Arkhimédeszi spirál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az arkhimédeszi spirál egy spirál , síkgörbe , az M pont pályája (lásd 1. ábra), amely egyenletesen mozog az OV sugár mentén O -nál kezdődően , míg maga az OV sugár egyenletesen forog O körül. Más szóval, a ρ = OM távolság arányos az OV nyaláb φ elfordulási szögével . Az OV sugár azonos szöggel történő elforgatása ugyanannak a ρ növekménynek felel meg .

Ennek a spirálnak a tulajdonságait az ókori görög tudós , Arkhimédész írja le „ A spirálokról ” című esszéjében .

Leírás

Az arkhimédeszi spirál egyenlete a poláris koordináta-rendszerben a következőképpen írható fel:

(egy)

\rho =k\varphi ,

ahol k az M pont elmozdulása az r sugár mentén egy radiánnal egyenlő szögben elforgatva.

A on egyenes forgása az a = | elmozdulásnak felel meg bm | = | MA | = . Az a számot a " spirál magasságának " nevezik . Az arkhimédeszi spirál egyenlete a következőképpen írható át: $2\pi$ $2k\pi$

\rho ={\frac {a}{2\pi }}\varphi .

Ha a sugár az óramutató járásával ellentétes irányban forog, jobboldali csavarvonalat (kék vonal) kapunk (lásd a 2. ábrát), ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk, baloldali csavarvonalat (zöld vonal) kapunk.

A spirál mindkét ágát (jobb és bal) egy (1) egyenlet írja le. A pozitív értékek a jobb spirálnak, a negatív értékek a bal spirálnak felelnek meg. Ha az M pont az UV egyenes mentén a negatív értékekről az O forgásközépponton át, majd tovább a pozitív értékek felé, az UV egyenes mentén mozog , akkor az M pont a spirál mindkét ágát írja le. $\varphi$

Az O kezdőpontból húzott OV sugár végtelen számú alkalommal keresztezi a spirált - B, M, A és így tovább. A B és M, M és A pontok távolsága megegyezik a csavarvonal osztásközével . Amikor a spirál letekerődik, az O pont és az M pont közötti távolság a végtelenbe hajlik, miközben a spirál emelkedése állandó (véges) marad, azaz minél távolabb van a középponttól, a spirál alakú spirál fordulatai minél közelebb közelítenek egy körhöz. . $a=2k\pi$

Szektor terület

OCM szektor területe : $S$

\bal(2\jobb)

S={\frac {1}{6}}\varphi \left(\rho ^{2}+\rho \rho '+\rho '^{2}\jobbra)

ahol , , . $\rho=OC$ $\rho '=OM$ $\varphi=\angle COM$

, , esetén a (2) képlet megadja az ábra azon területét, amelyet a spirál első fordulata és a CO szakasz határol: $\rho=0$ $\rho '=a$ $\varphi=2\pi$

S_{1}={\frac {1}{3}}\pi a^{2}={\frac {1}{3}}S'_{1}

ahol annak a körnek a területe, amelynek sugara megegyezik a spirál osztásközével - . $S'_{1}$ $a$

Mindezeket a tulajdonságokat és egyenleteket Archimedes fedezte fel .

Arkhimédeszi spirál ívhosszának kiszámítása

Az ív egy végtelenül kicsi szakasza (lásd 3. ábra): $dl$

{\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2))))

ahol a sugár növekedése , ha a szög . A szög végtelenül kicsi növekményére igaz: $d\rho$ $\rho$ $\varphi$ $d\varphi$ $d\varphi$

dh^{2}=\left(\rho d\varphi \right)^{2}

Ezért:

{\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2))))

valamint _ $\rho=k\varphi$

d\rho=kd\varphi

vagy

{\displaystyle dl={\sqrt {k^{2}d\varphi ^{2}+k^{2}\varphi ^{2}d\varphi ^{2))))

{\displaystyle dl=kd\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2))))

Az ív hossza egyenlő a -tól ig terjedő integrállal a -tól -ig terjedő tartományon belül : $L$ $dl$ $d\varphi$ $0$ $\varphi$

L=\int \limits _{0}^{\varphi }k{\sqrt {1+\varphi ^{2))}d\varphi

L={\frac {k}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\ varphi ^{2}}}\jobbra)\jobbra]

. [egy]

Háromdimenziós általánosítás

Az arkhimédeszi spirál háromdimenziós általánosításának tekinthető egy kúpos spirálnak a kúp tengelyére merőleges síkra való vetítése.

Jegyzetek

↑ Weisstein, Eric W. Archimedes spirálja a Wolfram MathWorld webhelyen .

Linkek

A Wikimedia Commons rendelkezik az arkhimédeszi spirálhoz kapcsolódó médiával

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg