Eukleidész párhuzamossági axiómája

Eukleidész párhuzamossági axiómája vagy az ötödik posztulátum a klasszikus planimetria alapjául szolgáló axiómák egyike . Először Euklidész [1] " Elvek " című részében adta meg :

És ha egy két egyenesre eső egyenes belső szöget alkot, és az egyik oldalon két egyenesnél kisebb szöget zár be, akkor ezek a korlátlanul meghosszabbított vonalak azon az oldalon találkoznak, ahol a szögek kisebbek, mint két egyenes.

Eredeti szöveg  (ógörög)[ showelrejt] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Eukleidész a posztulátum és az axióma fogalmát használja anélkül, hogy megmagyarázná különbségeiket; Eukleidész „Kezdeteinek” különböző kézirataiban az állítások axiómákra és posztulátumokra való felosztása eltérő, mint ahogy sorrendjük sem esik egybe. A Principia Geiberg klasszikus kiadásában a kijelentés az ötödik posztulátum.

A modern nyelven Eukleidész szövegét a következőképpen lehet újrafogalmazni [2] :

Ha [a síkon] a harmadik két egyenesének metszéspontjában a belső egyoldali szögek összege kisebb, mint 180°, akkor ezek a vonalak megfelelő folytatással metszik egymást, és ráadásul azon az oldalon, ahonnan ez az összeg kisebb, mint 180°.

A pontosítás, hogy az egyenesek melyik oldalon metszik egymást, tette hozzá Eukleidész, valószínűleg az érthetőség kedvéért - könnyen bebizonyítható, hogy ez a metszéspont létezésének tényéből következik [2] .

Az ötödik posztulátum rendkívül különbözik Eukleidész többi posztulátumától, amelyek egyszerűbbek és nyilvánvalóbbak (lásd Eukleidész elemei ). Ezért két évezreden keresztül nem szűntek meg a kísérletek arra, hogy kizárják az axiómák listájából, és tételként levonják . Mindezek a próbálkozások kudarccal végződtek. "Valószínűleg lehetetlen izgalmasabb és drámaibb történetet találni a tudományban, mint Euklidész ötödik posztulátumának története" [3] . A negatív eredmény ellenére ezek a keresések nem voltak hiábavalók, mivel végül az Univerzum geometriájával kapcsolatos tudományos elképzelések felülvizsgálatához vezettek [4] .

A párhuzamos posztulátum egyenértékű megfogalmazásai

A modern forrásokban a párhuzamok posztulátumának egy másik, az V. posztulátummal egyenértékű és Prokloszhoz [5] tartozó megfogalmazását szokták megadni (ezt néha Playfair axiómának is nevezik ):

Egy síkban egy nem adott egyenesen lévő ponton keresztül az adott egyenessel párhuzamosan csak egy egyenes húzható .

Ebben a megfogalmazásban az "egy és csak egy" szavakat gyakran felváltják a "csak egy" vagy a "legfeljebb egy", mivel legalább egy ilyen párhuzam létezése azonnal következik Eukleidész Elemek 27. és 28. tételéből.

Általánosságban elmondható, hogy az ötödik posztulátumnak rengeteg ekvivalens megfogalmazása van, amelyek közül sok önmagában is nyilvánvalónak tűnik. Íme néhány közülük [6] [7] [8] .

Egyenértékűségük azt jelenti, hogy mindegyik bebizonyítható, ha elfogadjuk a V posztulátumot, és fordítva, a V posztulátumot bármelyik ilyen állításra cserélve, az eredeti V posztulátumot tételként tudjuk bizonyítani.

Ha a V posztulátum helyett azt feltételezzük, hogy egy pontpárra - egy egyenesre - a V posztulátum helytelen, akkor a kapott axiómarendszer leírja Lobacsevszkij geometriáját . Nyilvánvaló, hogy Lobacsevszkij geometriájában a fenti ekvivalens állítások mindegyike hamis.

Az ötödik posztulátum élesen kiemelkedik a többi közül, teljesen nyilvánvaló, inkább összetett, nem nyilvánvaló tételnek tűnik. Eukleidész valószínűleg tisztában volt ezzel, és ezért az Elemek első 28 mondata az ő segítsége nélkül bebizonyított.

"Euklidésznek bizonyára ismernie kellett a párhuzamos posztulátum különféle formáit" [5] . Miért a redukált, összetett és nehézkes megoldást választotta? A történészek találgatták e választás okait. V. P. Smilga úgy vélte, hogy Eukleidész egy ilyen megfogalmazással azt jelzi, hogy az elméletnek ez a része hiányos [10] . M. Kline felhívja a figyelmet arra, hogy Eukleidész ötödik posztulátuma lokális jellegű, vagyis egy eseményt ír le a sík korlátozott területén, míg például Proklosz megfogalmazása a párhuzamosság tényét állítja, ami megfontolást igényel. a teljes végtelen sorból [11] . Világossá kell tenni, hogy az ókori matematikusok kerülték a tényleges végtelen használatát ; például Eukleidész második posztulátuma nem állítja a vonal végtelenségét, hanem csak azt, hogy "a vonal folyamatosan meghosszabbítható". Az ókori matematikusok szemszögéből a párhuzamos posztulátum fenti megfelelői elfogadhatatlannak tűnhettek: vagy a tényleges végtelenre vagy a mérés (még be nem honosított) fogalmára vonatkoznak, vagy szintén nem túl nyilvánvalóak. Egy másik változatot Toth Imre történész terjesztett elő [12] : az euklideszi megfogalmazás egy (tévesen bizonyított) tétel lehetett Eukleidész egyik elődjétől, és amikor meggyőződtek arról, hogy nem bizonyítható, a tételt posztulátummá emelték, a megfogalmazás megváltoztatása nélkül.

Abszolút geometria

Ha a V posztulátumot kizárjuk az axiómák listájából, akkor a kapott axiómarendszer az úgynevezett abszolút geometriát írja le . Euklidész „elvei” első 28 tétele a V posztulátum használata nélkül bizonyított, ezért az abszolút geometriára utal. A következőkben az abszolút geometria két tételét vesszük figyelembe:

Bizonyítási kísérletek

A matematikusok régóta próbálják „javítani Eukleidészt” – vagy kizárni az ötödik posztulátumot a kezdeti állítások számából, vagyis a többi posztulátumra és axiómára támaszkodva bizonyítani, vagy egy másikkal helyettesíteni, mint nyilvánvaló. mint más posztulátumok. Az eredmény elérhetőségének reményét alátámasztotta, hogy Eukleidész IV. posztulátuma ( minden derékszög egyenlő ) valóban feleslegesnek bizonyult - tételként szigorúan bebizonyították, és kizárták az axiómák listájából [6]. .

Két évezred során számos bizonyítást javasoltak az ötödik posztulátumra, de előbb-utóbb mindegyikben felfedeztek egy logikai hibát („ ördögi kör a bizonyításban ”): kiderült, hogy az explicit vagy implicit premisszák között olyan állítás volt, amelyet nem lehetett bizonyítani ugyanazon ötödik posztulátum nélkül.

Proklosz ( Kr. u. 5. század ) "Euklidész elemeinek I. könyvéhez" írt kommentárjában beszámol arról, hogy Claudius Ptolemaiosz kínált ilyen bizonyítékot , kritizálja bizonyítékát, és felajánlja a sajátját [13] . Némileg leegyszerűsítve a következőképpen írható le: az egyenes egy adott ponton haladjon át párhuzamosan az egyenessel ; bebizonyítjuk, hogy bármely másik , ugyanazon a ponton átmenő egyenes metszi az egyenest . Ahogy fentebb említettük, az egyenesek metszéspontjától mért távolsága korlátlanul növekszik (még egyszer hangsúlyozzuk, hogy ennek a tételnek a bizonyítása nem a V posztulátumon alapul). De végül a és közötti távolság meghaladja a párhuzamos egyenesek közötti távolságot, vagyis a vonalak és metszéspontjai.

A fenti bizonyítás azon a feltételezésen alapul, hogy két párhuzamos egyenes távolsága állandó (vagy legalábbis korlátozott). Később kiderült, hogy ez a feltevés egyenértékű az ötödik posztulátummal.

Posidonius (Kr. e. I. század) azt javasolta, hogy a párhuzamost egyenesekként határozzák meg, amelyek hosszukban egyenlő távolságra vannak egymástól. Ebből a meghatározásból könnyen levezethető az ötödik posztulátum. Posidonius definíciója azonban hibás: sehonnan nem következik, hogy egy adott egyenestől egyenlő távolságra lévő egyenes egyenes [14] .

Az ókori kultúra hanyatlása után az V. posztulátumot átvették az iszlám országainak matematikusai. Al-Jawhari , al -Khwarizmi tanítványa ( IX. század ) [15] implicit módon arra utalt, hogy ha bármely harmad két egyenesének metszéspontjában a keresztirányú szögek egyenlőek, akkor ugyanez történik, amikor a ugyanaz a két egyenes metszi a másikat. És ez a feltevés egyenértékű az ötödik posztulátummal.

Thabit ibn Qurra ( 9. század ) két bizonyítékot adott; az elsőben arra a feltételezésre támaszkodik, hogy ha két vonal az egyik oldalon távolodik egymástól, akkor szükségszerűen a másik oldalon közeledik. A másodikban Posidoniushoz hasonlóan egyenlő távolságra lévő egyenesek létezéséből indul ki, és Ibn Kurra ezt a tényt az „egyszerű mozgás” fogalmából próbálja levezetni, vagyis az egyenestől meghatározott távolságban egyenletes mozgást (nyilvánvalónak tűnik). neki, hogy egy ilyen mozgás pályája is egyenes) [16] . Ibn Korra mind a két említett kijelentése egyenértékű az ötödik posztulátummal.

Ibn al-Haytham hasonló hibát követett el , de először a későbbi „ Lambert-négyszög ” néven ismert alakot vette figyelembe – egy négyszögnek, amelynek három belső szöge megfelelő. Három lehetséges opciót fogalmazott meg a negyedik szögre: hegyes, egyenes, tompa. Ennek a három hipotézisnek a tárgyalása, különböző változatokban, többször is felmerült a későbbi tanulmányokban.

Omar Khayyam költő és matematikus bírálta a mechanikus mozgás geometriába való bevezetésére tett kísérleteket. Azt javasolta, hogy a V posztulátumot egy másik, egyszerűbbre cseréljék: két konvergáló egyenes metszi egymást, és lehetetlen, hogy két konvergens vonal eltérjen a konvergencia irányában. Ennek az állításnak mind a két része egyenértékű Eukleidész [17] posztulátumával .

Al-Abhari az al-Dzsavahárihoz hasonló bizonyítékot kínált . Al-Szamarkandi idézi ezt a bizonyítékot könyvében , és számos kutató úgy vélte, hogy ő maga az al-Szamarkandi szerzője. A bizonyítás abból az abszolút geometriában érvényes állításból indul ki, hogy egy adott szög oldalait metsző bármely egyenesre szerkeszthető még egy olyan egyenes, amely ugyanannak a szögnek az oldalait metszi, és messzebb van a csúcsától, mint az első. De ebből a kijelentésből a szerző azt a logikailag megalapozatlan következtetést vonja le, hogy egy adott szögön belül bármely ponton keresztül meg lehet húzni ennek a szögnek a két oldalát metsző egyenest - és erre az utolsó állításra alapozva, amely egyenértékű a V posztulátummal, minden további. bizonyíték.

Nasir ad-Din at-Tusi Omar Khayyamhoz hasonló konstrukciót javasolt [18] . Megjegyzendő, hogy at-Tusi munkái John Vallis számára váltak ismertté , és így szerepet játszottak a nem-euklideszi geometria kutatásának fejlődésében Európában.

Az első általunk ismert európai kísérletet az euklidészi párhuzamosság axiómájának bizonyítására a Provence -ban (Franciaország ) élő Gersonides (más néven Levi ben Gershom, XIV. század ) javasolta . Bizonyítása egy téglalap létezésének állításán alapult [19] .

A jezsuita tudós Christopher Clavius ​​bizonyítékai a 16. századra nyúlnak vissza . Bizonyítása, akárcsak ibn Korráé, azon az állításon alapult, hogy az egyenestől egyenlő távolságra lévő egyenes is egyenes [20] .

Wallis 1693 - ban egyik művében al-Tusi művének fordítását reprodukálja, és ezzel egyenértékű, de egyszerűbb megfogalmazást kínál: vannak hasonló, de nem egyforma ábrák [21] . Claude Clairaut " A geometriai alapelvek " ( 1741 ) című művében Gersonideshez hasonlóan az V. posztulátum helyett annak megfelelőjét vette fel: "van egy téglalap".

Általánosságban elmondható, hogy a fenti próbálkozások mindegyike számottevő hasznot hozott: kapcsolat jött létre az V posztulátum és más állítások között, világosan megfogalmazódott a V posztulátum két alternatívája - a hegyes és tompaszög hipotézis.

A nem euklideszi geometria első vázlatai

Az ötödik posztulátum mélyreható, teljesen eredeti elven alapuló tanulmányozását 1733 -ban egy olasz jezsuita szerzetes, Girolamo Saccheri matematikatanár végezte . Kiadott egy művet " Euklidész, minden folttól megtisztítva, avagy geometriai kísérlet minden geometria legelső alapelveinek megállapítására " címmel. Saccheri ötlete az volt, hogy a V posztulátumot az ellenkező állítással helyettesítse, hogy az új axiómarendszerből a lehető legtöbb következményt levonja, ezáltal "hamis geometriát" alkosson, és ebben a geometriában ellentmondásokat vagy nyilvánvalóan elfogadhatatlan rendelkezéseket találjon. Ekkor a V posztulátum érvényességét ellentmondás fogja bizonyítani [22] .

Saccheri mindhárom hipotézist figyelembe veszi a Lambert-négyszög 4. szögével kapcsolatban. Formai okokból azonnal elvetette a tompaszög hipotézist. Könnyű kimutatni, hogy ebben az esetben általánosságban véve minden egyenes metszi egymást, és akkor megállapíthatjuk, hogy Euklidész V. posztulátuma igaz - elvégre csak azt állítja, hogy bizonyos feltételek mellett az egyenesek metszik egymást. Ebből arra következtethetünk, hogy "a tompaszög hipotézis mindig teljesen hamis, mivel önmagát tönkreteszi " [23] .

Ezt követően Saccheri megcáfolja az "akut szög hipotézist", és itt tanulmánya sokkal érdekesebb. Elismeri, hogy ez igaz, és sorra bebizonyítja a következmények egész sorát. Anélkül, hogy tudná, elég messzire halad Lobacsevszkij geometriájának felépítésében . A Saccheri által bizonyított tételek közül sok intuitív módon elfogadhatatlannak tűnik, de ő folytatja a tételek láncolatát. Végül Saccheri bebizonyítja, hogy a "hamis geometriában" bármely két egyenes vagy metszi egymást, vagy van egy közös merőleges, amelynek mindkét oldalán eltávolodnak egymástól, vagy az egyik oldalon távolodnak el egymástól, és a másikon korlátlanul közelednek. Ezen a ponton Saccheri váratlan következtetést von le: "a hegyesszög hipotézise teljesen hamis, mivel ellentmond az egyenes természetének " [24] .

Úgy tűnik, Saccheri érezte ennek a "bizonyítéknak" a megalapozatlanságát, mert a vizsgálat folyamatban van. Úgy véli, az egyenlő távolságra  - a sík pontjainak helye, egyenlő távolságra az egyenestől; Elődeivel ellentétben Saccheri megérti, hogy ebben az esetben egyáltalán nem egyenes vonalról van szó. Az ív hosszának kiszámításakor azonban Saccheri hibát követ el, és valódi ellentmondásra jut, majd befejezi a vizsgálatot, és megkönnyebbülten kijelenti, hogy " kitépte ezt a rosszindulatú hipotézist ". Saccheri posztumusz úttörő munkája sajnos nem keltette fel a matematikusok figyelmét úgy, ahogy azt megérdemelte volna, és csak 150 évvel később ( 1889 ) honfitársa, Beltrami fedezte fel ezt az elfeledett művet, és értékelte történelmi jelentőségét.

A 18. század második felében több mint 50 mű jelent meg a párhuzamelméletről. Az ezekről az évekről szóló áttekintésben ( G. S. Klugel ) több mint 30 kísérletet vizsgálnak meg az ötödik posztulátum bizonyítására, és bebizonyítják azok tévedését. A probléma iránt a híres német matematikus és fizikus , J. G. Lambert is érdeklődött, akivel Klugel levelezett; "Párhuzamos vonalak elmélete" (Saccheri munkájához hasonlóan, posztumusz) 1786 -ban jelent meg .

Lambert volt az első, aki felfedezte, hogy a "tompaszög-geometria" egy gömbön valósul meg , ha az egyenesek alatt nagyköröket értünk . Saccherihez hasonlóan számos következményt vont le az „akut szög hipotézisből”, és sokkal előrébb jutott, mint Saccheri; különösen azt találta, hogy a háromszög szögeinek összegének 180°-hoz való hozzáadása arányos a háromszög területével.

Könyvében Lambert ügyesen megjegyezte [25] :

Nagyon figyelemre méltónak tűnik számomra, hogy a második hipotézis [a tompaszögről] igazolható, ha lapos háromszögek helyett gömb alakúakat veszünk. Ebből szinte le kell vonnom a következtetést – azt a következtetést, hogy a harmadik hipotézis valamilyen képzeletbeli szférára vonatkozik . Mindenesetre meg kell lennie annak az oknak, amiért korántsem olyan könnyen megcáfolható a repülőgépen, mint a második hipotézis kapcsán.

Lambert nem talált ellentmondást a hegyesszög hipotézisben, és arra a következtetésre jutott, hogy a V posztulátum bizonyítására tett minden kísérlet reménytelen volt. Nem fejezte ki kétségeit a "hegyesszög geometriájának" hamisságával kapcsolatban, de másik éleslátó megjegyzéséből ítélve Lambert a nem-euklideszi geometria lehetséges fizikai valóságán, és ennek a tudományra gyakorolt ​​következményein gondolkodott . 26] :

Van ebben valami csodálatra méltó, ami azt kívánja, bárcsak igaz lenne a harmadik hipotézis. És mégis szeretném, <…> ha ez nem így lenne, mert ez számos <…> kellemetlenséggel járna. A trigonometrikus táblázatok végtelenül terjedelmessé válnának, az ábrák hasonlósága és arányossága egyáltalán nem létezne <...>, rossz lett volna a csillagászat.

Lambert figyelemre méltó munkája, akárcsak Saccheri könyve, messze megelőzte korát, és nem keltette fel az akkori matematikusok érdeklődését. Ugyanez a sors jutott a német matematikusok „ asztrálgeometriájára ” , F.K.

Eközben folytatódtak a kísérletek, hogy "elmossák a foltokat" Euklidészről (Louis Bertrand, Legendre , Szemjon Guryev és mások). Legendre háromszor is bizonyította az ötödik posztulátumot, amelynek tévedését kortársai gyorsan kimutatták [27] . Utolsó „bizonyítékát” 1823-ban tette közzé, három évvel Lobacsevszkij első, az új geometriáról szóló jelentése előtt.

A nem euklideszi geometria felfedezése

A 19. század első felében K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobacsevszkij és F. K. Schweikart a Saccheri által kijelölt utat követte . De a céljuk már más volt – nem az, hogy a nem-euklideszi geometriát lehetetlennek tegyék le, hanem éppen ellenkezőleg, egy alternatív geometriát építsenek fel, és megtudják annak lehetséges szerepét a való világban. Akkoriban ez teljesen eretnek ötlet volt; korábban egyik tudós sem kételkedett abban, hogy a fizikai tér euklideszi. Érdekes, hogy Gausst és Lobacsevszkijt fiatalkorukban ugyanaz a tanár tanította, Martin Bartels , aki azonban maga nem tanult nem euklideszi geometriát.

Az első Schweikart volt. 1818-ban levelet küldött Gaussnak, amelyben komolyan elemezte a nem euklideszi geometria alapjait, de eltekintett attól, hogy nézeteit nyilvános vitára hozza. Gauss szintén nem mert ebben a témában munkát kiadni, de jegyzettervezetei és több levele egyértelműen megerősíti a nem euklideszi geometria mély megértését. Íme néhány jellegzetes részlet Gauss leveleiből, ahol a " nem-euklideszi geometria " kifejezés először jelenik meg a tudományban [28] :

Az a feltételezés, hogy egy háromszög három szögének összege kisebb, mint 180°, egy sajátos, a mi [euklideszi] geometriánktól merőben eltérő geometriához vezet; ez a geometria tökéletesen konzisztens, és elég kielégítően fejlesztettem ki magamnak; Lehetőségem van ebben a geometriában bármilyen probléma megoldására, kivéve egy bizonyos állandó [29] meghatározását , amelynek értéke eleve nem állapítható meg.

Minél nagyobb értéket adunk ennek az állandónak, annál közelebb kerülünk az euklideszi geometriához, és ennek végtelenül nagy értéke mindkét rendszer egybeeséséhez vezet. Ennek a geometriának a javaslatai részben paradoxnak, sőt abszurdnak tűnnek egy szokatlan ember számára; de szigorú és nyugodt gondolkodással kiderül, hogy semmi lehetetlent nem tartalmaznak. Így például egy háromszög mindhárom szöge tetszőlegesen kicsinyíthető, ha csak elég nagy oldalakat veszünk; egy háromszög területe nem haladhat meg, nem is érhet el egy bizonyos határt, bármilyen nagy is legyen az oldala. Minden erőfeszítésem, hogy ellentmondást vagy következetlenséget találjak ebben a nem euklideszi geometriában, eredménytelen volt, és az egyetlen dolog, ami ebben a rendszerben ellenkezik észérvünkkel, az az, hogy a térben, ha ez a rendszer érvényes lenne, szükség lenne bizonyos önmeghatározásra. (bár számunkra ismeretlen) lineáris mennyiség. De nekem úgy tűnik, hogy a metafizikusok semmit sem kifejező verbális bölcsességén kívül nagyon keveset, sőt semmit sem tudunk a tér lényegéről. ( Taurinusnak írt levélből , 1824 )

1818- ban, Gerling osztrák csillagásznak írt levelében Gauss aggodalmának adott hangot [30] :

Örülök, hogy van bátorságod úgy megszólalni, mintha beismernéd a párhuzamelméletünk és egyben az egész geometriánk hamisságát. De a darazsak, akiknek a fészkét megzavarod, a fejedre repülnek.

Miután megismerkedett Lobacsevszkij "Geometriai vizsgálatok a párhuzamelméletben" című munkájával, Gauss energikusan folyamodik az orosz matematikus megválasztásáért a Göttingeni Királyi Társaság külföldi levelező tagjává (ami 1842 -ben történt ).

Lobacsevszkij és Bolyai nagyobb bátorságot mutatott, mint Gauss, és szinte egyszerre (Lobacsevszkij - az 1826 -os jelentésben és az 1829 - es kiadványban ; Bolyai - az 1831 -es levélben és az 1832 - es kiadványban ) egymástól függetlenül bemutatta, hogy mit ma Lobacsevszkij geometriának hívják . Lobacsevszkij haladt a legmesszebbre az új geometria tanulmányozásában, és jelenleg az ő nevét viseli. De a fő érdeme nem ebben van, hanem abban, hogy hitt az új geometriában, és volt bátorsága megvédeni meggyőződését (sőt javasolta a V posztulátum kísérleti igazolását egy háromszög szögösszegének mérésével) [31 ] ] .

Lobacsevszkij New Principles of Geometry című könyvének bevezetőjében határozottan kijelenti [32] :

Mindenki tudja, hogy a geometriában a párhuzamosságok elmélete mindeddig tökéletlen maradt. Eukleidész kora óta, kétezer év alatt végzett hiábavaló erőfeszítések arra gyanakodtak, hogy maguk a fogalmak még nem tartalmazzák azt az igazságot, amelyet be akartak bizonyítani, és amely más fizikai törvényekhez hasonlóan csak kísérletekkel igazolható, mint pl. mint például a csillagászati ​​megfigyelések.< …> A fő következtetés <…> tágabb értelemben ismeri el a geometria létezését, mint ahogyan azt az első Eukleidész bemutatta. Ebben a kiterjesztett formában a tudománynak az Imaginary Geometry nevet adtam, ahol a Használható geometria speciális esetként lép be.

Lobacsevszkij tragikus sorsa, akit túlságosan merész gondolatok miatt kiközösítettek a tudományos világból és a hivatalos környezetből, megmutatta, hogy Gauss félelmei nem voltak hiábavalók. De küzdelme nem volt hiábavaló. Ironikus módon Lobacsevszkij merész elképzeléseinek diadalát (posztumusz) az óvatos Gauss biztosította. Az 1860-as években megjelent Gauss levelezése, köztük Lobacsevszkij geometriájáról szóló több dicséret, és ez felhívta a figyelmet az orosz matematikus munkáira. 1868-ban E. Beltrami cikket publikált , amely kimutatta, hogy a Lobacsevszkij-sík állandó negatív görbületű (az euklideszi síkon nulla görbületű, a gömbnek  pozitív a görbülete); A nem euklideszi geometria nagyon gyorsan jogi tudományos státuszt kapott, bár még mindig tisztán spekulatívnak tekintették [33] .

A 19. század végén – a 20. század elején először a matematikusok ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ), majd a fizikusok ( Általános relativitáselmélet , Einstein ) végre véget vetettek a fizikai tér euklideszi geometriájának dogmájának [4 ] .

A függetlenség bizonyításáról

Az ötödik posztulátum függetlensége azt jelenti, hogy tagadása nem mond ellent a geometria többi axiómájának (feltéve, hogy Eukleidész geometriája konzisztens). Ez egyben Lobacsevszkij geometriájának következetességét is jelenti . Valójában igaz a következő tétel [34] .

Tétel. A Lobacsevszkij-geometria akkor és csak akkor konzisztens, ha az euklideszi geometria konzisztens.

Ennek a tételnek a bizonyítására a modern matematikában egy másik geometria modelljeit használják. Az első geometria pontjaira, vonalaira és egyéb objektumaira vonatkozó modellben az objektumok a második geometria keretein belül épülnek fel úgy, hogy az első axiómái teljesüljenek a megszerkesztett objektumokra. Így, ha az első axiómarendszerben találnánk ellentmondást, akkor az a másodikban is megtalálható lenne.

Nehéz pontosan meghatározni, hogy ki és mikor bizonyította ezt a tételt.

Bizonyos értelemben feltételezhetjük, hogy ezt már Lobacsevszkij is megtette. Lobacsevszkij valóban észrevette, hogy az oroszféra geometriája a Lobacsevszkij-térben nem más, mint az euklideszi sík; így az euklideszi geometriában való ellentmondás megléte ellentmondást vonna maga után Lobacsevszkij geometriájában [35] . A modern nyelven Lobacsevszkij megépítette az euklideszi sík modelljét a Lobacsevszkij térben. Ezzel ellentétes irányban analitikusan haladt a felépítése, és a valós elemzés következetességéből következett a Lobacsevszkij-féle geometria következetessége.

Annak ellenére, hogy rendelkeztek ezekkel az eszközökkel, Lobacsevszkij nem mondta ki magát a konzisztenciatételt . Szigorú megfogalmazásához a geometria alapjainak logikai elemzésére volt szükség , amelyet később Pash , Hilbert és mások [34] készítettek .

A modell koncepciójának megjelenését Beltraminak köszönhetjük . 1868-ban épített egy projektív modellt , egy konforman euklideszi modellt , valamint egy lokális modellt az úgynevezett pszeudoszférára . Beltrami volt az első, aki meglátta a Lobacsevszkij-geometria és a differenciálgeometria közötti kapcsolatot.

A Beltrami által megszerkesztett modelleket később Klein és Poincaré fejlesztette ki , ezeknek köszönhetően a konstrukció nagymértékben leegyszerűsödött, és az új geometriának a projektív geometriával és a komplex elemzéssel való kapcsolatait és alkalmazásait is felfedezték . Ezek a modellek meggyőzően bizonyítják, hogy az ötödik posztulátum tagadása nem mond ellent a geometria többi axiómájának; ebből következik, hogy a V posztulátum független a többi axiómától, és lehetetlen bizonyítani [33] .

Ötödik posztulátum és más geometriák

Ahogy fentebb látható, ha az ötödik posztulátumot vagy annak tagadását hozzáadjuk Euklidész többi axiómájához, akkor Euklidész geometriája , illetve Lobacsevszkij geometriája alakul ki. Más gyakori homogén geometriák esetében az ötödik posztulátum szerepe nem olyan nagy.

A gömbgeometria axiómarendszere az euklidészi axiómák jelentősebb átdolgozását igényli, mivel nincsenek benne párhuzamos egyenesek [36] . A projektív geometriában a párhuzamos egyenesek olyan egyenesekként definiálhatók, amelyek csak a végtelenben lévő pontban metszik egymást; akkor az ötödik posztulátum az axióma egyszerű következménye lesz: " két ponton keresztül egy és csak egy egyenes húzható ." Valóban, ha megadunk egy egyenest és egy azon kívüli pontot, majd alkalmazzuk a fenti axiómát és egy pontot a végtelenben, akkor az eredményül kapott egyenes párhuzamos lesz , és nyilvánvalóan egyedileg meghatározott [37] .

Jegyzetek

  1. ↑ Eukleidész kezdetei / Görög fordítás és D. D. Mordukhai-Boltovsky megjegyzései M. Ya. Vygodsky és I. N. Veselovsky szerkesztői közreműködésével. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Archív másolat (elérhetetlen link) . Letöltve: 2008. április 25. Az eredetiből archiválva : 2008. április 6.. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobacsevszkij, 1948 , p. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , p. négy.
  4. ↑ 1 2 Zakharov V. D. Gravitáció: Arisztotelésztől Einsteinig . Letöltve: 2020. május 28.
  5. ↑ 1 2 A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Megjegyzések Eukleidész „Kezdeteihez”, I-VI. Rendelet. op. - S. 241-244.
  7. ↑ Eukleidész ötödik posztulátuma . Letöltve: 2008. március 17. Az eredetiből archiválva : 2008. május 13..
  8. ↑ Kagán. Lobacsevszkij, 1948 , p. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , p. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , p. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése . - M . : Mir, 1984. - S. 94-95. Archivált másolat (nem elérhető link) . Hozzáférés dátuma: 2010. március 13. Az eredetiből archiválva : 2007. február 12. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Archívum az egzakt tudományok történetéhez . - Berlin-Heidelberg-New York, 1967. - 3. évf. , no. 4.5 . - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , p. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobacsevszkij és geometriája. - M . : Nevelés, 1976. - S. 71. - 112 p.
  15. ↑ A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. A könyv, hogy két egyenesnél kisebb szögben húzott vonal találkozik / B. A. Rosenfeld fordítása és jegyzetei. - M. : IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Khayyam. Értekezések / Fordította: B. A. Rosenfeld. Szerkesztette V. S. Segal és A. P. Juskevics. B. A. Rosenfeld és A. P. Juskevics cikke és megjegyzései. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. A párhuzamos egyenesekkel kapcsolatos kételyeket gyógyító értekezés / B. A. Rosenfeld fordítása, B. A. Rosenfeld és A. P. Juskevics jegyzetei. - M . : IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Euklidész ötödik posztulátumának bizonyítékai Hassan ibn al-Khaytham és Leo Gersonides középkori matematikusaitól. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​​​C. Euclidis Elementorum, libri XV. – Róma, 1574.
  21. ↑ Wallis. Opera mathematica, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. In: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Lipcse, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. In: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Lipcse, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. von J. Bernoulli. - Berlin, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , p. 121.
  27. ↑ Matematika története, III. kötet, 218. o.
  28. ↑ A geometria alapjairól, 101-120.
  29. ↑ Egy másik betűből az következik, hogy a konstans , ahol a görbületet jelöli .
  30. ↑ A geometria alapjairól, p. 119-120.
  31. ↑ Lobacsevszkij N. I. Geometriai munkák (Művek teljes gyűjteménye, 1-3. kötet). - M. - L .: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ A geometria alapjairól, p. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Beltrami nemeuklideszi geometriai modelljei  (angol) . Letöltve: 2016. július 16. Az eredetiből archiválva : 2017. január 7..
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A.V. A geometria alapjai. - Szerk. 4. - M . : Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 p.
  35. ↑ lásd Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (német) 34. tételét . — Berlin: F. Fincke, 1840.
  36. ↑ Peil, Timothy. Hilbert síkbeli elliptikus geometriára módosított axiómái  . // Geometria felmérése . Letöltve: 2016. október 18. Az eredetiből archiválva : 2016. október 19.
  37. ↑ Volberg O. A. A projektív hegmetria alapötletei. - Szerk. 3. - M. - L .: Uchpedgiz RSFSR, 1949. - S. 7. - 188 p.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban