges hőmérsékleten ezen a háttéren vizsgáljuk, az euklideszi időt periódussal zártnak kell feltenni , ekkor az elméletet meghatározó útintegrál a véges hőmérsékletű rendszer partíciós függvényére redukálódik : $\beta$ $T={\frac {1}{\beta }}$

Z[\beta ]=Tr[e^{-\beta {\hat {H))}]=\int _{\phi ({\overline {x)),t_{E})=\phi ({\overline {x)),t_{E}+\beta )}D\phi \;e^{-S_{E}[\phi ]}.

Ugyanezt a hőmérséklet-definíciót használják a fekete lyuk közelében lévő metrika elemzésekor is. A ( 42 ) első tagja az euklideszi idő zárásakor , ahol $\tau \in [0.2\pi -\Delta ]$

\tau ={\frac {t}{2}}\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_{d} M}{r_{+}^{d-1}}}\jobbra),

( 43 )

definiálja egy kétdimenziós sokaság poláris koordinátáiban mért metrikáját, amelynek kúpos szingularitása [19] a pontban van . Ezért azt találjuk, hogy az euklideszi idő periódusa , mivel ellenkező esetben a kúpos szingularitás jelenléte a horizonton a metrika simaságának elvesztéséhez vezet. Ezért a ( 43 ) segítségével a következőképpen definiálhatjuk : $(\rho ,\tau )$ $\Delta \neq 0$ $\rho =0$ $\beta _{\tau }=2\pi$ ${\displaystyle r_{+))$ $\beta _{t}=\beta$

\beta =\beta _{t}={\frac {4\pi }({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_ {d}M}{r_{+}^{d-1))))}={\frac {4\pi }({\frac {d\cdot r_{+}}{R^{2}}} +{\frac {d-2}{r_{+}}}}}.

Tehát a beágyazott fekete lyuk hőmérséklete : $AdS_{d+1}$

T={\frac {1}{\beta }}={\frac {d\cdot r_{+}^{2}+(d-2)R^{2}}{4\pi R^ {2}r_{+}}}.

( 44 )

Ez az eredmény általánosít ( 38 ).

A fekete lyuk akkor stabil, ha fajhője pozitív, azaz. amikor a rendszer egy fekete lyuk - a mező egyensúlyba kerül. A ( 44 ) egyenlet paraméterez valamilyen görbét , amelynek minimumát a feltételből találjuk meg: $C_{B}H=\partial M/\partial T$ $T(M)$

{\frac {\partial T}{\partial M}}={\frac {dT}{dr_{+}}}{\frac {dr_{+}}{dM}}=0.

A megkülönböztetés ( 40 ) azonban a következőket adja:

{\frac {dr_{+}}{dM}}\left({\frac {d\cdot r_{+}^{d-1}}{R^{2}}}+(d-2 )r_{+}^{d-3}\right)=w_{d},

honnan következik, hogy i.e. a minimumot a következőkből határozzák meg : ${dr_{+}}/{dM}>0$ $T(M)$ $dT/dr_{+}=0$

r_{+}^{\text{min}}=R{\sqrt {\frac {d-2}{d}}},

ami a minimális hőmérséklet kifejezéshez vezet:

T_{\text{min}}={\frac {d\cdot r_{+}}{2\pi R}}={\frac {\sqrt {d(d-2))){2\ pi R}}.

Az alacsony tömegű fekete lyukak, amelyek hőmérséklete meghaladja a minimumot, termodinamikailag instabilnak bizonyulnak (mint a Minkowski-tér fekete lyukai). Ahogy a fekete lyuk tömege egy bizonyos kritikus érték fölé nő, amelynél a hőmérséklet minimálisra csökken, a fekete lyuk termodinamikailag stabillá válik. Így a tér képes támogatni a stabil, egymásba ágyazott fekete lyukak létezését. $AdS_{d+1}$

Áttérés Poincaré koordinátákra

A metrikába ( 35 ) aszimptotikusan beágyazott és általa leírt fekete lyukak esetében figyelembe vehetjük a Poincaré-koordinátákra való átmenetet, és megkaphatjuk a ( 32 ) analógját. Ez az átmenet a globálisnak csak egy részének figyelembevételét jelenti, és fizikai megfontolások szabják meg. $AdS_{5}$ $AdS_{5}$

A Poincare-koordinátákra való átmenetet egy beágyazott fekete lyuk általános esetére a [20] írja le . A határértékben a metrika ( 39 ) az euklideszi aláírásban a következő alakot ölti: $AdS_{d+1}$ $r\gg R$

ds^{2}\simeq \left({\frac {r}{R}}dt\right)^{2}+\left({\frac {R}{r}}dr\right)^ {2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2}.

Ez azt mutatja, hogy a hőmérséklet megadásakor az euklideszi időt egy sugarú körbe kell hajtani (fix ) esetén, és az utolsó tagban lévő -dimenziós gömb sugara . Ebben az esetben a limitben azt kapjuk , hogy . Mivel a határ annak a konformális határnak felel meg, amelyen a konformális térelmélet (CFT) él , a határérték felvétele után a teljes skála-tényező elvethető (mivel csak a relatív skáláknak van értelme), és a konformális határ topológiája lesz . Azonban, ahogy a Poincaré-koordinátákra való átlépés után , a topológiával konformális határt kell kapnunk , mivel véges hőmérsékletű CFT-t próbálunk elérni egy sík térben, nem pedig egy gömbön. Ez azt jelenti, hogy akkor figyelembe kell venni a reláció végtelen határát , ami lehetővé teszi, hogy figyelmen kívül hagyjuk a térbeli rész topológiáját, $\rho _{1}={\frac {r}{RT}}$ $r$ $(d-1)$ $\rho _{2}=r$ $r\to \infty$ $\rho _{1}\sim \rho _{2}\sim r$ $r\to\infty$ $r$ $S^{d-1}\times S^{1}$ $AdS_{d+1}$ $\mathbb {R} ^{d-1}\times S^{1}$ ${\displaystyle \rho _{2}/\rho _{1))$

{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}=RT\to \infty .

Így a kívánt határértéket -kor érjük el , ami csak -kor lehetséges . Ebben a határértékben át kell méretezni a koordinátákat, hogy a tag véges maradjon a -nál . óta a kívánt átméretezés így néz ki: $T\to \infty$ $M\to \infty$ $r^{2}dt^{2}$ $M\to \infty$ ${\displaystyle M\sim r^{d))$

r=\left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2))}\right)^{1/d}\rho ,

( 45 )

t=\left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2))}\right)^{-1/d}\tau .

( 46 )

A mérőszám ( 39 ) a csere után ( 45 ), ( 46 ), valamint a határértékben az euklidesedés a következőképpen alakul: $M\to \infty$

ds^{2}=\left({\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}-{\frac {R^{d-2}}{\rho ^{d -2}}}\jobbra)d\tau ^{2}+\left({\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}-{\frac {R^{d-2} }{\rho ^{d-2}}}\jobbra)^{-1}d\rho ^{2}+\rho ^{2}\sum \limits _{i=1}^{d-1} dx_{i}^{2},

( 47 )

ahol . A periódus megtalálásához megjegyzendő, hogy a ( 41 ) nagy egyenlet határában a következő alakra redukálódik: ${\displaystyle dx_{i}=(w_{d}M/R^{d-2})^{2}d\Omega _{i))$ $\tau$ $M$

{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d-2}}}=0\;\Rightarrow \; r_{+}=(w_{d}MR^{2})^{1/d}.

Ahonnan ugyanabban a nagy határban ( 44 ) kapjuk: $M$

\beta ={\frac {4\pi R^{2}}{d(w_{d}MR^{2})^{1/d}}}.

Továbbá a ( 46 )-ból az következik, hogy a ( 47 ) -ben szereplő euklideszi időszak a következőképpen van kifejezve:

\beta _{1}=\beta \left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2))}\right)^{1/d}={\frac {4 \pi R}{d}}.

Így a CFT vizsgálata a tér konformális határán egy beágyazott fekete lyukkal a végtelen fekete lyuk tömegének határán, , a CFT leírásához vezet véges hőmérsékleten, amely lineárisan függ a térbeli dimenziók számától . $AdS_{d+1}$ $M\to \infty$ $d$

at , azaz egy térbeli fekete lyukat tekintve a metrika ( 47 ) a következő alakot ölti: $d=4$ $AdS_{5}$

ds^{2}={\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}\left[\left(1-{\frac {R^{4}}{\rho ^ {4}}}\right)d\tau ^{2}+R^{2}{\overline {x}}^{2}\right]+{\frac {R^{2}d\rho ^{ 2}}{\rho ^{2}(1-{\frac {R^{4}}{\rho ^{4}}})}}.

A , , helyettesítések után a következőt kapjuk : $\rho /R=z_{0}/z$ ${\displaystyle \tau =-itR/z_{0))$ ${\overline {x}}={\overline {y}}/z_{0}$ $z>0$

ds^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}\left[-\left(1-{\frac {z^{4}}{z_{0 }^{4}}}\jobbra)dt^{2}+{\overline {y}}^{2}+\left(1-{\frac {z^{4}}{z_{0}^{ 4}}}\jobbra)^{-1}dz^{2}\jobbra].

( 48 )

A metrika ( 48 ) a Poincare-koordinátákban beágyazott fekete lyukkal rendelkező teret írja le (ezt a mérőszámot néha lapos fekete lyuknak nevezik). Pontosabban, ez a mérőszám a tér AdS részét írja le az úgynevezett nem szélsőséges D3-bránok közelében. A metrika ( 48 ) szingularitást mutat a pontban , ez a pont a Schwarzschild-sugár analógjaként működik a Minkowski-térbe ágyazott fekete lyukhoz (a ponton áthaladva a metrika aláírása megváltozik - idő és tér sugárirányban helyet cserélni ). Még egyszer hangsúlyozni kell, hogy ez az átmenet a határértékben történik (fizikai megfontolások diktálják!), amikor a ( 40 ) egyenletnek egyedi megoldása van, míg a topológiájú konform határon a CFT értéke meghatározható véges hőmérséklet egyenlő $AdS_{5}$ $z=z_{0}$ $M\to \infty$ $z\to 0$ $\mathbb {R} ^{4,1}$

T={\frac {1}{\pi z_{0}}}.

Az alkalmazott határérték miatt ez egy nagy fekete lyuk hőmérséklete (amely nagyobb, annál melegebb, ellentétben egy kis fekete lyukkal, amelynek termodinamikája hasonló a lapos térben lévő fekete lyukhoz). A kis fekete lyukak teljesen eltűnnek a metrikára való átmenet során ( 48 ). $M\to \infty$ $AdS_{5}$ $AdS_{5}$

Hirdetések a string elméletben

A tér az AdS/CFT megfelelési hipotézis 1997- es megjelenése után kezdett hatalmas szerepet játszani a húrelméletben és a kapcsolódó területeken . Ez a tér aszimptotikusan egy nagyszámú D3-brán köteg közelében keletkezik a IIB típusú tízdimenziós szupergravitációban, amely viszont a IIB típusú szuperhúrelmélet alacsony energiájú közelítése. A megfelelő megoldás a D3-brán darabokból álló mérőszámra a következő: $AdS_{5}$ $N$

ds^{2}=f(r)dx^{\beta }dx_{\beta }+h(r)(dr^{2}+r^{2}d\Omega _{5}^{ 2}),

( 49 )

dx^{\beta }dx_{\beta }=-dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{3}(dx^{i})^{2},

r^{2}=\sum \limits _{a=4}^{9}(x^{a})^{2},

ahol a és a függvények megtalálhatók a [21]-ben , $f(r)$ $h(r)$

f(r)={\frac {1}{h(r)}}=\left(1+{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)^{ -{\frac {1}{2}}},

( 50 )

R^{4}=4\pi g_{s}N\alpha ^{\prime \;2}.

( 51 )

Itt - húrcsatolási állandó, - húrfeszesség. $g_s$ ${\displaystyle \alpha ^{\prime ))$

A metrika ( 49 ) aszimptotikusan lapossá válik, de a esetén a következőt kapjuk: $r\to \infty$ $r\ 0-ra$

ds^{2}={\frac {r^{2}}{R^{2}}}(-dt^{2}+d{\overline {x}}^{2})+{ \frac {R^{2}}{r^{2}}}dr^{2}+R^{2}d\Omega _{5}^{2}.

( 52 )

Az ( 52 ) -ben szereplő első két kifejezés a Poincare-koordinátákban lévő teret írja le (a helyettesítés ( 18 )-hoz vezet ). Így a metrika ( 52 ) azt a teret írja le, ahol a gömb állandó sugarú , azaz. a IIB típusú szupergravitációban lévő D3-bránok halma körüli metrika ( 49 ) a forrás közelében (a veremtől való távolság ) aszimptotikusan állandó sugarú torokkal rendelkezik ( a tölcsér minden köre egy gömb ). $AdS_{5}$ $r={\frac {R^{2}}{z}}$ $AdS_{5}\times S^{5}$ $S^{5}$ $R$ $r\kb 0$ $S^{5}$

A metrika ( 49 )-( 50 ) topológiai szerkezetének megjelenése a szingularitás közelében látható hasonlóságot mutat a metrika ( 32 ) topológiai struktúrájának megjelenésével egy töltött fekete lyuk horizontja közelében, 4 dimenzióban, aszimptotikusan lapos Minkowski tér. $AdS_{5}\times S^{5}$ $r=0$ $AdS_{2}\times S^{2}$

A nyak területét az állapot határozza meg . A klasszikus gravitációs leírás alkalmazhatósága megköveteli a határértékek és a korlátok figyelembe vételét , ellenkező esetben a húrjavítások jelentősnek bizonyulnak. ez azt jelenti $r\ll R$ ${\displaystyle r\gg {\sqrt {\alpha ^{\prime ))))$ $g_{s}\to 0$

g_{s}N\gg 1,

( 53 )

határban , azaz a D3-as bránok száma a veremben (egy végtelenül masszív verem közelítése). Ebben az esetben a forrást végtelenül eltávolítjuk a torok bármely pontjáról ( 52 ), ami azt jelenti, hogy a metrika ( 52 ) a torkon belüli bármely régió háttérmutatójának tekinthető. $g_{s}\to 0$ $N\to \infty$ $r=0$

A IIB típusú szupersztring elméletben , amelyben a húrok kezdetben zárva vannak, a nyitott karakterláncok dinamikusan keletkeznek, és a bránokban végződnek (szintén dinamikusan keletkeznek). A húrvégek dinamikája egy bizonyos térelméletet határoz meg ezeken a bránokon lapos téridőben . A D3-bránok esetében ez egy szuperszimmetrikus Yang-Mills-elmélet egy mérőcsoporttal , amely egy konform térelmélet csatolási állandóval . Ennek az elméletnek a dinamikáját, amint azt fentebb említettük ( Határnyaláb kapcsolat az AdS dinamikájához című részben ), teljes mértékben a IIB típusú szupergravitáció határozza meg a háttérben , és fordítva. Nagyjából ez az AdS/CFT megfelelési hipotézis lényege . ${\cal {N}}=4$ $SU(N)$ ${\displaystyle g\sim {\sqrt {g_{s))))$ $AdS_{5}\times S^{5}$

Fontos megjegyezni, hogy ( 53 ) miatt a konformális térelmélet gravitációs leírása alkalmazható a -nál , i.e. az erős csatolási határban, ami potenciálisan széles lehetőségeket nyit meg az erős csatolás nem zavaró leírására a mérőmezőelméletben, a gravitáció segítségével a nagyobb dimenziójú AdS térben. Ennek az elképzelésnek a kidolgozása óriási szerepet játszott a modern elméleti fizikában, és számos fenomenológiai modell megalkotásához vezetett az erős csatolási rendszerben előforduló különféle fizikai jelenségek leírására, különösen az erős kölcsönhatások elméletében (lásd az AdS/QCD levelezést ). ). $g^{2}N\gg 1$

Jegyzetek

↑ S. Kobayashi és K. Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", 1. kötet. A Wiley Publication in Applied Statistics, Wiley, 1996.
↑ Vannak más fészkelőhelyek is, ahol a globális idő nem zárható le.
↑ T. Koda, "Bevezetés a homogén terek geometriájába", 2009.
↑ Szigorúbban, a topológiában egy főköteg felépítéséről beszélünk egy bázison egy vetülettel és egy tipikus szállal . Mivel a és Lie csoportok, de van homomorfizmus (kernellel ), ezt írhatjuk: . $(O(3),S^{2},\pi )$ $S^{2}$ $\pi :\,O(3)\to S^{2}$ $O(2)$ $O(2)$ $O(3)$ $\pi$ $O(2)$ $O(2)\to O(3)\to S^{2}=O(3)/O(2)$
↑ 1 2 L. P. EISENHART, "Riemanni geometria", p. 84-85. Princeton University Press, 1949.
↑ MP d. Carmo, "Riemanni geometria" / Manfredo do Carmo ; fordította: Francis Flaherty. Matematika. Elmélet és alkalmazások, Boston: Birkhäuser, 1992.
↑ P. Petersen, "Riemanni geometria". Graduate Texts in Mathematics, Springer New York, 2006.
↑ J. Penedones, „TASI előadások az AdS/CFT-ről”, in Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields and Strings, 8, 2016.
↑ A hiperbolikus formában lévő metrika a ( 4 ) módosításával és a ( 7 ) használatával is megkapható .}. $\rho =R\operátornév {sh} (k)$
↑ A továbbiakban az ömlesztett kifejezés a globális térnek a koordinátaborításon (folton) kívül eső területeit jelöli olyan jellemzők nélkül, mint a határ vagy a horizont.
↑ CA Bayona és NRF Braga, "Antide Sitter határa Poincare koordinátáiban", Gen. Rel. Grav., vol. 39. o. 1367-1379, 2007.
↑ B. Zwiebach, "A húrelmélet első kurzusa". Cambridge University Press, 7, 2006.
↑ PP Avelino, AJS Hamilton, CAR Herdeiro és M. Zilhão, "Mass inflation in a ddimensional reissnernordström black hole: A hierarchy of particle accelerators?", Physical Review D, vol. 84, 2011. júl.
↑ SW Hawking, "Részecske létrehozása fekete lyukak által", Kommunikáció a matematikai fizikában, vol. 43. sz. 3. o. 199-220, 1975.
↑ C. Kiefer, "Towards a full quantum theory of black holes", Lecture Notes in Physics, p. 416-450, 2003. júl.
↑ ZZ Ma, „Hawking-hőmérséklet Kerr–Newman–Ads fekete lyuk az alagútból”, Physics Letters B, vol. 666. o. 376-381, 2008. szept. 36
↑ Itt feltételezzük, hogy egy termodinamikailag stabil konfiguráció akkor lehetséges, ha a fekete lyuk párolgása megegyezik az általa elnyelt tömeggel. $AdS_{5}$
↑ H. Năstase, "Bevezetés az AdS/CFT levelezésbe". Cambridge University Press, 2015.
↑ Kúpos szingularitás fordul elő egy hengeres típusú metrikában , ahol , de . Ebben az esetben -ból nézve nem egy hengert kapunk, hanem egy kúpot, aminek nyilvánvalóan görbületi szingularitása van a pontban . $ds^{2}\sim d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}$ $\theta \in [0.2\pi -\Delta ]$ $\Delta \neq 0$ $\mathbb R^3$ $\rho =0$
↑ E. Witten, "Antide sitter space, termikus fázisátmenet és bezártság a mérőelméletekben", 1998.
↑ GT Horowitz és A. Strominger, "Black strings and Pbranes", Nucl. Phys. B, vol. 360. o. 197-209, 1991.

Irodalom

S. Kobayashi és K. Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", 1. kötet. A Wiley Publication in Applied Statistics, Wiley, 1996.
T. Koda, "Bevezetés a homogén terek geometriájába", 2009.
LP EISENHART, "Riemanni geometria", p. 84-85. Princeton University Press, 1949.
képviselő d. Carmo, "Riemanni geometria" / Manfredo do Carmo ; fordította: Francis Flaherty. Matematika. Elmélet és alkalmazások, Boston: Birkhäuser, 1992.
P. Petersen, "Riemanni geometria". Graduate Texts in Mathematics, Springer New York, 2006.
J. Penedones, "TASI előadások az AdS/CFT-ről", in Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields and Strings, 8, 2016.
CA Bayona és NRF Braga, "Antide Sitter határa Poincare koordinátáiban", Gen. Rel. Grav., vol. 39. o. 1367-1379, 2007.
B. Zwiebach, "A húrelmélet első kurzusa". Cambridge University Press, 7, 2006.
PP Avelino, AJS Hamilton, CAR Herdeiro és M. Zilhão, "Mass inflation in a ddimensional reissnernordström black hole: A hierarchy of particle accelerators?", Physical Review D, vol. 84, 2011. júl.
SW Hawking, "Részecske létrehozása fekete lyukak által", Communications in Mathematical Physics, vol. 43. sz. 3. o. 199-220, 1975.
C. Kiefer, "A fekete lyukak teljes kvantumelmélete felé", Fizikai előadási jegyzetek, p. 416-450, 2003. júl.
ZZ Ma, „Hawking-hőmérséklet a kerr–newman–ads black hole from tunnelingből”, Physics Letters B, vol. 666. o. 376-381, 2008. szept. 36
H. Năstase, "Bevezetés az AdS/CFT levelezésbe". Cambridge University Press, 2015.
E. Witten, "Antide sitter space, termikus fázisátmenet és bezártság a mérőelméletekben", 1998.
GT Horowitz és A. Strominger, "Black strings and Pbranes", Nucl. Phys. B, vol. 360. o. 197-209, 1991.

Linkek

Negatív görbületű téridő. // Juan Maldacena. A gravitáció illúziója. - Elemek (Reprint a "In the world of science" folyóiratból, 2006. 2. szám)
8. előadás Friedman Universe. (anti-)de Sitter tér // M. O. Katanaev, Dr. Sci. n. . "Általános relativitáselmélet és a hibák geometriai elmélete" speciális tanfolyam - M.: MIAN, 2015.