Jacobi elliptikus függvények

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. január 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Jacobi-elliptikus függvények egy összetett változó és a segéd théta-függvények alapvető elliptikus függvényeinek halmaza , amelyek közvetlenül kapcsolódnak néhány alkalmazott problémához (például az ingaegyenlethez ). Hasznos analógjaik vannak a trigonometrikus függvényekkel is , amint azt a megfelelő jelölés mutatja . Nem ezek adják a legegyszerűbb módot egy általános elmélet kidolgozására, amint azt a közelmúltban megjegyeztük: ez megtehető a Weierstrass elliptikus függvények alapján . A Jacobi elliptikus függvényeknek két egyszerű pólusa és két egyszerű nullája van a fő paralelogrammában. $\operátornév{\mathrm{sn))$ $\bűn$

Bevezetés

Van egy elliptikus függvény, amelynek egy másodrendű pólusa és két egyszerű nullája van a fő paralelogrammában; ez az "elliptikus Weierstrass függvény". Hasznosabbak azonban a "Jacobi elliptikus függvények", amelyeknek minden fő paralelogrammában két egyszerű pólus és két egyszerű nulla található. Mindegyik függvény a fő paralelogrammában pontosan kétszer vesz fel bármely értéket.

Megnevezés

Az elliptikus függvényeknél különféle jelölésekkel találkozhatunk, amelyek megzavarhatják a dolog lényegét. Az elliptikus függvények két változó függvényei. Az első változó megadható amplitúdó formájában , vagy általában az alábbiak szerint. A második változó megadható paraméterként , akár elliptikus modulusként , ahol , vagy moduláris szögként , ahol . $\varphi$ $u$ $m$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ))$

Definíció az elliptikus integrálok inverzeiként

A fenti definíció a meromorf függvények szempontjából absztrakt. Létezik egy egyszerűbb, de teljesen ekvivalens definíció, amely az elliptikus függvényeket az első típusú nem teljes elliptikus integrál inverzeiként határozza meg. Hadd

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

Az elliptikus függvényt így adjuk meg $\operatorname {sn} u$

\operatorname {sn} u=\sin \varphi

és elhatározta $\operátornév {cn} u$

\operatorname {cn} u=\cos \varphi ,

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Itt a szöget amplitúdónak nevezzük . delta amplitúdónak nevezzük . Az érték egy szabad paraméter, amelyet valósnak feltételezünk a tartományban , így az elliptikus függvények két argumentum függvényei: az amplitúdó és a paraméter . $\varphi$ $\operatorname {dn} u=\Delta (u)$ $m$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $m$

A fennmaradó kilenc elliptikus függvény könnyen összeállítható a fenti háromból. Ez alább történik.

Vegye figyelembe, hogy amikor , akkor egyenlő a periódus negyedével . $\varphi =\pi /2$ $u$ $K$

A théta függvények meghatározása

Ezzel egyenértékűen a Jacobi-elliptikus függvények θ-függvényekkel definiálhatók . Ha , illetve mint ( théta konstans ) definiáljuk , akkor az elliptikus modulus értéke . Feltételezve , hogy megkapjuk $\vartheta (0;\;\tau )$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi \vartheta ^{2}z$

\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau )}},

\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},

\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau )}}.

Mivel a Jacobi-függvények az elliptikus modulussal vannak definiálva , meg kell találni az inverzeiket, és kifejezni kell őket . Kezdjük egy további modullal . Hogyan írjunk függvényt $k(\tau )$ $\tau$ $k$ $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Bemutatjuk a jelölést

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 }{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

A nóm -ot a néven is definiáljuk , és kibővítjük a név hatványaival . Kap $q$ $q=\exp(\pi i\tau )$ $\ell$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\lpont }{1+2q^{4}+2q^{16}+\lpont )).

A sorozat megfordítása ad

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ ell ^{25}+\ldots

Mivel figyelembe vehetjük azt a speciális esetet, amikor a képzeletbeli rész nagyobb vagy egyenlő, mint , azt mondhatjuk, hogy az érték kisebb vagy egyenlő, mint . Ilyen kis értékek esetén a fenti sorozatok nagyon gyorsan konvergálnak, és ez megkönnyíti a megfelelő érték megtalálását . $\tau$ ${\sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Egyéb jellemzők

A függvények nevében két betű sorrendjének megváltoztatásával általában a fenti három függvény fordítottját jelölik:

\operátornév {ns} (u)=1/\operátornév {sn} (u),

\operátornév {nc} (u)=1/\operátornév {cn} (u),

\operátornév {nd} (u)=1/\operátornév {dn} (u).

A három főfüggvény arányait a nevező első betűje után a számláló első betűje jelöli:

\operátornév {sc} (u)=\operátornév {sn} (u)/\operátornév {cn(u)} ,

\operátornév {sd} (u)=\operátornév {sn} (u)/\operátornév {dn(u)} ,

\operátornév {dc} (u)=\operátornév {dn} (u)/\operátornév {cn(u)} ,

\operátornév {ds} (u)=\operátornév {dn} (u)/\operátornév {sn(u)} ,

\operátornév {cs} (u)=\operátornév {cn} (u)/\operátornév {sn(u)} ,

\operátornév {cd} (u)=\operátornév {cn} (u)/\operátornév {dn(u)} .

Írjunk röviden

\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} )),

ahol az összes , , és bármely betű , , , (ne feledje, hogy ). $\operátornév {p}$ $\operátornév {q}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {r} }$ $\operatorname {s}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {c} }$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {d} }$ $\operátornév {n}$ $\operátornév {ss} =\operátornév {cc} =\operátornév {dd} =\operátornév {nn} =1$

További tételek

A függvények két algebrai összefüggést teljesítenek

\operátornév {cn} ^{2}+\operátornév {sn} ^{2}=1,

\operátornév {dn} ^{2}+k^{2}\operátornév {sn} ^{2}=1.

Látható, hogy ( , , ) paraméterezi az elliptikus görbét , amely a fenti két egyenlet által meghatározott két négyzet metszéspontja . Most már meghatározhatjuk a csoporttörvényt a görbe pontjaihoz a Jacobi-függvények további képleteivel $\operátornév {cn}$ $\operátornév {sn}$ $\operatorname {dn}$

\operátornév {cn} (x+y)={\frac {\operátornév {cn} (x)\,\operátornév {cn} (y)-\operátornév {sn} (x)\,\operátornév { sn} (y)\,\operátornév {dn} (x)\,\operátornév {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operátornév {sn} ^{2}(x)\, \operátornév {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname { sn} (y)\,\operátornév {cn} (x)\,\operátornév {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operátornév {sn} ^{2}(x)\, \operátornév {sn} ^{2}(y)}},

\operátornév {dn} (x+y)={\frac {\operátornév {dn} (x)\,\operátornév {dn} (y)-k^{2}\,\operátornév {sn} ( x)\,\operátornév {sn} (y)\,\operátornév {cn} (x)\,\operátornév {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operátornév {sn} ^{ 2}(x)\,\operátornév {sn} ^{2}(y)}}.

A trigonometrikus és hiperbolikus függvények az ellipszis speciális eseteként

Ha , akkor $m=1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operátornév {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operátornév {tg} \varphi \right).

Innen

\sin \varphi =\operátornév {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operátornév {th} \,u.

Innen

\operátornév {cn}\,u={\sqrt {1-\operatorname {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch}\,u}}

és

\operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}} .

Így az elliptikus függvények hiperbolikussá degenerálódnak . $m=1$

Ha , akkor $m=0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

Innen

\sin \varphi =\sin \,u=\operátornév {sn} \,u,

szintén

\operatorname {cn} \,u=\cos \,u,

\operatorname {dn} \,u=1.

Így az elliptikus függvények trigonometrikus függvényekké degenerálódnak . $m=0$

A függvények négyzetei közötti kapcsolat

Ezeknek a függvényeknek a négyzetére a következő összefüggések igazak

-\operátornév {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operátornév {cn} ^{2}(u)=m\;\operátornév {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\operátornév {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operátornév {sd} ^{2}(u)=m\ ;\operátornév {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operátornév {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operátornév {nc} ^{2}(u)=\operátornév {dc } ^{2}(u)-m,

\operátornév {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operátornév {ds} ^{2}(u)=\operátornév {ns} ^{2}(u)-m,

hol és . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

A négyzetekre további egyenlőségeket kaphatunk, ha megjegyezzük, hogy , és , ahol , , bármely betű , , , és . $\operátornév {pq}^{2}\cdot \operátornév {qp}^{2}=1$ $\operátornév {pq}=\operátornév {pr}/\operátornév {qr}$ $\operátornév {p}$ $\operátornév {q}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {r} }$ $\operatorname {s}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {c} }$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {d} }$ $\operátornév {n}$ $\operátornév {ss} =\operátornév {cc} =\operátornév {dd} =\operátornév {nn} =1$

Nome

Legyen a nom egyenlő , és legyen az argumentum . Ekkor a függvények Lambert-összegként ábrázolhatók $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2K)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Nemlineáris közönséges differenciálegyenletek megoldásai

A három alapvető Jacobi-elliptikus függvény deriváltjait a következőképpen írjuk fel:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

A fenti tételt felhasználva egy adott ( ) egyenletre, amelynek megoldásai Jacobi elliptikus függvények: $k$ $0<k<1$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ az és egyenlet megoldása ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ az és egyenlet megoldása ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ az és egyenlet megoldása ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Linkek

Weisstein, Eric W. Jacobi elliptikus függvények (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Elliptikus függvények (lefelé irányuló kapcsolat) - Eljárások a Matlab számára

Irodalom

Bobylev D.K. Elliptikus integrálok és függvények // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . – New York: Dover, 1972. Lásd a 16. fejezetet

Akhiezer N. I. Az elliptikus függvények elméletének elemei (neopr.) . - M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. A modern elemzés tanfolyama. 2. rész Transzcendens függvények . - M . : Mir, 1963. (Orosz) vagy Moszkva: URSS, 2010

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg