Dioklész ciszoidja

Dioklész ciszoidja egy harmadrendű sík algebrai görbe . A derékszögű koordinátarendszerben , ahol az abszcissza tengelye, az ordináta tengelye pedig mentén irányul , a szakaszra , akárcsak az átmérőre , egy segédkör épül . Egy pontban érintőt húzunk . A pontból tetszőleges egyenest húzunk , amely a pontban metszi a kört és a pontban az érintőt . A pontból a pont irányában egy szakaszt húzunk le , amelynek hossza megegyezik a szakasz hosszával . Amikor egy egyenes egy pont körül forog , a pont a Dioklész-ciszoidnak nevezett egyenest írja le . Ennek a vonalnak a két ága az ábrán. 1 kék és piros színnel láthatók. $ÖKÖR$ $OY$ $OA=2a$ $A$ $UV$ $O$ $OF$ $E$ $F$ $F$ $O$ $FM$ $OE$ $OF$ $O$ $M$

Egyenletek

A ciszoid egyenlet egy téglalap alakú koordinátarendszerben a következőképpen írható fel:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

A ciszoid egyenlet poláris koordinátákban:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).

Néha a poláris koordináta-rendszerben a ciszoid egyenlet a következőképpen íródik:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Paraméteres ciszoid egyenlet:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

ahol

u=\mathrm {tg} \,\varphi

Történelem

A ciszoidot először Diocles görög matematikus tárta fel a Kr.e. 2. században. e. Dioklész így építette fel a görbét: van egy pont , amely a segédkörön a pontra szimmetrikusan helyezkedik el ; a szimmetriatengely az átmérő . A pontból merőleges az abszcissza tengelyre. A ciszoidhoz tartozó pont ennek a merõlegesnek és az egyenesnek a metszéspontjában van . Ezzel a módszerrel Diocles csak a görbét szerkesztette meg a segédkörön belül. Ha a ciszoid ( ) ezen részét egy körív zárja le , akkor olyan alakot kapunk, amely alakjában egy borostyánlevélre hasonlít . A görögben a borostyán κισσός ("kissos"), innen származik a görbe neve - "Cissoid". $P$ $E$ $BD$ $P$ $M$ $OE$ $DOB$ $DOB$ $EAD$

Modern formájában a ciszoidot Gilles Roberval francia matematikus reprodukálta 1640 - ben . Később a ciszoidot Sluz holland matematikus is feltárta .

Tulajdonságok

A ciszoid szimmetrikus az abszcissza tengelyhez képest.
A ciszoid a segédkört a kör átmérőjéhez tartozó és pontokban metszi. $B$ $D$
A ciszoidnak van egy csúcsa és egy aszimptotája , melynek egyenlete: , ahol a segédkör sugara . $UV$ $x=2a$ $a$
A ciszoid egy parabola evolúciója, amelynek csúcsa a parabola csúcsán van. Ráadásul a parabola direktrixe a ciszoid aszimptotája. [egy]

A ciszoid és az aszimptota közötti terület

Ez a terület egyenlő:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Következtetés

A ciszoid és az aszimptota ágai közé zárt terület . Felső ág egyenlete : $KOL$ $UV$ $S_{1}$ $OL$

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}}.\qquad \qquad (2)

A ciszoid és az aszimptota közé zárt terület fele egyenlő a (2) egyenlet integráljával a 0-tól : $2a$

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}} \,dx.\qquad \qquad(3)

Helyettesítés:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Integrációs korlátok:

x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a)),\qquad x=2a\Rightarrow u=0.

A (3) integrált a következő alakra alakítjuk:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^ {3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a ^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\ pi a^{2}}{2}}.

Így:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Egy forradalom testének térfogata

Az elágazás abszcissza tengely körüli forgásával létrejövő test térfogatát ( ) a következőképpen számítjuk ki: $V_{1}$ $OL$

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x }}\jobbra)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0} ^{2a}.

Ha , akkor ez . $x\to 2a$ $\ln(2a-x)\to -\infty$ $V_{1}\to \infty$

Jegyzetek

↑ Akopyan A.V. Geometria képekben .

Irodalom

Savelov A.A. Lapos ívek. Szisztematika, tulajdonságok, alkalmazások (Referencia útmutató). - Moszkva: Fizikai és matematikai irodalom állami kiadója, 1960. - 293 p.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Harmadrendű síkgörbék elméletének kézikönyve. - Moszkva: Fizmatgiz, 1961. - 263 p.

J. Dennis Lawrence. Speciális síkgörbék katalógusa. - Dover Publications, 1972. - 53-56 p. - ISBN 0-486-60288-5 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg