Ptolemaiosz egyenlőtlensége

Ptolemaiosz egyenlőtlensége egy sík négy pontja közötti 6 távolság egyenlőtlensége.

Nevét a néhai hellenisztikus matematikusról, Claudius Ptolemaioszról kapta .

Megfogalmazás

A sík bármely pontjára az egyenlőtlenség $A,B,C,D$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

sőt, akkor és csak akkor érhető el egyenlőség, ha egy konvex beírt négyszög , vagy a pontok egy egyenesen fekszenek. $ABCD$ $A,B,C,D$

Az egyenlőtlenség bizonyításának egyik változata a pont középpontjában álló kör inverzióján alapul ; ez a Ptolemaiosz- egyenlőtlenséget a , , pontok képeinek háromszög-egyenlőtlenségére redukálja . [egy] $A$ $B$ $C$ $D$
Van mód ennek bizonyítására Simson vonala segítségével .
Ptolemaiosz tétele a következő módon bizonyítható (közel magának Ptolemaiosz bizonyításához, amelyet az Almagest című könyvben adott meg ) - vezessen be egy pontot úgy, hogy , majd a háromszögek hasonlóságán keresztül . $E$ $\angle ABE=\angle DBC$
A tétel Bretschneider relációjának is a következménye .

Pompeius tétele . [2] Tekintsünk egy pontotés egy szabályos háromszöget . Ekkor a szakaszokból,éslehet háromszöget készíteni, és ez a háromszög akkor és csak akkor degenerált, ha a ponta háromszög körülírt körén fekszik. $x$ $ABC$ $XA$ $XB$ $XC$ $x$ $ABC$

Ha AC a kör átmérője , akkor a tétel a szinuszösszeg szabályává változik. Ez a következmény volt, hogy Ptolemaiosz szinusztáblázatot állított össze.

Bretschneider arány
A Ptolemaiosz-egyenlőtlenségek hat pontra terjeszthetők ki: ha a sík tetszőleges pontjai (ezt az általánosítást Ptolemaiosz-tételnek nevezik hatszögre , a külföldi szakirodalomban pedig Fuhrmann -tételnek [3] ), akkor $A_{1},A_{2},\pontok A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5 }\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

ahol az egyenlőség akkor és csak akkor érhető el, ha egy beírt hatszög.

A_{1}\pontok A_{6}

Casey-tétel ( általánosított Ptolemaiosz-tétel ): Tekintsünk köröketésegy adott kör érintőjét a csúcsokbanéskonvex négyszöget. Legyen a körök és körök közös érintőjének hosszaés(külső, ha mindkét érintés egyszerre belső vagy külső, és belső, ha az egyik érintés belső, a másik pedig külső); stb . hasonlóképpen határozzák meg. Akkor $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\delta$ $ABC$ $D$ $ABCD$ $t_{{\alpha \beta ))$ $\alpha$ $\beta$ $t_{{\beta \gamma }},t_{{\gamma \delta }}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ Ptolemaiosz tételének bizonyítása inverzióval Archiválva : 2009. május 26. a Wayback Machine -nél . Távoli konzultációs pont a matematika MCNMO számára .
↑ D. Pompeiu tételéről Archiválva 2004. december 17-én a Wayback Machine -nél . Távoli konzultációs pont a matematika MCNMO számára .
↑ Ptolemaiosz tétele . Letöltve: 2011. május 17. Az eredetiből archiválva : 2009. május 26.. (határozatlan)
↑ Howorka, Edward (1981), Ptolemaioszi gráfok jellemzése , Journal of Graph Theory 5. kötet (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Választható matematika tantárgy. 7-9 / Össz. I. L. Nikolskaya. - M . : Oktatás , 1991. - S. 328-329. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .