Pont Poncelet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. május 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 11 szerkesztést igényelnek .

A Poncelet -pont a következő [1] tétel tárgya :

Bármely pont négyesére, kivéve az ortocentrikus , a háromszög kilenc pontjának körei , , , metszik egymást egy pontban, amelyet Poncelet-pontnak nevezünk . $A,B,C,D$ $ABC$ $BCD$ $ABD$ $ACD$

Megjegyzés

A fenti Poncelet-tétel egy 4 pontos rendszerrel foglalkozik, amely nem úgynevezett ortocentrikus 4 pontos rendszer.
Ha a négy pontban , , , a pont a háromszög magasságainak metszéspontja , akkor a négy pont bármelyike a másik három pont által alkotott háromszög ortocentruma. Az ilyen négyeseket néha ortocentrikus pontrendszernek is nevezik . Az ortocentrikus pontrendszer egyéb tulajdonságairól lásd az ortocenter cikket . $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $ABC$
A fenti Poncelet-pont definíciójában el lehet hagyni az ortocentrikus pontrendszer említését , ha például egy 4 pontból álló rendszerre cseréljük, amely egy konvex, nem degenerált négyszög csúcsait képezi, és amely automatikusan soha nem alkot ortocentrikus pontrendszer .
Egyébként, ha a fenti Poncelet-pont definíciójában a 4 pontos rendszer még mindig ortocentrikusnak bizonyul , akkor a Poncelet-pont egyszerűen az ortocentrikus pontrendszerben közös Euler-kör lesz (végtelen ponthalmaz) .

A Poncelet pont tulajdonságai

Ha a háromszög ortocentruma , akkor a , , pontok négyeseinek Poncelet-pontjai egybeesnek . $H$ $ABC$ $ABCD$ $ABHD$ $AHCD$ $HBCD$

A négy pont Poncelet-pontja a pont háromszöghöz viszonyított pedálkörén fekszik, vagyis a pont szubdermális háromszögének a háromszöghöz viszonyított körvonalán . $ABCD$ $D$ $ABC$ $D$ $ABC$

A négy pont Poncelet-pontja a pontokon áthaladó egyenlőszárú hiperbola középpontja , , , . $ABCD$ $A$ $B$ $C$ $D$

A pont négyesének Poncelet-pontja a pont cevian-körén fekszik a háromszöghöz képest , vagyis azon a körön, amely a ponton átmenő háromszög cevianjának alapjait tartalmazza . $ABCD$ $D$ $ABC$ $ABC$ $D$

A négyes Poncelet-pontja a pontokat összekötő szakasz felezőpontja és ahol a pont képe a háromszöghöz képest antigonális konjugációban $ABCD$ $D$ $D'$ $D'$ $D$ $ABC$

A négyesek és a Poncelet-pontok egybeesnek. $ABCD$ $ABCD'$

Megjegyzés

Az antigonális konjugáció ugyanaz, mint az antiizogonális konjugáció. [2]

Irodalom

Matematika a feladatokban. Anyaggyűjtemény a moszkvai csapat terepiskoláiból az összoroszországi matematikai olimpiára / Szerkesztette: A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov és A. V. Shapovalov .. - Moszkva: MTsNMO, 2009 - ISBN - ISBN 477-4 .
Vonk, Jan (2009), A Feuerbach-pont és az Euler-vonal tükröződése , Forum Geometricorum 9. kötet: 47–55 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG2009Volume9.pdf#page=51 >

Lásd még

Miquel pont

Jegyzetek

↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , p. 118, 9. feladat.
↑ Lásd: Antigonális konjugáció // http://yavix.ru/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BB% D0 %B8%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA% D0 %B8