A trigonometria története

A trigonometria , mint a háromszög szögei és oldalai, valamint más geometriai alakzatok közötti kapcsolatok tudományának története több mint két évezredet ölel fel. Ezen összefüggések többsége nem fejezhető ki közönséges algebrai műveletekkel , ezért szükség volt speciális trigonometrikus függvények bevezetésére , amelyeket eredetileg numerikus táblázatok formájában mutattak be.

A történészek úgy vélik, hogy az ókori csillagászok alkották meg a trigonometriát ; kicsit később kezdték használni a geodéziában és az építészetben . Az idők során a trigonometria köre folyamatosan bővült, és ma már szinte az összes természettudományt, technikát és számos más tevékenységi területet magában foglal [1] . A trigonometrikus függvények különösen hasznosnak bizonyultak az oszcillációs folyamatok vizsgálatában ; függvények harmonikus elemzése és egyéb elemző eszközök is ezekre épülnek . Thomas Paine Age of Reason (1794) című művében a trigonometriát „a tudomány lelkének” nevezte [2] .

Korai időszak

A trigonometria kezdetei az ókori Egyiptom , Babilon és az ókori Kína matematikai kézirataiban találhatók . Az 56. feladat a Rinda papiruszról (Kr. e. II. évezred) a piramis lejtését javasolja, melynek magassága 250 könyök, az alap oldalhossza pedig 360 könyök [3] .

A babiloni matematikából megszoktuk, hogy a szögeket fokban, percben és másodpercben mérjük (ezeknek a mértékegységeknek az ókori görög matematikában való bevezetését általában a Kr.e. 2. századi Hypsiclesnek tulajdonítják). A babilóniaiak által ismert tételek között szerepelt például a következő: a kör átmérőjén alapuló beírt szög egyenes [4] . Ennek az időszaknak a fő eredménye a ratio volt, amely később a Pitagorasz-tétel nevet kapta ; Van der Waerden úgy véli, hogy a babilóniaiak fedezték fel ie 2000 és 1786 között. e. [5] Lehetséges, hogy a kínaiak önállóan fedezték fel (lásd " Matematika kilenc könyvben "); nem világos, hogy az ókori egyiptomiak ismerték-e a tétel általános megfogalmazását, de a derékszögű " egyiptomi háromszög " 3-as, 4-es és 5-ös oldalával jól ismert és széles körben használt ott [6] [7] .

Az ókori Görögország

A trigonometrikus összefüggések általános és logikailag koherens bemutatása jelent meg az ókori görög geometriában [8] . A görög matematikusok a trigonometriát még nem emelték ki külön tudományként – számukra ez a csillagászat része volt [9] .

Síkbeli trigonometria

Számos trigonometrikus jellegű tétel tartalmazza Eukleidész elemeit (Kr. e . 4. század). Az Elemek első könyvében a 18. és 19. tétel megállapítja, hogy a háromszög nagyobbik oldala megfelel a nagyobb szemközti szögnek - és fordítva, a nagyobb szög a nagyobb oldalnak. A 20. és 22. tétel megfogalmazza a „ háromszög-egyenlőtlenséget ”: három szakasz akkor és csak akkor alkothat háromszöget, ha mindegyik szakasz hossza kisebb, mint a másik kettő hosszának összege. A 32. tétel bizonyítja, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°.

A „Kezdetek” második könyvében a 12. tétel a koszinusztétel [10] verbális analógja :

A tompa háromszögekben a tompaszöget bezáró oldalon lévő négyzet nagyobb, mint a tompaszöget tartalmazó oldalak négyzeteinek [összege] az egyik oldal közé tompaszögben bezárt kettős téglalap által, amelyen a merőleges leesik, és az e merőleges által kívülről egy tompa sarokban levágott szakasz.

Az ezt követő 13. tétel a koszinusztétel egy változata hegyesszögű háromszögekre. A görögöknek nem volt analógja a szinusztételnek , erre a legfontosabb felfedezésre jóval később került sor [11] .

A trigonometria továbbfejlődése a szamoszi Arisztarchosz (Kr. e. 3. század) csillagász nevéhez fűződik. "A Nap és a Hold nagyságáról és távolságairól" című értekezésében az égitestek távolságának meghatározása volt a probléma; ehhez a feladathoz egy derékszögű háromszög oldalainak arányát kellett kiszámítani az egyik szög értékével. Arisztarkhosz a Nap, a Hold és a Föld által alkotott derékszögű háromszögnek tekintette a kvadratúra során . Ki kellett számolnia a lábon (a Föld és a Hold távolsága) áthaladó hipotenusz értékét (a Föld és a Nap távolsága) a beépített szög ismert értékével (87°), ami egyenértékű a számítással. az értéke . Arisztarchosz szerint ez az érték 1/20 és 1/18 közötti tartományban van, vagyis a Nap távolsága 20-szor nagyobb, mint a Holdé [12] ; Valójában a Nap csaknem 400-szor távolabb van a Holdtól, ami a szögmérés pontatlanságából fakad. Útközben Arisztarkhosz bebizonyította az egyenlőtlenséget, amelyet modern értelemben a következő képlet közvetít: $\sin 3^{\circ }$

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\operatorname {tg} \beta }}.

Ugyanezt az egyenlőtlenséget tartalmazza Arkhimédész "A homokszemcsék számítása" [13] című művében is . Arkhimédész (Kr. e. 3. század) írásaiban van egy fontos húrosztási tétel, amely lényegében a félszög szinuszának képletével ekvivalens [14] [15] :

\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}.

Az ókori tudomány fejlődésének teljes időszaka alatt a csillagászat maradt a síkbeli trigonometria eredményeinek alkalmazásának fő területe a görögöknél. A trigonometria bevonása a távolságszámítási feladat mellett megkövetelte a csillag térbeli mozgását reprezentáló epiciklusok és/vagy excentrumok rendszerének paramétereinek meghatározását. A széles körben elterjedt vélemény szerint ezt a problémát először Hipparkhosz (Kr. e. II. század közepe) fogalmazta meg és oldotta meg a Nap és a Hold pályájának elemeinek meghatározásakor; lehetséges, hogy egy korábbi idők csillagászai is foglalkoztak hasonló feladatokkal. Gyakran az ő nevéhez fűződik az első olyan trigonometrikus táblázatok szerzője is, amelyek nem jutottak el hozzánk [16] . Egyes rekonstrukciók szerint azonban az első trigonometrikus táblázatokat már a Kr. e. 3. században összeállították. e., esetleg Pergai Apollóniosz [17] .

Hipparkhosz és más ókori görög matematikusok a modern szinuszfüggvény helyett általában a kör húrhosszának egy adott középponti szögtől (vagy ennek megfelelő, szögmértékben kifejezett körívtől) való függését vették figyelembe. A modern terminológiában az egységkör θ ívét befogó húr hossza megegyezik a θ/2 központi szög szinuszának kétszeresével. Ez az egyezés minden szögre érvényes: 0° < θ < 360°. A görögök által felfedezett első trigonometrikus összefüggések az akkordok nyelvén fogalmazódtak meg [1] . Például a modern képlet:

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

a [18] tétel megfelelt a görögöknél :

(akkord_{\alpha })^{2}+(akkord_{180^{\circ }-\alpha })^{2}=d^{2},

ahol a középső szög húrja, a kör átmérője. $akkord_{\alpha}$ $\alpha$ $d$

Ugyanakkor a kör sugarát nem tekintették egyenlőnek eggyel, mint most. Például Hipparkhosznál egy kör sugarát állítólag R = 3438 egységnek tekintették - ezzel a definícióval a körív hossza megegyezett ennek az ívnek a szögmértékével, percekben kifejezve: , és ez megkönnyített számítások. Ptolemaiosz R = 60 egység. A modern rekonstrukciók szerint [16] [19] Hipparkhosz akkordjait 7°30'-es időközönként táblázatba foglalták. Lehetséges, hogy a Hipparkhosz-tábla számítása az Arkhimédész által kidolgozott, Arisztarchoszig visszanyúló módszeren alapult [20] . ${\frac {360\cdot 60}{2\pi }}\approx 3438$

Később a 2. századi csillagász , Claudius Ptolemaiosz az Almagestben kiegészítette Hipparkhosz eredményeit. Az Almagest tizenhárom könyve az ókor legjelentősebb trigonometrikus munkája. Az Almagest kiterjedt ötjegyű táblázatokat tartalmaz hegyes és tompaszögek húrjairól, 30 ívperces lépésekkel [1] . Az akkordok kiszámításához Ptolemaiosz (a X. fejezetben) Ptolemaiosz tételét használta (amelyet Arkhimédész ismerett), amely kimondja: a körnégyszögbe írt konvex szemközti oldalai hosszának szorzatának összege egyenlő a körnégyszög szorzatával. átlóinak hosszát. Ebből a tételből könnyen levezethető két képlet a szögek összegének szinuszára és koszinuszára , valamint még kettő a szögkülönbség szinuszára és koszinuszára, de a görögöknek nincs általános megfogalmazása ezekre a tételekre [21]. .

Az ókori trigonometrikus elmélet fő vívmánya a "háromszögek megoldása" problémájának általános formában történő megoldása volt , vagyis a háromszög ismeretlen elemeinek megtalálása a három adott eleme alapján (amelynek legalább az egyik oldala) ) [8] . Ezt követően ez a probléma és általánosításai váltak a trigonometria fő problémájává [1] : a háromszög több (általában három) ismert eleme alapján meg kell találni a hozzá tartozó fennmaradó mennyiségeket. Kezdetben a háromszög (ismert vagy ismeretlen) elemei oldalakat és szögeket tartalmaztak a csúcsokban, később hozzáadták a mediánokat , magasságokat , felezőket , a beírt vagy körülírt kör sugarát , a súlypont helyzetét stb. Az alkalmazott trigonometrikus feladatok nagyon sokrétűek - például a felsorolt mennyiségeken mérhető műveletek eredményei (például a szögek összege vagy az oldalak hosszának aránya) adhatók meg.

Szférikus trigonometria

A síkbeli trigonometria fejlődésével párhuzamosan a görögök a csillagászat hatására a gömbi trigonometriát messzire fejlesztették . Eukleidész „Elvek” című művében ebben a témában csak egy tétel található a különböző átmérőjű golyók térfogatának arányáról, de a csillagászat és a térképészet igényei a gömbi trigonometria és a kapcsolódó területek - égi koordinátarendszerek - gyors fejlődését idézték elő. a térképészeti vetítések , a csillagászati műszerek technológiája (különösen az asztrolábiumot [22] ).

A történészek nem jutottak konszenzusra az égi szféra geometriájának fejlettségi fokáról az ókori görögöknél . Egyes kutatók azzal érvelnek, hogy az ekliptika vagy egyenlítői koordinátarendszert legalább Hipparkhosz idejében használták a csillagászati megfigyelések eredményeinek rögzítésére [23] . Talán ekkor ismerték meg a gömbtrigonometria néhány tételét, amelyek felhasználhatók csillagkatalógusok összeállításához [24] és a geodéziában .

Az első ismert munkák a „gömbről” (vagyis a gömbgeometriáról, egyértelmű csillagászati torzítással) ezt írták [25] :

(Kr. e. 4. század) Pitana és Euklidész Autolycus ("jelenségek"). (Kr. e. 2. század) Theodosius és Hypsicles .

Az e munkákban elemzett problémák egy része trigonometrikus jellegű, azonban az elmélet gyenge fejlettsége miatt a szerzők továbbra is alkalmaznak megkerülő megoldásokat. Például a „ Az állatöv csillagkép teljes napkelte (nyugta) időpontjának megkeresése” feladatot a Hypsicle megközelítőleg sokszögszámok segítségével oldja meg [ 25] .

Az elmélet fejlődésének döntő állomása a három könyvből álló "Gömb" monográfia volt, amelyet Alexandriai Menelaus írt (kb. 100 i.sz.). Az első könyvben tételeket vázolt fel a gömbháromszögekről , hasonlóan Eukleidésznek a sík háromszögekre vonatkozó tételeihez (lásd a Kezdetek I. könyvét). A történészek úgy vélik, hogy Menelaus megközelítése nagymértékben támaszkodik Theodosius írásaira , amelyeket Menelaosz nagymértékben kibővít és kodifikál. Pappus szerint Menelaus volt az első, aki bevezette a gömbháromszög fogalmát, mint nagykörök szakaszaiból alkotott alakzatot [26] . Menelaosz bebizonyított egy tételt, amelyre Euklidésznek nincs lapos analógja: két gömbháromszög egybevágó (kompatibilis), ha a megfelelő szögek egyenlőek. Egy másik tétele kimondja, hogy egy gömbháromszög szögeinek összege mindig nagyobb, mint 180° [26] .

A Szférák második könyve a gömbgeometria csillagászatban való alkalmazását ismerteti. A harmadik könyv a gyakorlati csillagászat szempontjából fontos Menelaus-tételt tartalmazza , amely a "hat mennyiség szabályaként" ismert [27] . A Menelaus által felfedezett két másik alapvető tétel ezt követően a „négy mennyiség szabálya” és az „érintők szabálya” elnevezést kapta [26] .

Néhány évtizeddel később Claudius Ptolemaiosz Földrajz, Analemma és Planisferium című művében részletesen ismerteti a térképészet, a csillagászat és a mechanika trigonometrikus alkalmazásait. Többek között egy sztereográfiai vetületet ismertetnek , több gyakorlati problémát is megvizsgálnak, például: egy égitest magasságának és azimutjának meghatározása annak deklinációjából és óraszögéből . A trigonometria szempontjából ez azt jelenti, hogy meg kell találni egy gömbháromszög oldalát a másik két oldal és az ellentétes szög mellett [28] .

Ptolemaiosz az Almagest első könyvében a XIII. fejezetet is a gömbgeometriának szentelte; Menelaosztól eltérően Ptolemaiosz számos állítást nem igazolt, de nagy figyelmet fordított a csillagászat gyakorlati számításaira alkalmas algoritmusokra. A tartószerkezet az Almagestben lapos akkordok helyett a „négyoldalú Menelaus”. Egy derékszögű gömbháromszög "megoldásához" , azaz jellemzőinek kiszámításához Ptolemaiosz 4 tételt idézett szóbeli jelöléssel; modern jelöléssel a következő alakjuk van ( derékszög ) [29] : $C$

\sin a=\sin c\cdot \sin A

( a szférikus szinusztétel speciális esete )

\operátornév {tg} a=\sin b\cdot \operátornév {tg} A

\cos c=\cos a\cdot \cos b

( a gömbi koszinusz tétel speciális esete )

\operátornév {tg} b=\operátornév {tg} c\cdot \cos A

Magyarázzuk el, hogy a gömbgeometriában a háromszög oldalait nem lineáris mértékegységekben szokás mérni, hanem az ezeken alapuló középszögek értékével . A modern gömbi trigonometriában további két összefüggés van megadva:

\cos A=\cos a\cdot \sin B

(a gömbi koszinusz tételből is következik)

\cos c=\operátornév {ctg} A\cdot \operátornév {ctg} B

Ptolemaiosz nem rendelkezik velük, mivel Menelaosz tételéből nem vezethetőek le [29] .

Középkor

India

A IV. században, az ókori tudomány hanyatlása után, a matematika fejlődési központja Indiába költözött. Indiai matematikusok ( sziddhanták ) írásai azt mutatják, hogy szerzőik jól ismerték a görög csillagászok és geométerek munkáit [30] . Az indiánokat kevéssé érdekelte a tiszta geometria, de hozzájárulásuk az alkalmazott csillagászathoz és a trigonometria számítási szempontjaihoz igen jelentős.

Először is, az indiánok megváltoztatták a trigonometria néhány fogalmát, közelebb hozva azokat a modernekhez. Az ősi akkordokat szinuszokra cserélték (a "sine" név a szanszkrit "string" szóra nyúlik vissza [31] ) egy derékszögű háromszögben . Így a trigonometriát Indiában a háromszögbeli kapcsolatok általános tanaként fektették le, bár a görög akkordokkal ellentétben az indiai megközelítés csak a hegyesszög függvényeire korlátozódott [32] .

Az indiánok a szinust némileg másképpen határozták meg, mint a modern matematikában (lásd a jobb oldali ábrát): a szinusz az AD szakasz hosszát értette, egy R = 3438 egység sugarú kör AC íve alapján (mint Hipparkhosznál ). ). Így a szög "indiai szinusza" 3438-szor nagyobb, mint a modern szinusz, és a hossz dimenziója volt [31] . Voltak kivételek e szabály alól; például Brahmagupta tisztázatlan okokból 3270 egység sugarat feltételezett [33] .

Az indiánok vezették be először a koszinusz használatát . Használták az úgynevezett fordított szinust, vagy szinusz-versus -t is, amely megegyezik a jobb oldali ábra DC szakaszának hosszával [34] .

A görögökhöz hasonlóan az indiai trigonometria is főként csillagászati alkalmazásai kapcsán fejlődött ki, elsősorban a bolygómozgás elméletében és az égi szféra tanulmányozásában. Ez az "Almagest" és az "Analemma" gömbi trigonometriájának jó ismeretére utal, azonban egyetlen, a trigonometria ezen szakaszának elméletét kidolgozó önálló munkát sem találtak [35] . Ennek ellenére az indiánok nagy sikereket értek el a csillagászati problémák megoldására alkalmazott algoritmusok kifejlesztésében [30] . Például Varahamihira "Pancha-siddhantikája" (7. század) eredeti megoldást ad a Ptolemaiosz által leírt csillagászati problémára: meg kell találni a Nap magasságát a horizont felett, ha a terület szélessége , a deklináció a Nap és óraszöge ismert . A szerző a megoldáshoz a koszinusztétel [36] analógját használja , ő volt az első, aki képletet adott a félszög szinuszára [37] .

A csillagászati számításokhoz számos trigonometrikus táblázatot állítottak össze. Az első (négy számjegyű) szinusztáblázat az ősi "Surya-siddhanta" -ban és az Aryabhata -ban ("Aryabhatiya", V. század) található. Az Aryabhata táblázatai 24 szinusz és szinusz-versus értéket tartalmaznak 3 ° 45' intervallumban (Hipparkhosz táblázatainak fele).

A trigonometria fejlődéséhez fontos hozzájárulást tett Brahmagupta (VII. század), aki felfedezte az interpolációs képletet , amely lehetővé tette számára, hogy a függvény néhány ismert értéke alapján megkapja a szinusz értékeit [38] ] . Ezenkívül az indiánok ismerték a több szög képleteit, a -ra . A Szúrja-sziddhantában és Brahmagupta munkáiban a feladatok megoldása során a szinusztétel gömbi változatát használják , de ennek a tételnek az általános megfogalmazása Indiában nem jelent meg [39] . A történészek az indiai írásokban az érintők implicit használatát találták , de ennek a fogalomnak a fontosságára csak később, az iszlám országok matematikusai jöttek rá [30] . $\sin n\varphi$ $\cos n\varphi$ $n=2,3,4,5$

Egy másik kiemelkedő tudós, II. Bhaskara (XII. század) munkáiban képleteket adnak a szögek összegének és különbségének szinuszára és koszinuszára:

\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,

valamint a szinusz kis növekményének képlete:

\sin \alpha -\sin \beta \approx (\alpha -\beta )\cos \beta

(at ), megfelel a szinusz-differenciál modern kifejezésének. Az összeg szinuszának képlete alapján Bhaskara pontosabb és részletesebb trigonometrikus táblázatokat közölt 1°-os lépéssel, mint Aryabhatáé [40] . $\alpha \approx \beta$

A 11. században a muszlimok ( Ghaznevi Mahmud ) elfoglalták és feldúlták Észak-Indiát. A kulturális központok Dél-Indiába költöztek, ahol megalakult az úgynevezett " keralai csillagászati és matematikai iskola " (a modern dél-indiai Kerala állam neve után ) [41] . A XV-XVI. században a keralai matematikusok csillagászati kutatásaik során nagy sikereket értek el a végtelen számsorok összegzése terén, beleértve a trigonometrikus függvényeket is [39] . A "Karanapaddhati" ("Számítás technikája") névtelen értekezés megadja a szinusz és koszinusz végtelen hatványsorokká való kiterjesztésének szabályait [42] , valószínűleg ennek az iskolának az alapítójáig, a Sangamagramából származó Madhava csillagászig (1. fele) a 15. század) [43] . Madhava és követője , Nilakanta (a " Tantpasanrpaha " című értekezésben) szintén megadja az arctangens végtelen hatványsorozattá való kiterjesztésének szabályait. Európában hasonló eredményeket csak a XVII-XVIII. Így a szinusz és koszinusz sorozatát Isaac Newton származtatta 1666 körül, az arctangens sorozatot pedig J. Gregory 1671-ben és G. W. Leibniz 1673-ban [44] .

Iszlám országok

A 8. században a Közel- és Közel-Kelet országainak tudósai megismerkedtek az ókori görög és indiai matematikusok és csillagászok munkáival. A 8. század olyan kiemelkedő tudósai fordították le arabra, mint Ibrahim Al-Fazari és Yakub ibn Tariq . Ezután ők és követőik elkezdték aktívan kommentálni és fejleszteni ezeket az elméleteket. Az iszlám tudósok, valamint az indiánok tartószerkezete egy háromszögben lévő szinusz, vagy ami ugyanaz, egy kör félakkordja volt [35] .

Csillagászati értekezéseiket az indiai sziddhantákhoz hasonlóan „ zijis ”-nek nevezték; tipikus zij csillagászati és trigonometrikus táblázatok gyűjteménye volt, amelyek használati útmutatóval és (nem mindig) az általános elmélet összefoglalásával voltak ellátva [45] . A 8-13. századi zijs-ek összehasonlítása a trigonometrikus tudás gyors fejlődését mutatja. A szférikus trigonometria, amelynek módszereit csillagászati és geodéziai problémák megoldására [46] alkalmazták, az iszlám országainak tudósai különös figyelmet szenteltek . A főbb megoldandó problémák között szerepeltek a következők [47] [45] .

- A napszak pontos meghatározása. - Az égitestek jövőbeni elhelyezkedésének kiszámítása, napkelte és napnyugta pillanatai, nap- és holdfogyatkozások . — Az aktuális hely földrajzi koordinátáinak megkeresése . - Ismert földrajzi koordinátákkal rendelkező városok közötti távolság kiszámítása . - Mekka ( kibla ) irányának meghatározása adott helyről.

A legkorábbi fennmaradt munkák al-Khwarizmihoz és al-Marvazihoz (IX. század) tartoznak, akik az indiánok által ismert szinusz és koszinusz mellett új trigonometrikus függvényeket vettek figyelembe: érintő , kotangens , szekáns és koszekáns [34] . Kezdetben ezeket a függvényeket másképpen határozták meg, mint a modern matematikában. Így a kotangens alatt egy 12 (néha 7) egység magasságú függőleges gnomon árnyékának hosszát értjük; eredetileg ezeket a fogalmakat használták a napóra kiszámításához . Az érintő a vízszintes gnomon árnyéka volt. A koszekáns és a szekáns a megfelelő derékszögű háromszögek befogói voltak (a jobb oldali ábrán AO szakaszok) [48] . Csak a 10. században al-Farabi filozófus és matematikus az Almagesthez fűzött megjegyzéseiben e négy függvény gnomóniától független definícióit vezette be, és a szinuszon és koszinuszon keresztül határozta meg őket a Ptolemaioszi sugár trigonometrikus körében (60 egység). . Az alapvető összefüggéseket mind a hat funkció között al-Battani hozta fel ugyanabban a században. A végső egyesítést Abu-l-Vafa érte el a 10. század második felében, aki először használt egységsugarú kört a trigonometrikus függvények meghatározására, ahogyan azt a modern matematikában teszik.

Thabit ibn Qurra (9. század) és al- Battani (10. század) fedezték fel elsőként az alapvető szinusztételt egy derékszögű gömbháromszög speciális esetére . Egy tetszőleges gömbháromszögre Abu-l-Vafa, al-Khujandi és ibn Irak találta meg a bizonyítékot (különböző módokon és valószínűleg egymástól függetlenül) a 10. század végén [11] . Egy másik értekezésben ibn Irak megfogalmazta és bebizonyította a lapos háromszög szinusztételét [49] .

A szférikus koszinusz tételt az iszlám országaiban általában nem fogalmazták meg, azonban Sabit ibn Kurra, al-Battani és más csillagászok munkáiban vannak vele egyenértékű kijelentések. Valószínűleg ezért nevezte Regiomontanus , aki először fogalmazta meg általánosan ezt a fontos összefüggést (XV. század), „Albategnius-tételnek” (ahogy akkoriban al-Battanit hívták Európában) [50] .

Ibn Yunis (X. század) felfedezte a trigonometrikus függvények szorzatának összeggé alakítását [51] , például:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

A transzformációs képletek lehetővé tették, hogy az időigényes szorzást egyszerűbb összeadásra vagy kivonásra cseréljék. Később Európában ugyanezeket a képleteket az ellenkező célra használták – az összeadást és kivonást szorzással helyettesítették, hogy aztán logaritmikus táblázatokat alkalmazzanak az eredmény kiszámításához [52] .

A tudomány egyik legfontosabb feladata akkoriban a trigonometrikus táblázatok minél kisebb lépésekkel történő összeállítása volt. A 9. században al-Khwarizmi 1°-os lépésszámú szinusztáblázatokat állított össze, kortársa, Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) hozzáadta hozzájuk az érintők, kotangensek és koszekánsok első táblázatait (ugyanolyan lépéssel) [34 ] ] . A 10. század elején al-Battani 30'-es lépésekkel közölt táblázatokat, ugyanezen század végén Ibn Yunis 1'-es lépésekkel állított össze táblázatokat [53] . A táblázatok összeállításakor a kulcs az érték kiszámítása volt . Ennek az értéknek a kiszámítására Ibn Yunis, Abu-l-Wafa , al-Biruni talált ki ügyes módszereket . A legnagyobb sikert a 15. században érte el al-Kashi ; az egyik dolgozatában ezt számolta ki (minden előjel helyes). Az Ulugbek-féle Szamarkand Obszervatórium „Csillagászati táblázatai” című kiadványában , amelyet az ő közreműködésével állítottak össze, a szinusztáblázatokat hat hat hatszázalékos számjeggyel [54] számolták ki , 1' lépéssel. Ulugbek szultán személyesen vett részt ebben a munkában: külön értekezést írt az 1°-os szög szinuszának kiszámításáról. $\sin 1^{\circ }$ $\sin 1^{\circ }\approx 0{,}017452406437283571$

A trigonometriáról szóló első speciális értekezés a közép-ázsiai tudós al-Biruni (X-XI. század) munkája volt: "A csillagászat tudományának kulcsai" (995-996). A trigonometria egész tanfolyama tartalmazta al-Biruni fő művét, a Mas'ud kánonját (III. könyv). A szinusztáblázatok mellett (15' lépéssel) Al-Biruni érintőtáblákat adott (1°-os lépéssel). Ideológiailag Biruni művei közel állnak Ptolemaiosz műveihez - az akkordok nyelvén a kettős és félszög szinuszára, a szögek összegének és különbségének szinuszára fogalmaz meg tételeket [55] . Az alkalmazások közül Al-Biruni könyve egy szabályos beírásos nemszög felépítését és oldalhosszának hozzávetőleges kiszámítását mutatja be; ezt az algoritmust használja a keresésére . Egy másik művében, a Geodéziában Biruni a Föld meridián hosszának saját méréseinek eredményeiről számolt be , amelyekből a Föld valódihoz közeli sugarának becslése következik (a metrikus rendszerben Biruni 6340 km-t kapott) [56 ] ] . $\sin 1^{\circ }$

A trigonometria mint független tudomány (mind lapos, mind gömb alakú) alapvető bemutatását Nasir ad-Din perzsa matematikus és csillagász adta meg 1260 -ban [57] . "Treatise on the full quadrilateral" című könyve gyakorlati módszereket tartalmaz tipikus problémák megoldására, beleértve a legnehezebbeket is, amelyeket maga At-Tusi old meg – például egy gömbháromszög oldalait három szögben megépíti [58] . Megadjuk a gömbháromszögek érintőinek tételét, leírjuk a sarki háromszög fontos fogalmát (amelyet a 11. században használt először Ibn Irak és al-Jayani ). At-Tusi munkássága széles körben ismertté vált Európában, és jelentősen befolyásolta a trigonometria fejlődését.

Így a 13. század végére felfedezték azokat az alaptételeket, amelyek a trigonometria tartalmát alkotják:

- Bármely trigonometrikus függvény kifejezése bármely másikon keresztül. — Képletek a többszörös és félszögű szinuszokhoz és koszinuszokhoz, valamint a szögek összegéhez és különbségéhez. — Szinusz- és koszinusztételek. — Sík- és gömbháromszögek megoldása

Az algebrai szimbolika hiánya miatt a fenti tételek mindegyike nehézkes verbális formában fogalmazódott meg, de lényegében teljesen egyenértékűek voltak a mai felfogásukkal.

Európa

Miután a 12. és 13. században az arab értekezéseket latinra fordították, az indiai és perzsa matematikusok számos ötlete az európai tudomány tulajdonába került. Úgy tűnik, hogy az európaiak először ismerkedtek meg a trigonometriával a zij al-Khwarizmi- nak köszönhetően, amelynek két fordítása a 12. században készült. Kezdetben a trigonometriáról (használati szabályairól, egyes trigonometrikus függvények táblázatairól) a csillagászatról szóló írások adtak tájékoztatást, de Fibonacci 1220 körül írt "A geometria gyakorlata" című munkájában a trigonometriát a geometria részeként írja le. Az első, teljesen a trigonometriának szentelt európai művet gyakran a Wallingfordi Richárd angol csillagász (1320 körül) négy traktátusnak nevezi a közvetlen és fordított akkordokról . A könyv számos trigonometrikus azonosság bizonyítását és egy eredeti szinuszszámítási módszert tartalmaz. Ugyanebben az évben született meg Levi ben Gershom (Gersonidész) zsidó matematikus „A szinuszokról, akkordokról és ívekről” című értekezése, amelyet 1342-ben fordítottak le latinra [59] . A könyv tartalmazza a szinusztétel bizonyítását és ötjegyű szinusztáblázatokat [60] . A trigonometriát Thomas Bradwardine angol matematikus The Theoretical Geometry című művében érinti (a 14. század első felében írt, 1495-ben jelent meg). A gyakran arabból fordított, de néha eredeti trigonometrikus táblázatokat számos más 14-15. századi szerző műve is tartalmazza. Ezután a trigonometria vette át a helyét az egyetemi képzések között.

Jelentős eredmény volt Regiomontanus Öt könyve mindenféle háromszögről című monográfiája (1462-1464), amely összefoglalta az akkoriban ismert sík- és gömbtrigonometriai ismereteket, és hétjegyű szinusztáblázatokat mellékelt (1-es lépésekben). és érintők (1°-os lépéssel). Fontos az is, hogy Regiomontanus táblázataiban a csillagászati hagyományt megsértve először a tizedes rendszert használták (és nem az archaikus hatszázalékost ). A Regiomontanus a trigonometrikus kör sugarát egyenlőnek vette , így a táblázatos értékeket egész számok képviselték (a tizedes törtek valamivel később kerültek használatba, és használatukra a trigonometrikus számítások váltak erőteljes ösztönzővé [61] ). $10^{7}$

At-Tusi értekezéséhez képest Regiomontanus munkája sokkal teljesebb, számos új, eredeti módszerekkel megoldott problémát tartalmaz. Például bemutatja, hogyan kell megszerkeszteni egy háromszöget, ha ismert az egyik oldala, a lesüllyesztett magasság hossza és az ellentétes szög [62] .

Új idő

16-17. század

A trigonometria fejlesztése a modern időkben rendkívül fontossá vált, nemcsak a csillagászat és az asztrológia, hanem más alkalmazások, különösen a tüzérség , az optika és a nagy távolságú tengeri navigáció számára is. Ezért a 16. század után számos kiemelkedő tudós foglalkozott ezzel a témával, köztük Nicolaus Copernicus , Johannes Kepler , Francois Viet [63] . Kopernikusz az égi szférák forradalmairól című értekezésében (1543) két fejezetet szentelt a trigonometriának . Hamarosan (1551) megjelentek Rheticusnak , Kopernikusz tanítványának 15 számjegyű trigonometrikus táblázatai, 10 " [64] lépéssel . Kepler megjelentette "The Optical Part of Astronomy" (1604) című munkáját.

A bonyolult trigonometrikus számítások szükségessége miatt a 17. század elején felfedezték a logaritmusokat , és John Napier első logaritmikus táblázatai csak a trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták. Napier további felfedezései közé tartozik a gömbháromszögek megoldására szolgáló hatékony algoritmus , az úgynevezett „ Naper-analógia képlete ” [65] .

A "trigonometria" kifejezést egy matematikai tudományág elnevezéseként B. Pitiscus német matematikus vezette be , aki 1595-ben adta ki a "Trigonometria, avagy rövid és világos értekezés a háromszögek megoldásáról " című könyvét ( lat. Trigonometria: sive de Solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus ). A 17. század végére megjelentek a trigonometrikus függvények modern elnevezései. A "szinusz" kifejezést először 1145 körül használta Robert of Chester angol matematikus és arab [31] . Regiomontanus könyvében a koszinusz "a komplementer szinuszának" ( lat. sinus komplementi ) nevezte, hiszen ; követői a 17. században ezt a megnevezést co-sinusra (Edmund Gunther) [63] , majd később cos -ra ( William Oughtred ) rövidítették. Az érintő és a szekáns nevét 1583-ban Thomas Fincke dán matematikus javasolta [63] , a fent említett Edmund Gunter pedig bevezette a kotangens és a koszekáns elnevezéseket . A "trigonometrikus függvények" kifejezést először Georg Simon Klugel [66] használta Analytical Trigonometry (1770) című művében . $\cos x=\sin(90^{\circ }-x)$

Thomas Fincke eredeti megoldást javasolt a geodéziai problémára: keressük meg egy háromszög szögeit, ha ismert az összegük és a szemközti oldalak aránya . Fincke a Regiomontan képletet használta (lásd az ábrát) [67] : $\alpha +\beta$ $a:b$

{\frac {a+b}{ab))={\frac {\operátornév {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2))}{\operátornév {tg} {\frac {\alpha - \beta }{2}}}}

Vieta a "Matematikai kánon" (1579) első részében különféle táblázatokat helyezett el, köztük trigonometrikusokat is, a második részben pedig részletes és szisztematikus, bár bizonyítás nélkül bemutatta a sík- és gömbtrigonometriát. 1593-ban Vieta elkészítette ennek a nagy műnek a bővített kiadását. "Kétségtelen, hogy az algebra iránti érdeklődése eredetileg a trigonometria és a csillagászat terén való alkalmazási lehetőségének köszönhető" [68] . Vieta másik fontos érdeme az általa kidolgozott általános algebrai szimbolika trigonometriai felhasználása volt; ha korábban a feladat megoldását geometriai konstrukcióként értelmezték, akkor Vieta munkáiból kiindulva kezd eltolódni a prioritás az algebrai számítások felé [69] . A szimbolizmus megjelenése lehetővé tette a trigonometrikus azonosságok kompakt és általános formában történő felírását, például több szögre vonatkozó képleteket [70] :

\cos m\alpha =\cos ^{m}\alpha -{\frac {m(m-1)}{1\cdot 2}}\cos ^{m-2}\alpha \cdot \sin ^{2 }\alpha +\pontok

\sin m\alpha =m\cos ^{m-1}\alpha \cdot \sin \alpha -{\frac {m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3)) \cos ^{m-3}\alpha \cdot \sin ^{3}\alpha +\dots

Megjegyzendő, hogy Viet maga adta ezeket a képleteket részben szóbeli leírásban, ugyanakkor világosan rámutatott a képletek együtthatói és a binomiális együtthatók közötti kapcsolatra, és táblázatot adott ezek értékeiről kis értékek esetén [68] . $m$

Vieta [71] egyéb eredményei között : a "Geometria kiegészítése" című művében Vieta egy trigonometrikus módszert jelölt meg egy köbös egyenlet megoldására az akkori legnehezebb - irreducibilis - esetre (a szabványos képlet megköveteli a gyökérekkel való munka képességét komplex számokból ) . Viet adta az első végtelen munkát:

{\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {90^{\circ }}{2}}\cdot \cos {\frac {90^{\circ }}{4}}\cdot \cos {\frac {90^{\circ }}{8}}\dots

A tüzérség és a navigáció mellett a trigonometria is gyorsan fejlődött alkalmazásának olyan klasszikus területein, mint a geodézia . Az érintők széles körben elterjedt használatát különösen azzal magyarázták, hogy segítségével egyszerűen meg lehet mérni egy hegy vagy épület magasságát (lásd az ábrát):

h={\frac {\operatorname {tg} \alpha \ \operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l

1615-ben Snellius megoldást talált a "Snellius-Potenot problémára" : keressen egy pontot, ahonnan egy adott (lapos) háromszög oldalai láthatóak adott szögekben. Felfedezte a fénytörés törvényét : egy adott kezdeti és törési közegnél a beesési szög és a törésszög szinuszainak aránya állandó. Így Snell megnyitotta az utat a trigonometrikus függvények új alkalmazásai előtt az optikában, és az első teleszkópok ugyanezen években történt feltalálása különösen fontossá tette ezt a felfedezést.

A szinuszos első grafikonja Albrecht Dürer "Útmutató a méréshez iránytűvel és vonalzóval" című könyvében jelent meg ( németül: Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt , 1525) [72] . Az 1630-as években Gilles Roberval a cikloid tanulmányozása során önállóan rajzolt egy szinuszost [73] , ő publikálta a kettős szög érintőjének képletét is [52] . John Wallis a Mechanics című művében (1670) megelőzte korát azzal, hogy minden kvadránsban helyesen jelezte a szinusz jeleit, és jelezte, hogy egy szinuszos végtelen sok "fordulattal" rendelkezik. Az első kvadráns érintő diagramját először James Gregory rajzolta meg (1668) [74] .

A 17. század második felében megindult az általános kvadratúraelmélet (vagyis a területszámítás) rohamos fejlődése, amely a század végén a matematikai elemzés megjelenésével tetőzött . A trigonometrikus függvények tekintetében ennek az időszaknak az elején fontos eredményeket ért el Blaise Pascal (1659-ben megjelent Letters from A. Dettonville on some of his geometric discoveries) című könyvében. A modern terminológiában Pascal kiszámolta a szinusz és koszinusz természetes hatványainak integráljait és néhány kapcsolódó hatványt [75] , és azt is megjegyezte, hogy . A trigonometria területén olyan jelentős 17. századi matematikusok végeztek munkát, mint Otred , Huygens , Ozanam , Wallis . A 17. század második felében észrevehető folyamat volt a trigonometria fokozatos algebrazódása, szimbolikájának javítása, egyszerűsítése (bár Euler előtt a szimbolika még mindig sokkal körülményesebb volt, mint a modern) [76] . $d(\sin x)=\cos x\ dx$

18. század

A matematikai elemzés felfedezése után először James Gregory , majd Isaac Newton érte el a trigonometrikus függvények (valamint azok inverzei ) végtelen sorozatokká való kiterjesztését . Newton az " Univerzális aritmetika " [77] című könyvében 10 problémát szentelt a geometria és a trigonometria problémáinak . Például az X feladatban egy háromszöget kell "megoldani" , ha az egyik oldala, a szemközti szöge és a másik két oldal összege ismert. A Newton által javasolt megoldási módszer Mollweide egyik képlete [78] .

Leibniz szigorúan bebizonyította, hogy általánosságban véve algebrailag nem fejezhető ki kifejezésekkel , vagyis a modern terminológiában a trigonometrikus függvények transzcendentálisak [79] . $\sin x$ $x$

A 18. század elején a következő fontos felfedezések voltak:

– A szögek radiánmértékének felfedezése és széleskörű alkalmazása [80] ( Roger Cotes , 1714). Maga a "radián" kifejezés később jelent meg, 1873-ban javasolta James Thomson angol mérnök [81] . — Egy komplex szám trigonometrikus ábrázolása és a De Moivre -képlet .

(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi \

- A Descartes - féle trigonometrikus összefüggésekhez kapcsolódó poláris koordináta-rendszer használatának kezdete ( Newton és Gregory ) ; Euler (1748) [82] bevezette ezeket a koordinátákat az általános használatba .

1706-ban Jakob Hermann svájci matematikus képleteket adott ki az összeg tangensére és a többszörös szög érintőjére, Johann Lambert pedig 1765-ben rendkívül hasznos képleteket talált, amelyek különböző trigonometrikus függvényeket fejeznek ki a félszög érintőjével [83] . A hiperbolikus függvényeket vizsgálva (1761) Lambert kimutatta, hogy tulajdonságaik hasonlóak a trigonometrikus függvényekhez; ennek okát még 1707-ben De Moivre fedezte fel : ha a valódi argumentumot egy képzeletbeli kör helyettesíti, az hiperbolává alakul, a trigonometrikus függvények pedig a megfelelő hiperbolikusakká [84] .

Friedrich Wilhelm von Oppel német matematikusAnalysis of Triangles (1746) című könyvében Mollweide mindkét formuláját modern jelöléssel publikálta [85] .

A "Polygonometry" (1789) című könyvében Simon Lhuillier általánosította a trigonometrikus relációkat a háromszögekre, megadva analógjaikat tetszőleges sokszögekhez, beleértve a térbelieket is. A témával foglalkozó munkáiban Luillier a poligonometria alaptételét idézte : a poliéder minden lapjának területe egyenlő a fennmaradó lapok területeinek és az általuk alkotott szögek koszinuszainak szorzatával. az első arccal . Különböző problémameghatározásokhoz mérlegelte az oldalakkal rendelkező sokszögek "megoldásának" módszereit : adott egy oldal és egy szög, vagy minden szög és oldal, vagy minden oldal és egy szög [86] . $n$ $n-1$ $n-2$ $n-2$ $n-3$

Legendre 1798-ban bebizonyította, hogy ha egy gömbháromszög méretei kicsik a gömb sugarához képest, akkor trigonometrikus feladatok megoldásánál a síktrigonometria képletei alkalmazhatók, minden szögből levonva a gömbtöbblet egyharmadát [87 ] .

Az inverz trigonometrikus függvények ív előtaggal történő kijelölésének módja (a latin arcus - arc szóból) Karl Scherfer osztrák matematikusnál ( Karl Scherffer , 1716-1783) jelent meg, és Lagrange -nek köszönhetően rögzítették . Ez azt jelentette, hogy például a szokásos szinusz lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a körív mentén az azt alátámasztó húrt, az inverz függvény pedig az ellenkező problémát oldja meg. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más jelöléseket is kínáltak: , de ezek nem honosodtak meg [88] . $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}$

Leonhard Euler reformjai

A trigonometria modern formáját Leonhard Euler adta meg . Euler Introduction to the Analysis of Infinites (1748) című értekezésében a trigonometrikus függvények modernnel egyenértékű definícióját adta [77] , és ennek megfelelően határozta meg az inverz függvényeket . Ha elődei a szinuszokat és más fogalmakat geometrikusan, azaz körben vagy háromszögben lévő vonalként értették, akkor Euler stb. munkája után egy valós és összetett változó dimenzió nélküli analitikai függvényeinek kezdték tekinteni . Az összetett esetre kapcsolatot teremtett a trigonometrikus függvények és az exponenciális függvény között ( Euler-képlet ). Euler megközelítése azóta általánosan elfogadottá vált, és bekerült a tankönyvekbe. $\sin x,~\cos x,~\operátornév {tg} x$

Euler a negatív szögeket és a 360°-nál nagyobb szögeket megengedettnek tartotta, ami lehetővé tette trigonometrikus függvények meghatározását a teljes valós számegyenesen , majd a komplex síkra való kiterjesztését . Amikor felmerült a trigonometrikus függvények tompaszögekre való kiterjesztésének kérdése, ezeknek a függvényeknek az Euler előtti jeleit gyakran hibásan választották meg; sok matematikus pozitívnak tartotta például a tompaszög koszinuszát és tangensét [73] . Euler redukciós képletek alapján meghatározta ezeket az előjeleket a különböző koordinátanegyedekben lévő szögekre [89] .

Euler először vezette be a trigonometrikus függvények végtelen szorzatokra való kiterjesztését (1734), amelyből sorozatokat származtatott logaritmusukhoz [90] .

Más munkákban, nevezetesen A Maxima és Minimák módszeréből levezetett gömbi trigonometria alapjai (1753) és az Általános gömbi trigonometria tömören és egyértelműen levezetve az első alapozásokból (1779) Euler megadta a gömbi trigonometria első teljes szisztematikus kifejtését analitikusan. [91] alapján , és sok jelentős eredmény magának Eulernek köszönhető.

A 18. század közepén fellángolt a következményeit tekintve legfontosabb "vita a húrról" [92] . Euler a d'Alembert -tel folytatott vitában a függvény általánosabb meghatározását javasolta, mint azt korábban elfogadták; különösen a függvény adható meg trigonometrikus sorozattal . Írásában Euler az algebrai függvények számos reprezentációját használta a trigonometrikus függvények többszörös argumentumainak sorozataként, például [93] :

{\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {\sin 2x}{2}}+{\frac {\sin 3x}{3}}\dots

Euler nem tanulmányozta a trigonometrikus sorozatok általános elméletét és nem vizsgálta a kapott sorozatok konvergenciáját, de több fontos eredményre jutott. Különösen a szinusz és koszinusz egész hatványainak kiterjesztését származtatta [93] .

Trigonometria Oroszországban

Oroszországban az első információkat a trigonometriáról a "Logaritmusok, szinuszok és érintők táblázatai a bölcs lelkesek tanulmányozására" című gyűjteményben tették közzé, amelyet L. F. Magnitsky részvételével adtak ki 1703-ban [94] . 1714-ben megjelent a "Geometry of Practice" tájékoztató kézikönyv, az első orosz trigonometriai tankönyv, amely a tüzérség, a navigáció és a geodézia alkalmazott problémáira összpontosított [95] . M. E. Golovin akadémikus (Euler tanítványa) alapvető tankönyve „Sík- és gömbtrigonometria algebrai bizonyítással” (1789) a trigonometrikus ismeretek elsajátításának időszakának lezárultának tekinthető Oroszországban .

A 18. század végén Szentpéterváron létrejött egy tekintélyes trigonometrikus iskola ( A. I. Leksel , N. I. Fuss , F. I. Schubert ), amely nagyban hozzájárult a sík- és gömbtrigonometriához [66] .

XIX-XXI század

A 19. század elején N. I. Lobacsevszkij egy harmadik szakaszt adott a sík- és gömbtrigonometriához - hiperbolikus (a Lobacsevszkij-geometriához az első munkát ezen a területen F. A. Taurinus adta ki 1826-ban). Lobacsevszkij megmutatta, hogy a gömbtrigonometria képletei hiperbolikus trigonometria képletévé válnak, ha egy a, b, c háromszög oldalainak hosszát képzeletbeli mennyiségekkel helyettesítjük: ai, bi, ci -, vagy ezzel egyenértékű, ha a trigonometrikus függvényeket kicseréljük. a megfelelő hiperbolikusokkal [96] .

A 19-20. században a trigonometrikus sorozatok elmélete és a matematika kapcsolódó területei gyorsan fejlődtek : a harmonikus elemzés , a véletlenszerű folyamatok elmélete , az audio- és videoinformációk kódolása és mások. Még Daniel Bernoulli is kifejezte azt a meggyőződését, hogy egy adott intervallumon bármely (folyamatos) függvény leképezhető trigonometrikus sorozattal [97] . A viták egészen 1807-ig folytatódtak, amikor is Fourier kiadott egy elméletet tetszőleges darabonkénti analitikai függvények trigonometrikus sorozatokkal történő ábrázolására (a végső változatot az 1822-es Analytical Theory of Heat című könyve tartalmazza) [92] . Egy függvény sorozattá bővítése: $f(x)$

f(x)=a_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx}).

Fourier integrál képleteket adott az együtthatók kiszámításához [92] :

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\quad (n =0,1,2,\pontok );\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!f(x )\sin {nx}\,dx\quad (n=1,2,3,\pontok)

Fourier magyarázata nem volt a modern értelemben vett szigorú, de már tartalmazta az általa kapott sorozatok többségének konvergenciájának vizsgálatát. A teljes számegyenesen megadott és nem periodikus függvények esetében Fourier Fourier-integrálra való kiterjesztést javasolt .

A Fourier-elemzési módszerek sokoldalúsága és hatékonysága nagy benyomást tett a tudományos világra. Ha korábban a matematikai fizikában a trigonometrikus sorokat főként periodikus folyamatok (húrrezgések, égi mechanika , ingamozgás stb.) tanulmányozására használták, addig Fourier munkáiban egészen más jellegű (hőátadás) folyamatokat vizsgáltak, és a trigonometrikus sorok segítették a értékes gyakorlati eredményeket érhet el. Azóta a trigonometrikus sorozatok és integrálok a különböző függvények elemzésének hatékony eszközévé váltak. Fourier eredményeit Poisson és Cauchy folytatta és elmélyítette, a sorkonvergencia kérdését Dirichlet és más matematikusok részletesen tanulmányozták [98] . Riemann disszertációjában tetszőleges trigonometrikus sorozatokat vizsgált, amelyek nem feltétlenül kapcsolódnak egyetlen függvény kiterjesztéséhez (1853), és megfogalmazta számukra a „lokalizációs elvet”. Egy tetszőleges mérhető és szinte mindenhol véges függvény trigonometrikus sorozattal való ábrázolhatóságának kérdését (amely nem feltétlenül esik egybe a Fourier-sorral) 1941- ben Men'shov tétele oldotta meg .

Georg Cantor a trigonometrikus sorozatok szinguláris pontjainak halmazait vizsgálva kidolgozta az alapvető halmazelméletet minden matematikára [99] . A trigonometrikus sorozatok elmélete óriási hatással volt a komplex elemzés , a matematikai fizika , az elektronika és sok más tudományág fejlődésére [92] . A trigonometrikus sorozatok elméletével [92] [100] szoros összefüggésben jelent meg és fejlődött tovább a valós változó függvényelmélete , a mértékelmélet és a Lebesgue-integrál . A függvények véges trigonometrikus polinomokkal [101] való közelítésének (amelyet interpolációhoz is használnak ) fontos gyakorlati alkalmazásai vannak .

A trigonometria történészei

A 18-19. században a matematika- és csillagászattörténeti munkák jelentős figyelmet fordítottak a trigonometria történetére ( J. E. Montucla , J. B. J. Delambre , G. Hankel , P. Tannery és mások). 1900-ban Anton von Braunmühl német matematikatörténészkiadta az első monográfiát két kötetben, kifejezetten a trigonometria történetének szentelve [102] . A 20. században ebben a témában jelentősebb munkákat publikáltak I. G. Zeiten , M. B. Kantor , O. Neugebauer , B. A. Rosenfeld , G. P. Matvievskaya és mások.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M . : Nauka, 1978. - S. 266-268.
↑ Paine, Thomas. Az értelem kora . - Dover Publications, 2004. - 52. o.
↑ Eli Major. Trigonometrikus élvezetek . - Princeton University Press, 1998. - 20. o . — ISBN 0-691-09541-8 .
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 95.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometria és algebra az ókori civilizációkban . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Van der Waerden, 1959 , p. 13. lábjegyzet.
↑ Zverkina G. A. A matematika története: Tankönyv. - M. : MIIT, 2005. - 108 p. : „Ha már az egyiptomi geometriáról beszélünk, természetes az „egyiptomi háromszögek” megemlítése – a Mezopotámiában is ismert, egész oldalú derékszögű háromszögek. A földmérési gyakorlatban az ilyen háromszögek ismerete lehetővé tette a földterületek derékszögének megjelölését egy zsinór segítségével, amelyre egyenlő távolságra csomókat kötöttek.
↑ 1 2 Glazer G.I., 1982 , p. 77.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 124-125.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 94-95.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 92-96.
↑ Zeiten G. G., 1932 , p. 153-154.
↑ Veselovsky, 1961 , p. 38.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. tizenöt.
↑ Boyer, Carl B. A matematika története . — Második kiad. - John Wiley & Sons, Inc., 1991. - P. 158-159 . — ISBN 0-471-54397-7 .
↑ 12 Toomer , 1973 .
↑ Van der Waerden, 1988 .
↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , p. 77.
↑ Thurston, 1994 .
↑ Duke, 2011 .
↑ Olvasó a matematika történetéről, 1976 , p. 195-197.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 25-27.
↑ Duke, 2002 .
↑ Sidoli, 2004 .
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 27-33.
↑ 1 2 3 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 33-36.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 141-142.
↑ Zeiten G. G., 1932 , p. 158-162.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 36-39.
↑ 1 2 3 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 40-44.
↑ 1 2 3 A középkori matematika története, 1961 , p. 156-158.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 81-82.
↑ Scott JF, 1958 , p. ötven.
↑ 1 2 3 Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , p. 79.
↑ 1 2 Scott JF, 1958 , p. 52.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 199-201.
↑ A középkori matematika története, 1961 , p. 157.
↑ Gupta, RC Másodrendű interpoláció az indiai matematikában egészen a tizenötödik századig // Indian Journal of History of Science : folyóirat. — Vol. 4 , sz. 1 és 2 . - 86-98 . o .
↑ 1 2 A középkori matematika története, 1961 , p. 160.
↑ A középkori matematika története, 1961 , p. 159.
↑ Bakhmutskaya E. Ya. Hatványsorozat a sint és a költség tekintetében a 15-18. századi indiai matematikusok munkáiban // Történeti és matematikai kutatás . - M. : Fizmatgiz, 1960. - 13. sz . - S. 325-335 .
↑ Roy, Ranjan. Leibniz, Gregory és Nilakantha a π sorozat képletének felfedezése // Math. Assoc. amer. Matematikai Magazin. - 1990. - Kiadás. 63. (5) bekezdése alapján . - S. 291-306 .
↑ Plofker, 2009 .
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 203.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 51-55.
↑ Olvasó a matematika történetéről, 1976 , p. 204-205.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 236-238.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 234-235.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 111.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 96-98.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 69.
↑ 1 2 Glazer G.I., 1983 , p. 60.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 71-78.
↑ Olvasó a matematika történetéről, 1976 , p. 195-198,.
↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , p. 82.
↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , p. 88.
↑ Tusi Nasiruddin . Értekezés a teljes négyszögről. Baku, szerk. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , p. 105.
↑ Ez az értekezés az "Astronomy"-ban, az "Az Úr háborúi" alapvető teológiai-filozófiai-tudományos értekezés hat részének egyikében szerepelt, amelyen Gersonides egész életében dolgozott.
↑ Rabinovich, Nachum L. Levi ben Gershom rabbi és a matematikai indukciós módszer eredete. = Levi ben Gershom rabbi és a matematikai indukció eredete // Archívum az egzakt tudományok történetéhez . - 1970. - V. 6. - S. 237-248.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 14, 30-31.
↑ Zeiten G. G., 1932 , p. 223-224.
↑ 1 2 3 Glazer G.I., 1982 , p. 79, 84.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 320.
↑ Stepanov N. N. 42. §. Napier-féle analógia képletei // Szférikus trigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 87-90. — 154 p.
↑ 1 2 Vileitner G., 1960 , p. 341-343.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 126-127.
↑ 1 2 Zeiten G. G., 1938 , p. 129.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 189.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , p. 125.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 130-132.
↑ Hairer E., Wanner G. Calculus történetének tükrében . - M . : Tudományos világ, 2008. - S. 42 . — 396 p. - ISBN 978-5-89176-485-9 .
↑ 1 2 Glazer G.I., 1982 , p. 86.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 324-325.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 283-288.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 327-335.
↑ 1 2 Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 205-209.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 331.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 419.
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Roger Cotes életrajza . A MacTutor matematika története (2005. február). Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 24. (határozatlan)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 152.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 80-81.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 322, 329.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 207.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 334.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 345.
↑ Stepanov N. N. Szférikus trigonometria. - Szerk. 2. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 139-143. — 154 p.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , p. 211.
↑ Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 323.
↑ Vileitner G., 1960 , p. 148, 336.
↑ Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 209-215.
↑ 1 2 3 4 5 Trigonometrikus sorozat // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 5.
↑ 1 2 Paplauskas A. B., 1966 , p. 7, 15.
↑ Glazer G.I. A matematika története az iskolában. - M . : Oktatás, 1964. - S. 287. - 376 p.
↑ Lásd: Juskevics A. P. Fejezetek a középkori matematika történetéről. - A könyvben: Természettudomány története Oroszországban. M.: 1957, I. kötet, 45-48.
↑ Lásd B. A. Rosenfeld cikkét a könyvben: Kagan V. F. Foundations of Geometry. II. kötet, 313-321.
↑ Paplauskas A. B., 1966 , p. 26-27.
↑ Paplauskas A. B., 1966 , IV. fejezet.
↑ Dauben, Joseph W. Georg Cantor és a transzfinit halmazelmélet születése // Scientific American, orosz kiadás. - 1983. - Kiadás. 8 (augusztus) . - S. 76-86 .
↑ Trigonometrikus sorozatok . Hozzáférés dátuma: 2012. október 28. Az eredetiből archiválva : 2012. november 23. (határozatlan)
↑ Trigonometrikus polinom // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 5.
↑ Braunmühl A. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie. - Lipcse, 1900-1903.

Irodalom

Könyvek

Aleksandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, megnevezések története: Szótár-referenciakönyv, szerk. 3. - Szentpétervár. : LKI, 2008. - 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
Van der Waerden B.L. Az ébredés tudománya. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája . — M .: GIFML, 1959.
Vileitner G. A matematika története Descartes-tól a 19. század közepéig . - M. : GIFML, 1960. - 468 p.
Glazer G.I. A matematika története az iskolában. VII-VIII osztály. Útmutató tanároknak. - M . : Nevelés, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Glazer G.I. A matematika története az iskolában. IX-X osztályok. Útmutató tanároknak. - M . : Oktatás, 1983. - 352 p.
Matematika története, A. P. Juskevics szerkesztette három kötetben, M .: Nauka.
- A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 351 p.
- A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II. — 300 s.
- A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III. — 495 p.
Matvievskaya G.P. Esszék a trigonometria történetéről: Az ókori Görögország. Középkori Kelet. Késő középkor. - Szerk. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 p. - (Fizikai-matematikai örökség: matematika (matematika története)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Paplauskas A. B. Trigonometrikus sorozat. Eulertől Lebesgue-ig. — M .: Nauka, 1966. — 277 p.
Rozhanskaya M. M. Mechanika a középkori keleten. - Moszkva: Nauka, 1976.
Rybnikov K. A. A matematika története két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1960. - T. I.
Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P. Abu Raykhan Beruni és matematikai munkái. Diáksegély. - M . : Nevelés, 1978. - 95 p. — (A tudomány emberei).
Stroik D. Ya. Rövid esszé a matematika történetéről, szerk. 3. — M .: Nauka, 1978. — 336 p.
- Stroyk D. Ya. (Dirk J. Struik). A matematika történetének rövid vázlata, szerk. 5. - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. Irodalom, 1990. - 256 p. — ISBN 5-02014329-4 .
Olvasó a matematika történetéről. Aritmetika és algebra. Számelmélet. Geometria / Szerk. A. P. Juskevics . - M . : Nevelés, 1976. - 318 p.
Zeiten GG A matematika története az ókorban és a középkorban. - M. - L. : GTTI, 1932. - 230 p.
Zeiten G. G. A matematika története a 16. és 17. században. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 p.
Juskevics A. P. A matematika története a középkorban. - M. : GIFML, 1961. - 448 p.
Plofker K. Matematika Indiában. – Princeton: Princeton University Press, 2009.
Scott JF A matematika története az ókortól a tizenkilencedik század elejéig. - London: Tailor & Francis Ltd., 1958. - 266 p.
Thurston H. Korai csillagászat. – New York: Springer-Verlag, 1994.
Van Brummelen G. Az ég és a föld matematikája: A trigonometria korai története. – Princeton University Press, 2009.

Cikkek

Veselovsky I. N. Aristarchus of Samos - Kopernikusz az ókori világban // Történelmi és csillagászati tanulmányok, 1. köt. VII. - M. , 1961. - S. 17-70 .
Matvievskaya G.P. Szférika és gömbi trigonometria az ókorban és a középkori Keleten // Csillagászati kutatási módszerek fejlesztése, 1. kötet. 8. - M. - L. , 1979.
Bond JD A trigonometrikus módszerek fejlődése a XV. század végéig // Isis. - 1921. - 1. évf. 4, 2. sz . - P. 295-323.
D. Hipparkhosz herceg koordinátarendszere // Arch. Hist. Exact Sci. - 2002. - 20. évf. 56. - P. 427-433.
Duke D. A trigonometria nagyon korai története // DIO: The International Journal of Scientific History. - 2011. - Kt. 17. - P. 34-42. Az eredetiből archiválva : 2012. március 26.
Kennedy ES A trigonometria története // Történeti témák a matematika tanterem számára: Harmincenegyedik évkönyv. – Washington, DC: Matematikatanárok Országos Tanácsa, 1969.
Moussa A. A trigonometrikus függvények, mint az arab-iszlám civilizációban // Arab tudományok és filozófia. - 2010. - 20. évf. 20. - P. 93-104.
Sidoli N. Hipparkhosz és az ókori metrikus módszerek a szférán // Journal of the History of Astronomy. - 2004. - 20. évf. 35. - P. 71-84.
Toomer G. J. Hipparkhosz akkordtáblája és a görög trigonometria korai története // Centaurus. - 1973. - 1. évf. 18. - P. 6-28.
Van der Waerden BL Egy görög akkordtáblázat rekonstrukciója // Arch. Hist. Exact Sci. - 1988. - 1. évf. 38. - P. 23-38.

Linkek

Fedosova M. Trigonometria . Enciklopédia a világ körül. Letöltve: 2012. június 5. Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 24.. (határozatlan)
O'Connor, JJ; Robertson EF Trigonometrikus függvények . MacTutor Matematikatörténeti Archívum (1996). Letöltve: 2012. június 5. Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 24..
Leo Rogers. A trigonometria története . Letöltve: 2012. október 19. Az eredetiből archiválva : 2012. október 28..

A matematika története
Országok és korszakok	történelem előtti időszak Az ókori Egyiptom Babilon Ősi Kína Ókori Görögország India Örményország Inka Birodalom Iszlám országok Oroszország
Tematikus szakaszok	Algebra Analitikus geometria Számtan Variációszámítás Geometria Differenciálgeometria és topológia Kombinatorika Kriptográfia Lineáris algebra Logaritmusok Matematikai elemzés Nem euklideszi geometria Valószínűségi elmélet halmazelmélet Topológia Trigonometria funkcionális elemzés
Lásd még	elenyésző Valós számok Irracionális számok Komplex számok Matematikai jelölés Folytatva törtek Negatív számok Funkciók

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok