Koszinusz tétel

A koszinusz tétel az euklideszi geometria egyik tétele, amely a Pitagorasz -tételt tetszőleges sík háromszögekre általánosítja.

Megfogalmazás

Egy lapos háromszögre, amelynek oldalai és szöge ellentétes oldal , az összefüggés igaz: $ABC$ $\alpha$ $a$

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha

A háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak és a köztük lévő szög koszinuszának kétszerese [1]

Bizonyíték

Klasszikus bizonyíték

Tekintsük az ABC háromszöget . A C csúcstól az AB oldalra a CD magasság leereszkedik . Az ADC háromszögből a következő:

AD=b\cos \alpha

ahol

DB=cb\cos \alpha

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt két ADC és BDC derékszögű háromszögre :

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Az (1) és (2) egyenlet megfelelő részeit egyenlővé tesszük, és:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}

vagy

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Az az eset, amikor az alapnál az egyik szög tompa (és a magasság az alap folytatására esik), teljesen analóg a vizsgálttal.

Kifejezések a b és c oldalhoz:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

. Bizonyítás koordinátákkal

Az egyik bizonyítás ennek a bizonyítása a koordinátasíkban.

Bevezetünk egy tetszőleges ABC háromszöget a koordinátasíkba úgy, hogy az A pont egybeessen a koordináták origójával, és az AB egyenes az OX egyenesen legyen . Vezessük be az AB = c , AC = b , CB = a jelölést, a CAB = α szöget (egyelőre feltételezzük, hogy α ≠ 90°).
Ekkor az A pontnak (0;0), a B pontnak (c;0) a koordinátái vannak. A sin és cos függvénnyel , valamint az AC \ u003d b oldallal levezetjük a C pont koordinátáit . C (b×cosα; b×sinα). A C pont koordinátái változatlanok maradnak α tompa és hegyesszög esetén . A C és B
koordináták ismeretében , valamint annak ismeretében, hogy CB = a , miután megtaláltuk a szakasz hosszát, egyenlőséget alkothatunk: Mivel (a fő trigonometrikus azonosság), akkor a Tétel bizonyítva van. α derékszög esetén a tétel cos90° = 0 és a²=b²+c² esetén is működik - a jól ismert Pitagorasz-tétel. De mivel a koordináta-módszer a Pitagorasz-tételen alapul, a koszinusztételen keresztüli bizonyítása nem teljesen helyes.
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$

$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$

Bizonyítás vektorokon keresztül

Az alábbiakban a vektorokkal végzett műveletekre gondolunk, nem a szegmensek hosszára $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Mivel a vektorok skaláris szorzata egyenlő a moduljaik (hosszúságaik) és a közöttük lévő szög koszinuszának szorzatával, az utolsó kifejezés átírható: ahol a, b, c a megfelelő vektorok hossza.
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Következmények

A koszinusztétel segítségével megkereshetjük a háromszög szögének koszinuszát $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Különösen,

Ha , α szög hegyesszögű $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$
Ha , α szög egyenes (ha α szög egyenes , akkor a koszinusz tételből Pitagorasz-tétel lesz ) $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$
Ha , α szög tompaszögű $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$

A koszinusztétel a következő formában is felírható [2] :

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

a^{2}=(bc)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

. Bizonyíték

Az utolsó két képlet azonnal következik a koszinusztétel főképletéből (lásd a fenti keretet), ha annak jobb részében a kettő összegének (a második képletnél a különbség négyzetének) a képleteit használjuk. négyzetes trinomikussá, ami tökéletes négyzet. A jobb oldalon látható végeredmény (a fenti két képlet) megszerzéséhez a jól ismert trigonometrikus képleteket is használnia kell:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

Egyébként a második képlet formálisan nem tartalmaz koszinuszokat, de továbbra is koszinusztételnek nevezik.

Az utolsó két és képletből kifejezetten kikeresve megkapjuk a jól ismert geometriai képleteket [2] : $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(pa)}{bc))))$ , , , ahol p a fél kerülete . ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{bc))))$ $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{p(pa)))}$
Végül a és a képletek jobb oldalát felhasználva a háromszög területére jól ismert képletet: , valamint a kettős szög szinuszának jól ismert képletét, kis átalakítások után, szerezzük meg a jól ismert Heron-képletet egy háromszög területére: , ahol p a fél kerülete . $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$ $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$

Más szögekhez

A másik két szög koszinusztétele a következő:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

Ezekből és a fő képletből a szögek kifejezhetők:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\jobbra)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\jobb)

Történelem

A Pitagorasz-tételt általánosító és a koszinusztétellel ekvivalens állításokat külön fogalmaztuk meg a hegyes- és tompaszögek esetére Euklidész elemei II. könyvének 12 és 13 mondatában .

A gömbháromszög koszinusztételével egyenértékű állításokat alkalmaztak al-Battani írásaiban . [3] :105 A gömbháromszög koszinusztételét szokásos formájában Regiomontanus fogalmazta meg , aki al-Battani után "Albategnius-tételnek" nevezte el.

Európában a koszinusztételt François Viet népszerűsítette a 16. században. A 19. század elején kezdték el a máig elfogadott algebrai jelöléssel írni.

Változatok és általánosítások

Koszinusztételek (gömbgeometria) vagy koszinusztétel háromszög szögéhez .
Koszinusz tételek (Lobacsevszkij geometria)
A paralelogramma azonossága . Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével (lásd még Ptolemaiosz tételét ): $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Euklideszi normaterekhez _ _

A skaláris szorzathoz tartozó norma legyen megadva az euklideszi térben , azaz . Ekkor a koszinusztétel a következőképpen fogalmazódik meg: $E$ $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}}))))$

Tétel .
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left \Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

Négyszögekhez

Az azonosság négyzetre emelésével megkaphatja a négyszögek koszinusztételének nevezett állítást : ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, ahol az AB és CD egyenesek közötti szög .

\omega

Vagy más módon:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C

A képlet tetraéderre is érvényes, vagyis a keresztező élek közötti szögre.

w

Használatával megtalálhatja a keresztező élek és a tetraéder összes élének ismeretében bezárt szög koszinuszát:

a

c

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Ahol és , és a tetraéder keresztező élpárjai.

b

d

e

f

A négyszög közvetett analógja

A Bretschneider-reláció egy négyszögbeli reláció , a koszinusztétel közvetett analógja:

Egy egyszerű (nem metsző) négyszög a, b, c, d oldalai és a szemközti szögek és e, f átlói között az összefüggés érvényes: $\alpha ,\gamma$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )

Ha egy négyszög háromszöggé degenerálódik, és egy csúcs az egyik oldalra esik, akkor megkapjuk a Stewart-tételt .
A háromszög koszinusztétele a Bretschneider -reláció speciális esete, ha a háromszög körülírt körének középpontját választjuk negyedik csúcsként.

Simplexek

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j))){2^{n-1}((n- 1)!)^{2))}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\pontok &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\pontok &d_{1(n+1)} ^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\pontok &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{ 32}^{2}&0&\pontok &d_{3(n+1)}^{2}\\\vpontok &\vpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\1&d_{(n+1) 1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\pontok &0\\\end{vmátrix}}

ugyanakkor át kell húznunk azt a vonalat és oszlopot, ahol vagy található . $d_{ij}$ $d_{ji}$

A a lapok közötti szög és , az i csúcsgal szemközti lap, az i és j csúcsok közötti távolság . $S_{i}$ $S_{j}$ $S_{i}$ $d_{ij}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev és mások Geometria 7-9: tankönyv. általános műveltségre intézmények - 15. évf. — M.: Felvilágosodás, 2005. — S. 257. — 384 p.: ill. — ISBN 5-09-014398-6
↑ 1 2 Korn G. A., Korn T. M. Matematika kézikönyve tudósoknak és mérnököknek . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 51. - 832 p.
↑ Florian Cajori. A matematika története – 5. kiadás, 1991

Irodalom

Ponarin Ya. P. Elemi geometria. 2 kötetben - M. : MTSNMO , 2004. - S. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0 .

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok