Casey tétele

Casey vagy Casey tétele egy tétel az euklideszi geometriában , amely általánosítja Ptolemaiosz egyenlőtlenségét . John Casey ír matematikusról nevezték el .

Megfogalmazás

Legyen egy sugarú kör . Legyen (a jelzett sorrendben) négy nem metsző kör, amely belül fekszik és érinti. Jelölje a körök külső közös érintőjének érintkezési pontjai közötti szakasz hosszával . Akkor [1] : $O$ $R$ ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4))$ $O$ $t_{ij}$ ${\displaystyle O_{i},O_{j))$

t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

A degenerált esetben, amikor mind a négy kört pontokká redukáljuk (0 sugarú körök), pontosan Ptolemaiosz tételét kapjuk .

Jegyzetek

Casey tétele négy kör hat páronkénti érintőjére érvényes, amelyek egy közös kört érintenek, nemcsak belsőleg, amint fentebb tárgyaltuk, hanem kívülről is, amint az az 1. ábrán látható. lent.

Ebben az esetben teljesül a Casey-tétel szokásos képlete:

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

Az elfajult esetben, amikor a négy körből három pontokká redukálódik (0 sugarú körök), és a négyszög egyik oldala ponttá degenerálódik, és a négyszög maradék három oldala egyenlő oldalú háromszöget alkot, pontosan az általánosított Pompeius-féle. tételt kapunk .
Abban az elfajult esetben, amikor mind a négy kört pontokká redukáljuk (0 sugarú körök), az utóbbi esetben Ptolemaiosz tételét is megkapjuk .

Bizonyítás

A következő bizonyítást (Bottem [2] szerint) Tzacharias [3] teszi . Jelöljük a kör sugarát -vel, a körrel való érintkezési pontot pedig -vel . A körök középpontjaira a jelölést fogjuk használni . Figyeljük meg, hogy a Pitagorasz-tétel azt jelenti $O_{i}$ $R_i$ $O$ $K_{i}$ ${\displaystyle O,O_{i))$

t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j))}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.

Próbáljuk meg pontokon keresztül kifejezni a hosszokat . A koszinusz törvénye szerint egy háromszögben ${\displaystyle K_{i},K_{j))$ ${\displaystyle O_{i}OO_{j))$

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=\overline {OO_{i}}^{2}+\overline {OO_{j}}^{2}-2\overline {OO_{i }}\cdot \overline {OO_{j}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}

Mivel a körök összeérnek, ${\displaystyle O,O_{i))$

\overline {OO_{i}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}

Legyen egy pont a körön . A szinusz törvénye szerint háromszögben $C$ $O$ ${\displaystyle K_{i}CK_{j))$

\overline {K_{i}K_{j}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{ 2}}

Tehát,

\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left( {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2 }}{2R^{2}}}

és miután a kapott kifejezést behelyettesítette a fenti képletbe,

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})\left(1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{2R^{2}}}\right)

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}} {R^{2}}}

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})( R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{R^{2}}}

Végül a kívánt hossz

t_{{ij}}={\sqrt {\overline {O_{i}O_{j}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac { {\sqrt {R-R_{i))}\cdot {\sqrt {R-R_{j))}\cdot \overline {K_{i}K_{j))}{R))

Most átalakíthatja a bal oldalt Ptolemaiosz tételével , ahogy egy beírt négyszögre alkalmazzuk : ${\displaystyle K_{1}K_{2}K_{3}K_{4))$

t_{{12}}t_{{34}}+t_{{14}}t_{{23}}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{ 1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1} K_{2}}\cdot \overline {K_{3}K_{4}}+\overline {K_{1}K_{4}}\cdot \overline {K_{2}K_{3}}\right)

={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3 ))}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1}K_{3}}\cdot \overline {K_{2}K_{4}}\right)=t_{ {13}}t_{{24}}

Változatok és általánosítások

Megmutatható, hogy a négy körnek nem kell a nagy körön belül lennie. Sőt, kívülről is megérinthetik. Ebben az esetben a következő változtatásokat kell végrehajtani [4] :

Ha ugyanazt az oldalt érintik (mindkettő belülről vagy mindkettő kívülről), akkor a külső érintők szakaszának hossza.

{\displaystyle O_{i},O_{j))

O

t_{ij}

Ha különböző oldalról érintkeznek (az egyik belülről, a másik kívülről), - a belső érintők szakaszának hossza.

{\displaystyle O_{i},O_{j))

O

t_{ij}

Casey tételének fordítottja is igaz [4] . Így, ha az egyenlőség fennáll, a körök összeérnek. Például a 3. ábrához. lent van nálunk :

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

A "külső érintők szakaszának hossza" és a "belső érintők szegmensének hossza" fogalmak félrevezetőek lehetnek, mert ezek az érintők a közös összekötő körön belül és kívül is megrajzolhatók, mivel két kör hasonló érintőpárjai mindig egyenlő. Itt fontosabb, hogy ne a "külső érintők" és a "belső érintők" fogalmával operáljunk, hanem a két kör legnagyobb és legkisebb érintőjének fogalmával, mert két körbe két hasonló érintőpárt lehet húzni, mindig egyenlő minden párra, de nem egyenlő a különböző érintőpárok között. Ez jól látható, ha a két adatot összehasonlítjuk. Hogy egy körpár hogyan helyezkedik el a rájuk húzott két lehetséges közös érintő egyikéhez képest, azt az inverz távolságuk I értékével állapíthatjuk meg, amely 3 értéket vehet fel: 0, +1 és -1.

Alkalmazások

Casey tétele és inverze felhasználható különféle állítások bizonyítására az euklideszi geometriában . Például a Feuerbach-tétel legrövidebb ismert bizonyítása [5] a Casey-tétel inverzét használja .

Jegyzetek

↑ Casey, 1866 .
↑ Bottema, 1944 .
↑ Zakariás, 1942 .
↑ 1929 , Johnson 12 .
↑ Casey, 1866 , p. 411.

Irodalom

John Casey. Az egyenletekről és a tulajdonságokról: (1) a három kört síkban érintő körrendszer; (2) az űrben négy gömböt érintő gömbök rendszere; Egy gömbön három kört érintő körök rendszerének (3) bekezdése; (4) a Kúpba írt kúprendszer és három feliratos kúp érintése egy síkban // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - 9. sz . - S. 396-423 . — .
M. Zakariás. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1942. - T. 52 . - S. 79-89 .
O. Bottema. Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. - az Epsilon-Uitgaven által 1987-ben kiadott második bővített kiadásból. - Springer 2008 (Reinie Erné fordítása, mint az elemi geometriai témák ), 1944.
Roger A. Johnson. modern geometria. - Houghton Mifflin, Boston (Dover 1960, 2007 Advanced Euclidean Geometry néven újra kiadta fakszimile ), 1929.

Linkek

Weisstein, Eric W. Casey tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Shailesh Shirali: Egy általánosított Ptolemaiosz-tételről (lefelé irányuló kapcsolat)