Négyszög

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 74 szerkesztést igényelnek .

NÉGYSZÖGEK
┌─────────────┼──────────────┐
egyszerű nem domború	konvex	önmagát metsző

A négyszög egy geometriai alakzat ( sokszög ), amely négy olyan pontból (csúcsból) áll, amelyek közül három nincs ugyanazon az egyenesen, és négy szakasz (oldal), amelyek sorosan kötik össze ezeket a pontokat. Vannak konvex és nem konvex négyszögek, egy nem konvex négyszög is lehet önmagát metsző (lásd ábra). Az önmetszéspontok nélküli négyszöget egyszerűnek nevezzük , gyakran a "négyszög" kifejezés csak egyszerű négyszögeket jelent [1] .

Négyszögek típusai

Párhuzamos szemközti oldalú négyszögek

A deltoid egy négyszög, amelynek négy oldala két egyenlő szomszédos oldalpárba csoportosítható.
A négyzet olyan négyszög, amelyben minden szög derékszögű és minden oldal egyenlő;
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként egyenlőek és párhuzamosak ;
Téglalap - négyszög, amelyben minden szög derékszögű;
A rombusz olyan négyszög, amelyben minden oldal egyenlő;
A rombusz olyan paralelogramma , amelyben a szomszédos oldalak különböző hosszúságúak, és a szögek nem megfelelőek.
A trapéz olyan négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos;

Négyszögek antiparallel szemközti oldalakkal

Az antiparallelogramma vagy ellenparallelogramma egy lapos, nem konvex (önmetsző) négyszög , amelyben a paralelogrammától eltérően minden két szemközti oldal egyenlő egymással, de nem párhuzamos .
Egyenlőszárú trapéz vagy egyenlőszárú trapéz .
A beírt négyszög vagy beírt négyszög olyan négyszög, amelynek csúcsai ugyanazon a körön fekszenek. Ez is egy négyszög, amelynek ellentétes oldalai párhuzamosak.

Négyszögek merőleges szomszédos oldalakkal

Négyszögek merőleges átlókkal

Deltoid
Négyzet
Az ortodiagonális vagy ortodiagonális négyszög olyan négyszög , amelyben az átlók derékszögben metszik egymást .
Rombusz

Párhuzamos átlójú négyszögek

Antiparallelogramma

Egyenlő ellentétes oldalú négyszögek

Antiparallelogramma
Négyzet
Paralelogramma
Téglalap
Rombusz
Romboid
* Egyenlőszárú trapéz vagy egyenlőszárú trapéz .

a jövőben nem lesz rá szüksége.

Egyenlő átlójú négyszögek

Négyzet
Egyen -diagonális vagy egyenlő átlós négyszög olyan konvex négyszög , amelynek két átlója egyenlő hosszú.
Téglalap
Egyenlő szárú trapéz vagy egyenlő szárú trapéz .

Körbe írt négyszögek

A körülírt vagy körülírt négyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalaia négyszög belsejébenegyetlen kört érintenek.

Teljes négyoldalú

Bár egy ilyen név egyenértékű lehet egy négyszöggel, gyakran további jelentést kap. A négy egyenest, amelyek közül nincs kettő párhuzamos, és amelyek közül három nem megy át ugyanazon a ponton, teljes négyszögnek nevezzük . Ilyen konfiguráció található az euklideszi geometria egyes állításaiban (például a Menelaus-tétel , a Newton-Gauss- egyenes , az Auber-vonal , a Miquel-tétel stb.), amelyekben az összes egyenes gyakran felcserélhető.

Szögek összege

Egy önmetszéspont nélküli négyszög szögeinek összege 360°.

\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ kör}

Metrikus arányok

A négyszög egyenlőtlenség

A négyszög bármely két oldalának különbségének modulusa nem haladja meg a másik két oldal összegét.

\left|ab\right|\leq c+d

Ezzel egyenértékűen: bármely négyszögben (beleértve az elfajultat is) a három oldala hosszának összege nem kisebb, mint a negyedik oldal hossza, azaz:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

A négyszög egyenlőtlenségben csak akkor érhető el egyenlőség, ha degenerált , azaz mind a négy csúcsa ugyanazon az egyenesen van.

Ptolemaiosz egyenlőtlensége

Egy konvex négyszög oldalaira és átlóira Ptolemaiosz egyenlőtlensége érvényes : $a,b,c,d$ $e,f$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

továbbá akkor és csak akkor valósul meg az egyenlőség, ha a konvex négyszöget egy körbe írjuk, vagy csúcsai egy egyenesen fekszenek.

Négyszög oldalai és átlói közötti kapcsolatok

A sík négy tetszőleges pontja közötti hat távolságot, párokban véve, a következő összefüggéssel kapcsoljuk össze:

a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\jobb )+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \jobbra)+

+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ jobb)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Ez az arány meghatározható :

\left|{\begin{mátrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{mátrix}}\right|=0

Ez a determináns egy 288-as tényezőig a tetraéder térfogatának négyzetének kifejezése az élei hosszában, a Cayley-Menger determináns használatával . Ha egy tetraéder csúcsai ugyanabban a síkban fekszenek, akkor nulla térfogatú és négyszöggé alakul. Az élek hossza megegyezik a négyszög oldalainak vagy átlóinak hosszával.

Bretschneider kapcsolatai

A Bretschneider-relációk egy egyszerű (nem metsző) négyszög a, b, c, d oldalainak és ellentétes szögeinek és e, f átlóinak aránya : $\szög A,\szög C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

A négyszög speciális egyenesei

A négyszög középvonalai

Legyen G, I, H, J egy ABCD konvex négyszög oldalainak felezőpontja , E, F pedig az átlóinak felezőpontja. Nevezzünk három GH, IJ, EF szakaszt a négyszög első, második és harmadik felezővonalának . Közülük az első kettőt bimediánoknak is nevezik [2] .

Tételek négyszög középvonalairól

Általánosított Newton-tétel . A négyszög mindhárom középső vonala egy pontban metszi egymást (a négyszög csúcsainak súlypontjában („vertex centroid”)), és felosztja azt.
A két átló E és F felezőpontja , valamint a konvex négyszög K csúcsainak súlypontja ugyanazon az EF egyenesen található . Ezt az egyenest Newton egyenesnek nevezik .
Figyeljük meg, hogy a Newton-Gauss egyenes egybeesik a Newton egyenessel , mert mindkettő átmegy az átlók felezőpontjain.
Varignon tétele :
- A GIHJ, EHFG, JEIF négyszögek paralelogrammák , és Varignon paralelogrammáknak nevezik őket . Az elsőt Varignon nagy paralelogrammájának nevezzük
- Ennek a három Varignon paralelogrammának a középpontja az átlópárjaik metszéspontja.
- Mindhárom Varignon paralelogramma középpontja ugyanabban a pontban van - az eredeti négyszög oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz közepén (ugyanabban a pontban a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok - a Varignon paralelogramma átlói ) metszik egymást.
- A nagy Varignon paralelogramma kerülete megegyezik az eredeti négyszög átlóinak összegével. $GIHJ$
- A nagy Varignon paralelogramma területe egyenlő az eredeti négyszög területének felével , azaz $GIHJ$ $ABCD$ $S_{GIHJ}={\frac {1}{2}}S_{ABCD}$ .
- Az eredeti négyszög területe egyenlő a négyszög első és második felezővonalának, valamint a köztük lévő szög szinuszának szorzatával , azaz $ABCD$ $GH$ $IJ$ $\phi$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- Egy négyszög három középső egyenesének négyzetösszege egyenlő az összes oldala és átlója négyzetösszegének negyedével: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Euler-képlet : négyszerezzük meg az átlók felezőpontjai közötti távolság négyzetét, amely egyenlő a négyszög oldalai négyzeteinek összegével mínusz az átlók négyzeteinek összege.
Matematikailag a jobb felső sarokban lévő ABCD szürke négyszögű ábra esetében az Euler-képlet a következőképpen írható: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Newton-vonal

Ha egy négyszögben két pár szemközti oldal nem párhuzamos, akkor átlóinak két felezőpontja egy egyenesen fekszik, amely átmegy a két szemközti oldalpár két metszéspontját összekötő szakasz felezőpontján (a pontok a következő ábrán láthatók). piros az ábrán). Ezt az egyenest Newton-egyenesnek nevezzük (az ábrán zöld színnel látható). Ebben az esetben a Newton egyenes mindig merőleges az Auber egyenesre .
A Newton egyenesen fekvő pontok kielégítik Anna tételét .

Egy négyszög csúcsainak hármasainak ortopólusainak ortopoláris vonalai

Ha adott egy rögzített egyenes ℓ , és a négyszög három csúcsa közül bármelyiket választjuk , akkor az adott ℓ egyenes összes ortopólusa az összes ilyen háromszöghez képest ugyanazon az egyenesen fekszik. Ezt az egyenest ortopoláris egyenesnek nevezzük az adott ℓ egyeneshez a négyszöghez képest [3] $ABCD$ $ABCD$

A négyszög speciális pontjai

Négyszög középpontja

Négy szakasz, amelyek mindegyike összeköti a négyszög csúcsát a háromszög fennmaradó három csúcsa által alkotott súlypontjával , a négyszög súlypontjában metszi egymást, és a csúcsokból számolva 3:1 arányban osztja el.
Lásd még egy négyszög súlypontjának tulajdonságait.

A négyszög Poncelet-pontja

A négyszögön belül van egy Poncelet-pont (lásd a "Kilenc háromszögpontból álló körök a négyszögön belül" című részt).

Miquel pontnégyszög

A négyszög belsejében van egy Miquel-pont .

Kilenc pontú háromszögből álló körök egy négyszögön belül

Egy tetszőleges konvex négyszögben a háromszög kilenc pontjának körei , amelyekbe két átlóval van osztva, egy pontban metszik egymást - a Poncelet-pontban [4] . $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$

A négyszögek speciális esetei

Beírt négyszögek

Azt mondják, hogy ha egy kör körülírható egy négyszög közelében , akkor a négyszög ebbe a körbe van beírva , és fordítva.
A körbe írt négyszögek különösen a következők: téglalap , négyzet , egyenlő szárú vagy egyenlő szárú trapéz , antiparallelogram .
Tételek beírt négyszögekre :
- Ptolemaiosz két tétele . Egy körbe írt egyszerű (önt nem metsző) négyszögre, amelynek az ellentétes oldalpárok hossza: a és c , b és d , valamint az e és f átlók hossza a következő:

1) Ptolemaiosz első tétele

ef=ac+bd

; 2) Ptolemaiosz második tétele

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ Az utolsó képletben az a és d , b és c számláló szomszédos oldalpárjai a végükkel egy e hosszúságú átlón nyugszanak . Hasonló állítás érvényes a nevezőre is.

3) Az átlók hosszának képlete ( Ptolemaiosz első és második tételének következményei )

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

és

{\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

- Monge tétele egy beírt négyszög ortocentrumáról . A beírt négyszög ellentétes oldalaira merőleges 4 oldalának felezőpontjából húzott 4 vonalszakasz (4 antimedatris [5] ) metszi egymást ennek a négyszögnek a H ortocentrumában [6] [7] .
- Tétel egy pár átlós háromszög körének feliratáról . Ha egy konvex négyszöget valamilyen körbe írunk, akkor egy olyan háromszögpárt is beírunk ugyanabba a körbe, amelybe a négyszög bármelyik átlójával fel van osztva (kapcsolat a háromszög köreivel).
- Négy mediátus tétele . Az utolsó állításból következik: ha egy konvex négyszög oldalaira húzott négy mediatrix (vagy medián merőleges ) közül három egy pontban metszi egymást, akkor a negyedik oldalának mediatrixa is ugyanabban a pontban metszi egymást. Ezenkívül egy ilyen négyszög egy bizonyos körbe van beírva, amelynek középpontja a jelzett mediatricák metszéspontjában van [8] .

- Tételek négy átlós háromszögről és a hozzájuk írt körökről [9] . Ha egy körbe írt négyszögbe átlót húzunk, és a kapott két háromszögbe két kört írunk, akkor ugyanezt a második átló megrajzolásával tesszük, akkor a négy alkotott kör középpontjai a téglalap csúcsai (azaz , ugyanazon a körön fekszenek). Ezt a tételt japán tételnek nevezik . (lásd az ábrát). Ráadásul az itt leírt négy háromszög ortocentrumai az eredeti ABCD négyszöghez hasonló négyszög csúcsai (vagyis egy másik körön is fekszenek, mert az eredeti beírt négyszög csúcsai valamilyen körön fekszenek). Végül ennek a négy háromszögnek a súlypontjai a harmadik körön helyezkednek el [10] .
- A tétel egy beírt négyszög csúcsainak négy vetületére az átlójára [11] . Legyen egy beírt négyszög, legyen a csúcsból az átlóba esett merőleges alapja ; pontokat hasonlóan határozzuk meg . Ekkor a pontok ugyanazon a körön helyezkednek el. $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
- Brocard tétele . A négyszög körüli körülírt kör középpontja a háromszög magasságainak metszéspontja az átlók metszéspontjában és a szemközti oldalak metszéspontjában lévő csúcsokkal.

A beírt négyszögek kritériumai :
- A beírandó négyszög első feltétele . Egy kör akkor és csak akkor írható körül egy négyszög körül, ha a szemközti szögek összege 180°, azaz:

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- A beírandó négyszög második kritériuma . Egy kör akkor és csak akkor írható körül egy négyszögre , ha az ellentétes oldalak bármelyike ellentétes .

- A beírandó négyszög harmadik feltétele . A négy adott Miquel -egyenesből alkotott konvex négyszög (lásd a jobb oldali ábrát) akkor és csak akkor írható be egy körbe, ha a négyszög M Miquel-pontja azon az egyenesen fekszik, amely az egyenesek hat metszéspontja közül kettőt összeköt (azokat, amelyek nem a négyszög csúcsai). Vagyis amikor M az EF -en fekszik .
- A háromszög oldalával ellentétes és azt metsző egyenes egy négyszöget vág le belőle, amely köré mindig körbeírható.
- A beírandó négyszög negyedik feltétele . Az a feltétel, amely mellett két egyenlő oldalú háromszög kombinációja egy körbe írt négyszöget ad [12] . Úgy, hogy két háromszög (a, b, f) és (c, d, f) oldalhosszúságú háromszög f-vel egyenlő közös oldal mentén kombinálva egy körbe írt négyszöget ad. oldalsorral ( a , b , c , d ), a feltétel [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

- Az utolsó feltétel egy körbe írt négyszög f átlójára ad kifejezést a négy oldala ( a , b , c , d ) hosszával. Ez a képlet azonnal követi a Ptolemaiosz első és második tételének lényegét kifejező képletek bal és jobb oldali részének szorzását és egyenlítését (lásd fent).

Egy körbe írt négyszög területe :
- Egy körbe írt négyszög területe Brahmagupta képlete szerint [14] :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))),

ahol p a négyszög fél kerülete.

- Az utolsó képlet az (1) általános képletből következik a "Terület" bekezdés rovatában, ha figyelembe veszi, hogy $2\theta =\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Az utolsó képlet a Heron-képlet általánosítása négyszög esetére.
- Brahmagupta képlete egy körbe írt négyszög területére a determináns [ 8 ] segítségével írható fel :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmátrix))))$

A négyszögre körülírt kör sugara :

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Beírt négyszögek merőleges átlókkal

Brahmagupta tétele . Beírt ortodiagonális négyszögekre érvényes Brahmagupta tétele : Ha egy beírt négyszögnek egy pontban metsző merőleges átlói vannak , akkor két pár $M$ antimediatrice átmegy a ponton . $M$
Megjegyzés . Ebben a tételben az antimediatrix [15] a jobb oldali ábrán látható négyszög szegmenseként értendő (a háromszög oldalára merőleges felezővel (mediatrix) analóg módon). Ez merőleges az egyik oldalra, és egyidejűleg átmegy a négyszög másik oldalának felezőpontján. $FE$
A tétel egy merőleges négyszög nyolc pontjából álló körről . Van egy jól ismert tétel: Ha egy négyszögben az átlók merőlegesek, akkor egy körön nyolc pont található (a négyszög nyolc pontjából álló kör ): az oldalak felezőpontjai és az oldalak felezőpontjainak vetületei a szemközti oldalra. oldalak [16] . Ebből a tételből és Brahmagupta tételéből következik , hogy egy beírt derékszögű négyszög két antimediatrice -párjának (nyolc pontjának) végei ugyanazon a körön ( a négyszög nyolc pontjából álló körön ) fekszenek .
Részleges beírt merőleges négyszögek . A körbe írt privát, merőleges négyszögek a következők: négyzet , deltoid pár merőleges ellentétes szöggel, egyenlő oldalú derékszögű trapéz és mások.

Leírt négyszögek

Azt mondják, hogy ha egy kör beírható egy négyszögbe , akkor a négyszög e kör köré van körülírva , és fordítva.
Néhány (de nem mindegyik) négyszögnek van beírt köre. Ezeket körülírt négyszögeknek nevezzük .
- A körre körülírt konkrét négyszögek a következők: rombusz , négyzet , deltoid .
A négyszögek leírásának kritériumai :
- A leírt négyszögek tulajdonságai közül a legfontosabb, hogy a szemközti oldalak összege egyenlő legyen. Ezt az állítást Pitot-tételnek nevezzük .
- Más szóval, egy konvex négyszög akkor és csak akkor van körülírva egy körre, ha a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő, azaz: . $AB+CD=BC+AD$

Tételek körülírt négyszögekre :
- Tétel a kört érintő szög két egyenlő oldaláról . A négyszögbe írt kör érintési pontjai egyenlő szakaszokat vágnak le a négyszög sarkaiból.
- Tétel egy négyszög két szemközti oldalpárjának folytatásáról . Ha egy konvex négyszög sem nem trapéz , sem nem paralelogramma , és valamilyen kör körül van körülírva, akkor ugyanazon kör körül háromszögpárok vannak körülírva, amelyeket úgy kapunk, hogy a két szemközti oldalpárját addig folytatjuk, amíg nem metszik egymást (kapcsolat a a háromszög körei).
- Tétel a négy felező szögről . Az utolsó állításból következik: ha egy konvex négyszög belső szögeire húzott négy felező (vagy felező) közül három egy pontban metszi egymást, akkor a negyedik belső szögének felezője is ugyanabban a pontban metszi egymást. Ezenkívül egy ilyen négyszöget egy bizonyos kör körül írnak le, amelynek középpontja a jelzett felezők metszéspontjában van [17] .
- Newton tétele . Ha egy négyszög egy körre van írva, akkor a beírt kör középpontja a Newton-vonalon fekszik . Az alábbiakban egy pontosabb nyilatkozat olvasható.
- Newton tétele . Bármely körülírt négyszögben az átlók két felezőpontja és a beírt kör középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik. Rajta fekszik a szakasz közepe, amelynek végei a négyszög ellentétes oldalainak (ha nem párhuzamosak) folytatásainak metszéspontjainál vannak. Ezt a vonalat Newton-vonalnak nevezik. Az ábrán (felülről a második ábracsoport) zöld, az átlók pirosak, a négyszög szemközti oldalai folytatásainak metszéspontjainál végű szakasz szintén piros.
- Brocard tétele . A négyszög körüli körülírt kör középpontja a háromszög magasságainak metszéspontja az átlók metszéspontjában és a szemközti oldalak metszéspontjában lévő csúcsokkal.

A körülírt négyszög területe
- A feltétel azt jelenti, hogy . $AB+CD=BC+AD$ $a+c=b+d$

Bemutatjuk a p félperiméter fogalmát . Ezért nálunk is van . Továbbá észreveheti: Ezért az (1) képlet szerint a "Terület" bekezdésben található mezőben $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ $(pa)(pb)(pc)(pd)=abcd.$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Mivel a négyszög le van írva, területe is egyenlő a beírt kör p kerületének felével és r sugarával : . $S=pr$

Beírt-körírt négyszögek

A beírt-körülírt négyszögek olyan négyszögek, amelyek egy körre körülírhatók és egy körbe is beírhatók. Más elnevezéseik bicentrikus négyszögek, húr-tangens négyszögek vagy kettős körnégyszögek.
A privát beírt-körírt négyszögek egy négyzet és egy rombusz , amelyeknek egy párja 90 fokos egyenlő ellentétes szöggel rendelkezik.

Tulajdonságok

A négyszög egyidejű feliratozásának és körülírtságának kritériumai
- Az alábbi két feltétel bármelyike külön-külön is szükséges , de nem elégséges feltétele annak, hogy egy adott konvex négyszög beírható-körülírható legyen bizonyos körökre:

AB+CD=BC+AD

és .

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Az utolsó két feltétel egyidejű teljesülése valamely konvex négyszög esetében szükséges és elegendő ahhoz , hogy ez a négyszög beírható-körülírható legyen .

Tételek beírt-körírt négyszögekhez

- Fuss tétel. Az adott négyszög körülírt és beírt köreinek R és r sugaraira, valamint a középpontok és e körök közötti x távolságra (lásd az ábrát) teljesül egy olyan összefüggés, amely az Euler-tétel négyszög-analógját reprezentálja (ott egy hasonló Euler-képlet egy háromszöghez) [18] [19] [20 ] : $én$ $O$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

vagy

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

vagy

{\displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

vagy

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

- Tétel . A beírt-körírt négyszög alábbi három feltétele olyan pontokra vonatkozik, amelyekben az érintőnégyszögbe írt kör érinti az oldalakat. Ha a beírt kör érinti az AB , BC , CD , DA oldalakat a W , X , Y , Z pontokban, akkor az ABCD érintőnégyszög is akkor és csak akkor kerül körülírásra, ha a következő három feltétel valamelyike teljesül (lásd a ábra): [21]
- WY merőleges XZ -re
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- Poncelet-tétel . Egy beírt- körülírt négyszögre a Poncelet-tétel érvényes .

Egy beírt-körülírt négyszög területe

- Ha a négyszög be van írva és le van írva, akkor az (1) képlet alapján a „Terület” bekezdésben a következőt kapjuk: . $S={\sqrt {abcd))$
- Az utolsó képletet az előző bekezdés területképletéből kapjuk a körülírt négyszögre , tekintettel arra, hogy (a beírt négyszögre ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sin 90^{0}=1$ $2\theta =~\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Mivel a négyszög körülírt, területe is egyenlő p kerületének felével, a beírt kör r sugarának szorzatával: . $S=pr$
- Egy másik képlet egy körülírt négyszög területére:

S={\frac {p^{2}}{\operátornév {tg} {\frac {A}{2}}+\operátornév {tg} {\frac {B}{2}}+\operátornév {tg} {\frac {C}{2}}+\operátornév {tg} {\frac {D}{2}}}}

Érintőnégyszög oldalainak felosztása a körrel való érintkezési pontok szerint

Az érintőnégyszög nyolc "érintőhossza" ("e", "f", "g", "h" a jobb oldali ábrán) a csúcstól azon pontokig terjedő szakaszok, ahol a kör érinti az oldalakat. Minden csúcsból két azonos hosszúságú kör érintője van (lásd az ábrát).
Jelöljük az érintőnégyszög két "tangenciális húrját" (az ábrán "k" és "l") is - ezek olyan vonalszakaszok, amelyek a szemközti oldalak pontjait kötik össze, ahol a kör ezeket az oldalakat érinti. Ezek egyben egy "érintkezési négyszög" átlói is, amelyek csúcsai a négyszög és a kör érintkezési pontjain vannak. $ABCD$

Ekkor a beírt-körülírt négyszög területe [21] :128.

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

szintén

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Ha a k és l érintők két húrja, valamint a p és q átló mellett egy konvex négyszög további két m és n bimediánját bevezetjük a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő egyenesek szakaszaiként, akkor a beírt terület -a körülírt négyszög egyenlő lesz: [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Nem körülírt négyszögek

Egy körhöz nem körülírt négyszög

A körül nem írt négyszög olyan konvex négyszög, amelynek mind a négy oldalának kiterjesztése érinti a kört (a négyszögön kívül) [23] . A kört excircle -nek nevezzük. A kör középpontja hat felezőszög metszéspontjában van.
Kizárás nem létezik minden négyszögre. Ha egy ABCD konvex négyszög szemközti oldalai az E és F pontokban metszik egymást , akkor a leíráson kívüli feltétele az alábbi két feltétel valamelyike:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Egy körülíratlan négyszög egy parabolához

Parabola , négyszögre leírva . Ilyen parabola bármely konvex négyszögre létezik, és érinti az adott négyszög (négyszög) mind a 4 oldalát vagy azok kiterjesztését. Direktíveegybeesik az Auber -Steiner vonallal [24] .

Négyszögek merőleges elemekkel

Az alábbiakban bekezdések találhatók a négyszögekre merőleges elempárokkal: 2 merőleges oldallal és 2 merőleges átlóval.
Ezek a négyszögek derékszögű háromszöggé degenerálódnak , ha az egyik kívánt oldal hossza (a négy oldaluk közül), amely a derékszög közelében fekszik, vagy a végeivel ezen a szögön nyugszik, nullára hajlik.

Négyszögek merőleges oldalú

Négyszögek merőleges ellentétes oldallal

A négyszög két szemközti oldala akkor és csak akkor merőleges, ha a másik két szemközti oldal négyzetösszege megegyezik az átlók négyzeteinek összegével.
Ha a trapéz egyik alapjában a szögek összege 90°, akkor az oldalsó (szemközti) oldalak nyúlványai derékszögben metszik egymást, és az alapok felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő a trapéz felezőpontjainak különbségével . az alapokat.

Négyszögek 2 pár merőleges szomszédos oldallal

Ha egy konvex négyszögnek van két egymás melletti oldala, amelyek merőlegesek (azaz két szemközti szög derékszögű), akkor ez a négyszög beírható valamilyen körbe. Ezenkívül ennek a körnek az átmérője lesz az az átló, amelyen a jelzett két szomszédos oldalpár az egyik végén felfekszik.
A merőleges oldalú privát négyszögek a következők: téglalap , négyzet és téglalap alakú trapéz .

Négyszögek 3 egymásra merőleges oldallal

Ha egy konvex négyszögnek 3 egymás melletti oldala merőleges (azaz 2 belső szög derékszögű), akkor ez a négyszög egy téglalap alakú trapéz .

Négyszögek merőleges átlókkal

A merőleges átlójú négyszögeket ortodiagonális négyszögeknek nevezzük .
Egy négyszög átlói akkor és csak akkor merőlegesek, ha a szemközti oldalak négyzetösszegei egyenlők.
Egy merőleges négyszög területe egyenlő az átlók szorzatának felével: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Egy négyszög középvonalai akkor és csak akkor egyenlőek, ha a szemközti oldalainak négyzetösszegei egyenlők.
A négyszög antimediatrixa egy olyan szakasz, amely az egyik oldalának közepéből jön ki, és merőleges a szemközti oldalra.
Brahmagupta tétele . Ha egy négyszögnek merőleges átlói vannak, és beírható valamilyen körbe, akkor négy antimediatricája egy pontban metszi egymást. Ezenkívül az antimediatrisnak ez a metszéspontja az átlók metszéspontja.
Ha egy négyszögnek vannak merőleges átlói, és beírható valamilyen körbe, akkor R sugarának négyszöge megegyezik bármely szemközti oldalpár négyzetösszegével: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Ha egy négyszögnek vannak merőleges átlói, és körülírható egy bizonyos körre, akkor két ellentétes oldalpár szorzata egyenlő: $ac=bd.$
Az a Varignon-paralelogramma, amelynek csúcsai egy merőleges négyszög oldalainak felezőpontjaiban vannak, egy téglalap .
Ha egy négyszögben az átlók merőlegesek, akkor egy körön nyolc pont található (a négyszög nyolc pontjának köre ): az oldalak felezőpontjai és az oldalak felezőpontjainak vetületei a szemközti oldalakra [16] .
Különleges ortodiagonális négyszögek a következők: rombusz , négyzet , deltoid .
Ha egy konvex négyszögnek vannak merőleges átlói, akkor négy oldalának felezőpontjai a téglalap csúcsai (a Varignon-tétel következménye ). Ennek a fordítottja is igaz. Ezenkívül egy téglalap átlói egyenlőek. Ezért egy konvex négyszög átlói akkor és csak akkor merőlegesek, ha két bimediánjának (a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő két szakasz hossza) hossza egyenlő [25] .
A körülírt és az ortodiagonális négyszög tulajdonságait összehasonlító táblázat:

Metrikus tulajdonságaik nagyon hasonlóak (lásd a táblázatot) [25] . Itt vannak feltüntetve: a , b , c , d - oldalaik hossza, R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , valamint az ezeken az oldalakon és az átlók metszéspontján áthúzott körülírt körök sugarai , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 az átlók metszéspontjából rájuk süllyesztett magasságok .

körülírt négyszög	ortodiagonális négyszög
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Ezenkívül az átlók metszéspontjától lesüllyesztett, merőleges négyszög oldalain lévő mediánokra igaz: . ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Bármely derékszögű négyszög végtelen sok téglalappal írható fel, amelyek a következő két halmazhoz tartoznak:

i) olyan téglalapok, amelyek oldalai párhuzamosak egy merőleges négyszög átlóival (ii) Pascal [26] [27] [28] pontkörei által meghatározott téglalapok .

Egyes négyszögek átlóinak tulajdonságai

A következő táblázat azt mutatja, hogy a legalapvetőbb négyszögek átlóinak metszéspontjában van-e felezőpontja, merőlegesek -e az átlók, egyenlőek-e az átlók hossza, és felezik-e a szögeket [29] . A lista a legáltalánosabb esetekre hivatkozik, és kimeríti a négyszögek megnevezett részhalmazait.

Négyszög	Az átlókat a metszéspontjukban kettéosztjuk	Az átlók merőlegessége	Az átlók hosszának egyenlősége	A sarkok felezése átlókkal
Trapéz	Nem	Lásd az 1. megjegyzést	Nem	Nem
Egyenlőszárú trapéz	Nem	Lásd az 1. megjegyzést	Igen	Legalább két ellentétes sarok
Paralelogramma	Igen	Nem	Nem	Nem
Deltoid	Lásd a 2. megjegyzést	Igen	Lásd a 2. megjegyzést	Lásd a 2. megjegyzést
Téglalap	Igen	Nem	Igen	Nem
Rombusz	Igen	Igen	Nem	Igen
Négyzet	Igen	Igen	Igen	Igen

1. megjegyzés: A leggyakoribb trapézoknak és egyenlő szárú trapézoknak nincs merőleges átlója, de végtelen számú (nem hasonló) trapéz és egyenlő szárú trapéz van, amelyeknek van merőleges átlója, és nem olyanok, mint bármely más nevű négyszög .
2. megjegyzés: Deltoidban az egyik átló felezi a másikat. Egy másik átló kettévágja a szemközti sarkait. A leggyakoribb deltoid átlói egyenlőtlenek, de végtelen számú (különböző) deltoid van, amelyek átlói egyenlő hosszúak (és a deltoidok nem tartoznak a többi megnevezett négyszög közé) .

Négyszögek szimmetriája

ábrán. néhány szimmetrikus négyszög látható, azok egymásba való átmenete, valamint duáljai. Elnevezések az ábrán:

Sárkány (kígyó) - deltoid (rombusz)
Paralelogramma - paralelogramma
Szabálytalan négyszög - szabálytalan négyszög
Rombusz - rombusz
Téglalap - téglalap
Négyzet - négyzet
Gyrational Square - egy forgó négyzet
Egyenlőszárú trapéz - egyenlőszárú trapéz

Terület

Egy tetszőleges nem önmagát metsző konvex négyszög területe átlókkal , és a köztük lévő szög (vagy kiterjesztéseik) egyenlő: $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alpha$

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2))$

Egy tetszőleges konvex négyszög területe egyenlő a négyszög első és második felezővonalának, valamint a köztük lévő szög szinuszának szorzatával , azaz $GH$ $IJ$ $\phi$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

Megjegyzés . A négyszög első és második felezővonala olyan szakasz, amely a szemközti oldalak felezőpontjait köti össze.

Egy tetszőleges konvex négyszög területe [14] :

16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ jobbra)^{2}

, ahol , az átlók hossza; a, b, c, d az oldalak hossza.

d_{1}

d_{2}

Egy tetszőleges konvex négyszög területe is egyenlő

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (egy)

ahol p a fél kerülete, és a négyszög szemközti szögeinek fele összege (Nem mindegy, hogy melyik szemközti szögpárt vegyük, mert ha egy szemközti szögpár fele összege egyenlő , akkor a másik két szög félösszege és lesz ). Ebből a beírt négyszögekre vonatkozó képletből Brahmagupta képlete következik . $\theta ={\frac {\angle A+\angle C}{2))$ $\theta$ $180^{\circ }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

Egy tetszőleges konvex négyszög területe a fenti mezőben az (1) képlet szerint, figyelembe véve az egyik Bretschneider-relációt (lásd fent), a következőképpen írható fel:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2)))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ ahol p a fél kerülete, e és f a négyszög átlói.

Egy tetszőleges, önmagát nem metsző négyszög területe, amelyet a síkon a csúcsainak koordinátái adnak meg a bejárás sorrendjében, egyenlő: $S$ ${\megjelenítési stílus (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}) }$

$S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_) {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\big |}$

Történelem

Az ókorban az egyiptomiak és néhány más nép egy helytelen képletet használt egy négyszög területének meghatározására - az a, b, c, d ellentétes oldalak félösszegeinek szorzata [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

A nem téglalap alakú négyszögeknél ez a képlet túlbecsült területet ad. Feltételezhető, hogy csak a majdnem téglalap alakú telkek területének meghatározására használták. A téglalap oldalainak pontatlan mérése esetén ez a képlet lehetővé teszi az eredmény pontosságának javítását az eredeti mérések átlagolásával.

Lásd még

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még

Jegyzetek

↑ Jakov Ponarin . Elemi geometria. 1. kötet: Planimetria, síktranszformációk . — Literek, 2018-07-11. - S. 52. - 312 p.
↑ EW Weisstein. bimedián . MathWorld – Wolfram webes forrás. (határozatlan)
↑ Steve Phelps. Az Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , p. 118, 9. feladat.
↑ Az antimedatris meghatározását lásd a Glossary of Planimetry- ben
↑ Négyszögek figyelemre méltó pontjai és vonalai// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Monge tétele// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , p. 38, jobb oszlop, 7. pont.
↑ Ayeme , p. 6, pl. 8. ábra. 13.
↑ Andreescu, Titu és Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Ciklikus quadok , Matematikai Olimpia kincsei , Springer, p. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , p. 5, pl. 7. ábra. 11, következmény.
↑ Lásd az "Átlók" alszakaszt a " Beírt négyszög " című cikkben
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ 1 2 Ponarin , p. 74.
↑ Starikov, 2014 , p. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , p. 118, 11. feladat.
↑ Starikov, 2014 , p. 39, bal oszlop, utolsó bekezdés.
↑ Dorrie, Heinrich. Az elemi matematika 100 nagy problémája : történetük és megoldásaik . - New York: Dover, 1965. - P. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euklideszi geometria , [1] (hivatkozás nem elérhető) , 1998, pp. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Fuss-tétel, Mathematical Gazette 90. évf. (július): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), The Area of a Bicentric Quadrilateral , Forum Geometricorum vol . 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Néhány tétel az ortopólusról. Tohoku Mathematical Journal, első sorozat. 1933. évf. 36. P. 253, Lemma I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), Egy derékszögű négyszögbe írt és Pascal-pont körök által meghatározott téglalapok halmaza , Journal for Geometry and Graphics 23. kötet: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal point circle in aquadrilateral with perpendicular diagonals , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > .
↑ Freivert, D. M. (2019), Új téma az euklideszi geometriában a síkon: A négyszög oldalain lévő kör által alkotott „pascal-pontok” elmélete , Matematikai oktatás: A technika állása és perspektívák: A nemzetközi tanulmányok Tudományos Konferencia , < https:// /libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas. Geometry: Basic ideas [2] , Hozzáférés: 2012. december 28.
↑ G. G. Zeiten A matematika története az ókorban és a középkorban, GTTI, M-L, 1932.

Irodalom

Boltyansky V. , Négyszögek . Kvant , 1974. 9. szám.
Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Geometriai kutatás // A Globus tudományos folyóirat publikációinak gyűjteménye az V. nemzetközi tudományos-gyakorlati konferencia "Achievements and Problems of Modern Science" anyagai alapján, Szentpétervár: cikkgyűjtemény (standard szintű, akadémiai) szint) // Globus tudományos folyóirat . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Megjegyzések a geometriáról// Tudományos keresés: bölcsészet- és társadalom-gazdaságtudományok: tudományos közlemények gyűjteménye / Ch. szerk. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Kiadás. 1 .
Matematika a feladatokban. Anyaggyűjtemény a moszkvai csapat terepiskoláiból az összoroszországi matematikai olimpiára / Szerkesztette: A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov és A. V. Shapovalov .. - Moszkva: MTsNMO, 2009 - ISBN - ISBN 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. Feurbach tétele. Egy új szintetikus tisztán bizonyíték. (nem elérhető link) . Letöltve: 2016. október 2. Az eredetiből archiválva : 2013. november 13.. (Orosz) Egy kissé kiterjesztett fordítás - "Arkhimédész problémája körül"
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Feltétel, hogy a tangenciális négyszög egyben akkordális is // Mathematical Communications. - 2007. - Kiadás. 12 .
D. Fraivert, A. Sigler és M. Stupel. A trapézok és a konvex négyszögek közös tulajdonságai // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 38 . — P. 49–71. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .