Schrödinger egyenlet

A Schrödinger-egyenlet egy lineáris parciális differenciálegyenlet , amely leírja a tiszta állapot térbeli (általános esetben a konfigurációs térben ) és időben történő változását, a hullámfüggvény által adott hamiltoni kvantumrendszerekben .

Ugyanolyan fontos szerepet játszik a kvantummechanikában , mint a Hamilton-egyenletek vagy a Newton-féle második törvény egyenlete a klasszikus mechanikában vagy a Maxwell-egyenletek az elektromágneses hullámokra.

Erwin Schrödinger fogalmazta meg 1925 - ben , 1926 - ban adták ki . A Schrödinger-egyenlet nem származtatott, hanem a klasszikus optikával analógiával, kísérleti adatok általánosítása alapján feltételezhető [1] .

A Schrödinger egyenlet a fénysebességnél jóval kisebb sebességgel mozgó spin nélküli részecskékre vonatkozik . Gyors részecskék és spinnel rendelkező részecskék esetében annak általánosításait használjuk ( Klein-Gordon- egyenlet , Pauli -egyenlet , Dirac-egyenlet stb.).

Történelem

A 20. század elején a tudósok arra a következtetésre jutottak, hogy számos eltérés van a klasszikus elmélet előrejelzései és az atomszerkezetre vonatkozó kísérleti adatok között. A Schrödinger-egyenlet felfedezése de Broglie forradalmi feltevését követte , amely szerint nemcsak a fénynek, hanem általában minden testnek (beleértve a mikrorészecskéket is) van hullámtulajdonsága .

Történelmileg a Schrödinger-egyenlet végső megfogalmazását a fizika hosszú fejlődési időszaka előzte meg . Magát az egyenletet Erwin Schrödinger fogalmazta meg 1925 -ben, miközben Peter Debye kérésére elmagyarázta de Broglie elképzeléseit a mikrorészecskék hullámtermészetéről a Zürichi Egyetem végzős hallgatóinak csoportja számára [2] . 1926 -ban jelent meg [3] .

Ennek az egyenletnek a felfedezéséért E. Schrödinger 1933 -ban fizikai Nobel-díjat kapott [4] .

Időfüggő egyenlet

A Schrödinger-egyenlet legáltalánosabb formája az időfüggést tartalmazó forma [5] [6] :

Időfüggő egyenlet (általános eset)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi ={\hat {H))(p,q)\Psi ,$

hol van a Hamilton , a koordináták és a momentum. $\kalap H$ $q$ ${\displaystyle p_{r}={\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial q_{r))))$

Példa egy nem relativisztikus Schrödinger-egyenletre egy potenciálmezőben mozgó pontszerű tömegrész koordinátaábrázolásában : $m$ $V(\vec{r} ,t)$

Példa egy időfüggő Schrödinger-egyenletre

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi ({\vec {r)),t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2)){2m }}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)\jobbra]\Psi ({\vec {r}},t).$

Ebben a példában a Hamilton-féle . $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)$

Néhány tulajdonság

A hullámfüggvénynek , amely a Schrödinger-egyenlet megoldása, és első deriváltjainak egyértékűnek és az egész térben folytonosnak kell lenniük. A deriváltak folytonossága fizikailag a fluxussűrűség folytonosságát jelenti [7] .

Ha a potenciális energia sehol sem fordul a végtelenbe, vagy egy ponthoz lassabban fordul, mint , hol a távolság ettől a ponttól, akkor a hullámfüggvénynek minden térben végesnek kell lennie [7] . $U$ $-\infty$ ${\displaystyle -{\frac {1}{r^{2))))$ $r$

A Schrödinger-egyenlettel leírható hullámcsomag mechanikai mennyiségeinek átlagos értékei kielégítik a klasszikus Hamilton-egyenleteket ( Ehrenfest tétele ) [8] .

A Schrödinger-egyenlet invariáns a galilei transzformációk alatt . Ebből a tényből számos fontos következmény következik: a galilei transzformációkhoz kapcsolódó számos kvantummechanikai operátor létezése; a tömegspektrumú állapotok vagy instabil elemi részecskék leírásának képtelensége a nemrelativisztikus kvantummechanikában ( Bargman tétele ); a Galilei-transzformáció által generált kvantummechanikai invariánsok létezése [9] .

A Schrödinger-egyenlet összetettebb, mint a klasszikus mechanika Hamilton-egyenlete. A Hamilton-egyenletek elsőrendű közönséges differenciálegyenletek rendszere , a Schrödinger-egyenlet pedig egy parciális differenciálegyenlet [10] .

A Schrödinger-egyenlet lineáris, vagyis ha a hullám funkcionál és kielégíti a Schrödinger-egyenletet, akkor ezek bármely lineáris kombinációja kielégíti azt , ahol és komplex számok [11] . Ennek eredményeként a hullámfüggvények lineáris szuperpozícióját a Schrödinger-egyenlet nem sérti, és mérési műveletre van szükség a hullámfüggvény csökkentésére. A Schrödinger-operátor linearitása a szuperpozíciós elv következménye és általánosítása , ami fontos a mérési művelet fogalmának helyes megfogalmazásához [12] . $\psi$ $\Phi$ $\alpha \Psi +\beta \Phi$ $\alpha$ $\beta$

Az összes, korlátozott térrégiót elfoglaló kvantumrendszerben a Schrödinger-egyenlet megoldásai csak egy megszámlálható energiaérték- készletre léteznek, és hullámfüggvények megszámlálható halmazát képviselik , amelyek tagjai kvantumszámokkal vannak megszámozva [7] [13 ] ] . A normál állapot (legkisebb energiájú) hullámfüggvénye nem tűnik el (nincs csomópontja) a térben sehol. A normál energiaszint nem fajulhat el. Oszcillációs tétel : egydimenziós mozgás esetén a -edik legnagyobb sajátértéknek megfelelő diszkrét spektrum hullámfüggvénye eltűnik (az x koordináta véges értékei esetén) [ 7] . $E_{{n}}$ $\Psi _{{n}}$ $n$ $\Psi _{0}$ $\Psi _{{n}}$ $(n+1)$ $E_{{n}}$ $n$

A Schrödinger-egyenlet a Hamilton-egyenletekhez hasonlóan időbeli elsőrendű egyenlet. A kvantummechanikában a statisztikai determinizmus elvének matematikai kifejeződése : egy rendszer adott állapota nem egyértelműen, hanem csak a hullámfüggvény segítségével meghatározott valószínűséggel határozza meg a következő állapotát . $\psi$

A Schrödinger-egyenlet az idő mindkét irányára szimmetrikus. Ez a szimmetria invarianciájában fejeződik ki, amikor az előjelet megváltoztatjuk , és a hullámfüggvényt egyidejűleg komplex konjugátummal helyettesítjük [14] . $t$ $\psi$ $\Psi ^{*}$

Ha és a Schrödinger-egyenlet két megoldása, akkor ezek skaláris szorzata nem változik az időben: . Ez következik a skaláris szorzat [15] deriváltjának nullával való egyenlőségéből : $\phi$ $\psi$ $(\mathbf {\phi},\mathbf {\psi})=\mathrm {const}$

{\frac {d}{dt))(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\psi } )=(\mathbf {\pont {\phi )) ,\mathbf {\psi } )+( \mathbf {\phi } ,\mathbf {\pont {\psi )) )=(\mathbf {i} {\hat {H))\phi ,\mathbf {\psi } )+(\mathbf {\phi } ,\mathbf {i} {\hat {H}}\psi )=i(\mathbf {\hat {H}} \phi ,\mathbf {\psi } )-i(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\hat {H}}\psi )=0

Alkalmazási korlátok

A Schrödinger-egyenlet nem magyarázza a spontán emissziót , mivel a gerjesztett állapot hullámfüggvénye az időfüggő Schrödinger-egyenlet pontos megoldása [16] [17] .

A Schrödinger-egyenlet nem írja le a mérési folyamatot a kvantummechanikában, mivel lineáris, determinisztikus és időben reverzibilis, míg a mérési folyamat nemlineáris, sztochasztikus és időben irreverzibilis [18] .

A Schrödinger-egyenlet nem írja le az elemi részecskék kölcsönös átalakulásának folyamatait . A részecskék kölcsönös átalakulásának folyamatait a relativisztikus kvantumtérelmélet írja le.

Megfogalmazás

Általános eset

A kvantumfizikában egy komplex értékű függvényt vezetnek be , amely leírja egy objektum tiszta állapotát, amelyet hullámfüggvénynek neveznek . A legelterjedtebb koppenhágai értelmezésben ez a függvény a tiszta állapotban lévő objektum megtalálásának valószínűségével függ össze (a hullámfüggvény modulusának négyzete a valószínűségi sűrűség ) [19] [20] . A Hamilton-rendszer tiszta állapotú viselkedését teljes mértékben leírja a hullámfüggvény. $\psi$

Miután felhagytunk a részecske mozgásának a dinamika törvényeiből nyert pályák segítségével történő leírásával, helyette a hullámfüggvényt határoztuk meg, figyelembe kell venni egy Newton-törvényekkel ekvivalens egyenletet, amely receptet ad különös tekintettel a fizikai problémákra . Ilyen egyenlet a Schrödinger-egyenlet. $\psi$

Legyen megadva a hullámfüggvény az n-dimenziós konfigurációs térben , akkor minden pontban egy adott időpontban koordinátákkal így fog kinézni . Ebben az esetben a Schrödinger-egyenlet a következőképpen lesz felírva: $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Psi \left({\vec {r)),t\right)$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\Delta }\Psi ({\vec {r)),t)+V({\vec {r)),t)\Psi ( {\vec {r)),t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi ({\vec {r)),t),\qquad (1)

ahol , Planck állandója ; a részecske tömege, a részecskén kívüli potenciális energia az adott időpontban , a Laplace - operátor (vagy Laplacian), ekvivalens a nabla operátor négyzetével, és az n-dimenziós koordináta-rendszerben a következő alakú : $\hbar = {h \több mint 2 \pi}$ $h$ $m$ $V({\vec {r)),t)$ $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Delta$

\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}.

A háromdimenziós tér esete

A háromdimenziós esetben a pszi-függvény három koordináta függvénye, a derékszögű koordináta-rendszerben pedig a kifejezés helyettesíti $\Delta \Psi$

\Delta \Psi ={{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {y} ^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}},

akkor a Schrödinger-egyenlet a következő alakot veszi fel:

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\left({{\partial }^{2}\Psi \over \partial {x}^{2}}+{{\partial }^ {2}\Psi \over \partial {y}^{2}}+{{\partial }^{2}\Psi \over \partial {z}^{2}}\right)+V(x,y ,z,t)\Psi =i\hbar {\partial \Psi \over \partial t},

ahol , Planck állandója ; a részecske tömege, a potenciális energia a t időpontban . $\hbar = {h \több mint 2 \pi}$ $h$ $m$ $V(x,y,z,t)$ $(x,y,z)$

Stacionárius Schrödinger-egyenlet

A Schrödinger-egyenlet alakja azt mutatja, hogy az idő szempontjából a megoldásának egyszerűnek kell lennie, mivel az idő csak a jobb oldalon lévő első deriválton keresztül lép be ebbe az egyenletbe. Valójában egy speciális megoldás arra az esetre, amikor ez nem az idő függvénye, így írható fel: $V$

\Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}}\,){e}^{-iEt/\hbar },\qquad (2)

ahol a függvénynek teljesítenie kell az egyenletet: $\psi ({\vec {r}}\,)$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\Delta \psi ({\vec {r)))+V({\vec {r)))\psi ({\vec {r} })=E\psi ({\vec {r))),\qquad (3)

amelyet az (1) Schrödinger egyenletből kapunk úgy, hogy a (2) fenti képletet behelyettesítjük abba . Vegye figyelembe, hogy ez az egyenlet egyáltalán nem tartalmazza az időt; ebből a szempontból stacionárius Schrödinger-egyenletnek (az időt nem tartalmazó Schrödinger -egyenletnek) nevezik . $\psi$

A (2) kifejezés az ( 1) időfüggő Schrödinger-egyenletnek csak egy speciális megoldása , az általános megoldás a (2) alakú összes partikuláris megoldás lineáris kombinációja . A függvény időfüggősége egyszerű, de a koordinátától való függésének nem mindig van elemi alakja, mivel a (3) egyenlet a potenciálfüggvény alakjának egy megválasztásával teljesen különbözik attól az egyenlettől, amely egy másik választási lehetőséggel rendelkezik. ezt a funkciót. Valójában a (3) egyenlet csak a függvény bizonyos típusaira oldható meg analitikusan . $\Psi ({\vec {r)),t)$ $V({\vec {r)))$ $V({\vec {r)))$

A Schrödinger-egyenlet invariáns formában

Legyen egy dinamikus rendszer klasszikus kinetikus energiája a következő formában . A mennyiségek egy metrikus tenzor összetevőinek tekinthetők a mérési térben. A derékszögű derékszögű koordinátákban ezek csak a részecsketömegek, és a reciprok tömegek. $T=\sum _{j,j}^{n}a_{ij}{\pont {q}}_{i}{\pont {q}}_{j}$ $a_{{ij}}$ $n$ $a_{{ij}}$ $a^{ij}$

A Schrödinger-egyenlet invariáns formában a következőképpen alakul:

$\sum _{k,j}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{\sqrt {a}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}} }\left({\sqrt {a}}a^{kj}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}}\right)+V\right]\Psi +{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=0$

Itt van a mátrix meghatározója . $a$ $a_{{ij}}$

A Schrödinger-egyenlet megoldási módszerei

Analitikai módszer. A megoldást egzakt matematikai kifejezés formájában keresik. Ez a módszer csak néhány egyszerű esetben alkalmazható (egyelektronos atomok, lineáris oszcillátor, végtelenül magas falú potenciálkút stb.) [22] .

Perturbációs módszer . A Hamilton-operátort két tag összegének tekintjük. Az egyiket zavartalan operátornak tekintik, pontos analitikai megoldással. A másik kifejezést egy kis zavaró kiegészítésnek tekintik. Stacionárius perturbáció esetén a megoldás abban áll, hogy a sajátértékeket és a sajátfüggvényeket egy kis perturbációs állandó hatványaiban sorba terjesztjük, és közelítő megoldást találunk a kapott egyenletrendszerre [23] . Nem stacionárius perturbáció esetén a hullámfüggvényt sajáthullámfüggvények lineáris kombinációjának formájában keressük időfüggő együtthatókkal [24] .
A Ritz módszer . A stacionárius Schrödinger-egyenlet megoldására szolgál. A rendszer átlagos összenergiájának szélső értékeit bizonyos tesztfunkciók paramétereinek változtatásával határozzuk meg [25] .
Hartree-Fock módszer .
WKB módszer .

Áttérés a klasszikus mechanikára

A Schrödinger-egyenlet, amely leírja egy mikroobjektum mozgását egy potenciálmezőben : $U({\vec {r)))$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +U({ \vec {r)))\psi

Egy mikrorészecske hullámfüggvénye at ábrázolható így . Az azonosságok miatt a Schrödinger-egyenlet ebben az esetben a következő formában is felírható: . $\hbar \rightarrow 0$ ${\displaystyle \psi ({\vec {r)),t)=Ae^({\frac {i}{\hbar }}S({\vec {r}},t)))$ $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\partial S}{\partial t))\psi$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2} -{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S\right]\psi$ ${\frac {\partial S}{\partial t))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))-{ \frac {i\hbar }{2m}}\Delta S=0$

Ebben az esetben ez az egyenlet lesz a klasszikus mechanika Hamilton-Jacobi egyenlete : $\hbar \rightarrow 0$

{\frac {\partial S}{\partial t))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))=0

A Schrödinger-egyenletről a Hamilton-Jacobi egyenletre való határátmenet megléte okot ad arra, hogy Newton mechanikáját egy általánosabb kvantummechanika korlátozó esetének tekintsük, amely alkalmas mind mikroszkopikus, mind makroszkopikus objektumok leírására ( a megfelelési elv ).

Analógiák és összefüggések más egyenletekkel

Maxwell -egyenletek az elektromágneses hullámokra üres térben

\left\{{\begin{aligned}-c\cdot \operatorname {rot} E&={\frac {\partial H}{\partial t)),\\c\cdot \operatorname {rot} H& ={\frac {\partial E}{\partial t}}\end{aligned}}\right.

egyetlen egyenletté alakítható egy új komplex mennyiség bevezetésével , hasonlóan a Schrödinger-egyenlet hullámfüggvényéhez $\Psi =E+iH$

i{\frac {\partial \Psi }{\partial t))=c\cdot \operátornév {rot} \Psi ,

hasonlóan a Schrödinger-egyenlethez [27] .

A Schrödinger-egyenlet abban hasonlít a klasszikus fizika hővezetési és diffúziós egyenleteire, hogy időben elsőrendű egyenlet, és eltér azoktól egy képzeletbeli együttható jelenlétében . Ennek köszönhetően időszakos megoldásai is lehetnek [28] . ${\frac {\partial \Psi }{\partial t))$

Schrödinger egyenlete levezethető a legkisebb cselekvés elvéből, ha Euler-egyenletként kezeljük

{\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum _{{k=0}}^{{3}}{\frac {\partial }{\partial x_{{k}}}} {\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{{k))))\right)))=0

néhány variációs probléma, amelyben a Lagrange sűrűsége a következő formában van : [29] [30] :

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi ={\ frac {i\hbar }{2}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\ részleges t}}\psi \jobbra)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla \psi ^{*}\cdot \nabla \psi )-U(r,t)\psi ^{*}\psi

A Dirac -egyenlet Schrödinger-egyenletként írható fel:

i\hbar {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}=mc^{2}\psi _{1}+c({\hat {p_{x}}} -i{\hat {p_{y}}}})\psi _{4}+c{\hat {p_{z}}}\psi _{3}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial t}}=mc^{2}\psi _{2}+c({\hat {p_{x}}} +i{\hat {p_{y}}}})\psi _{3}-c{\hat {p_{z}}}\psi _{4}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{3}}{\partial t}}=-mc^{2}\psi _{3}+c({\hat {p_{x}} }-i{\hat {p_{y}}}})\psi _{2}+c{\hat {p_{z}}}\psi _{1}

i\hbar {\frac {\partial \psi _{4}}{\partial t}}=-mc^{2}\psi _{4}+c({\hat {p_{x}} }+i{\hat {p_{y}}}})\psi _{1}-c{\hat {p_{z}}}\psi _{2}

Itt: , , ${\hat {p_{x))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat {p_{y))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y))$ ${\hat {p_{z))}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z))$

Egyes esetekben a stacionárius Schrödinger-egyenlet WKB-módszerrel történő megoldása az alakban kereshető , és a művelet kielégíti a Hamilton-Jacobi egyenletet . A függvényt a : paraméter hatványainak sorozatává bővítve a nulladik közelítésben megkapjuk a stacionárius Hamilton-Jacobi egyenletet, a következő közelítésekben pedig különböző rendű korrekciókat [31] . ${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}S(r))))$ $S$ ${\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S+V(r)=E$ $S$ $i\hbar$ $S=S^{0}+i\hbar S'+...$ ${\displaystyle S^{0))$

Irányadó gondolatok

Hullámegyenlet de Broglie hullámokhoz

A Schrödinger-egyenletet úgy kaphatjuk meg, hogy a hullámegyenletet általánosítjuk a De Broglie-hullámok esetére : [32]

$\Delta \varphi ={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}$

ahol a Laplace operátor , a hullámfüggvény , amely egy de Broglie hullám tulajdonságaival rendelkezik, az idő, a térbeli koordináta, a fázissebesség . $\Delta$ $\varphi =\varphi ({\vec {r)),t)$ $t$ ${\vec {r))$ $v$

Ha a hullámfüggvény monokromatikus, akkor ennek az egyenletnek a megoldása a következőképpen ábrázolható

$\varphi ({\vec {r)),t)=e^{-i\omega t}\Psi ({\vec {r)))$

hol a körfrekvencia . $\omega$

A hullámfüggvény térbeli részének egyenlete : $\psi ({\vec {r)))$

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Használjuk a hullámhossz kifejezést:

$\lambda ={\frac {2\pi v}{\omega }}$

A hullámfüggvény térbeli részének egyenlete a következőképpen alakul:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Figyelembe véve a de Broglie hullámhossz kifejezését :

$\lambda ={\frac {2\pi \hbar }{p))$

és az energia megmaradás törvénye :

${\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})=E$

ahol a részecske lendülete , a Planck -állandó , a részecske tömege, a részecske potenciális energiája, a részecske összenergiája. $p$ $\hbar$ $m$ $V({\vec {r)))$ $E$

Kapunk:

${\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r}} ))$

Ennek eredményeként megkapjuk a stacionárius Schrödinger-egyenletet:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r))))\Psi ({\vec {r}})=0$

A nem stacionárius Schrödinger-egyenletre való áttéréshez a stacionárius Schrödinger-egyenletet a következő formában ábrázoljuk:

$E\Psi (t)+({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta -V)\Psi (t)=0$

ahol . $\Psi (t)=\Psi e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}$

Az egyenlőség segítségével

$-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \Psi (t)}{\partial t}}=E\Psi (t)$

elérkezünk a nem stacionárius Schrödinger egyenlethez:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec {r},t)\jobbra ] \Psi(\vec{r},t)$

Time shift operátor

A kvantummechanikában a hullámfüggvény időderiváltja időeltolási operátorként fogható fel. A klasszikus mechanikával, valamint az energia és az idő kapcsolatával analógiával feltételezhetjük, hogy szerepét mindig a Hamilton -féle játssza . Ebből azonnal következik a Schrödinger-egyenlet [33] [34] .

A klasszikus mechanika és a geometriai optika megfelelése

A Schrödinger-egyenlet a klasszikus mechanika és a geometriai optika megfeleltetése alapján adódik. Az anyagi pont, a pálya, a sebesség, a potenciális energia, az energia, a Maupertuis-féle variációs elv fogalmai a klasszikus mechanikában megfelelnek a hullámcsomag, nyaláb, csoportsebesség, fázissebesség (törésmutató), frekvencia, Fermat variációs elv fogalmának a geometriában. optika [35] .

Maupertuis variációs elve a klasszikus mechanikában

\int {\sqrt {EV}}ds=\min \qquad

(egy)

megfelel a Fermat-féle variációs elvnek az optikában

\int {\frac {ds}{v}}=\min .\qquad

(2)

Itt a teljes energia, a potenciális energia és a fázissebesség. Egy pálya a klasszikus mechanikában megfelel egy fénysugárnak az optikában, ha $E$ $V$ $v$

{\frac {1}{v(\omega ,x)}}=f(\omega ){\sqrt {E(\omega )-V(x))).\qquad

(3)

A hullámcsomagot úgy ábrázolhatjuk, mint

{\displaystyle \sum _{\omega }a_{\omega }\cos {2\pi \omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)))

A csomagmaximumhoz az egyenlőség

{\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)\right\}=0

Ebből az egyenlőségből az következik, hogy . A klasszikus mechanikában ez az egyenlőségnek felel meg . Ebből a két kifejezésből a csoportsebesség képletét kapjuk [36] : $t=x{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)$ $t=\frac{x}{V_{g}}$

V_{g}=\left[{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)\right]^{-1}.\ qquad

(négy)

Ekkor az anyagi pont sebessége és a hullámcsomag csoportsebessége egyenlőségének feltétele a következőképpen írható fel [37] :

{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E(\omega )-V(x)}}}.\qquad

(5)

Innen a (3) használatával a következőket kapjuk:

{\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {EV}}}={\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega f(\omega ){\sqrt {EV}}\right\}={\frac {d(\omega f(\omega ))}{d\omega }}{\sqrt {EV}}+{\frac { \omega f(\omega )}{2{\sqrt {EV)))){\frac {dE}{d\omega )).

Ha összehasonlítjuk az együtthatókat azonos hatványokon , azt találjuk $\sqrt{EV}$

{\frac {d}{d\omega }}(\omega f(\omega ))=0,\qquad {\sqrt {\frac {m}{2}}}={\frac {\omega f(\omega )}{2}}{\frac {dE}{d\omega }}.

Közülük az első megadja , majd a második azt jelenti , hogy , , . A hullám fázissebessége a frekvenciától függ : $\omega f(\omega )=\mathrm {const}$ $\frac{dE}{d\omega} = konst$ $E=\hbar \omega$ $f(\omega)=\frac{\sqrt{2m)){\hbar \omega}$ $v$ $\omega$

v={\frac {\hbar \omega }{\sqrt {2m))}{\frac {1}{\sqrt {\hbar \omega -V))}.\qquad

(6)

Egy monokromatikus hullám fázissebességgel kielégíti az egyenletet $v$

\nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}= 0.\qquad

(7)

Ennek az egyenletnek egy speciális megoldása a következő:

\Psi =ue^{-i\omega t}=ue^{-{\frac {i}{\hbar }}Et},\qquad

(nyolc)

hol van a hullám frekvenciája. A (8) megoldást a (7) egyenletbe behelyettesítve a következőt kapjuk: $\omega$

\nabla ^{2}u+{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}u=0.\qquad

(9)

A (6)-ot (9) behelyettesítve a következőket kapjuk:

\nabla ^{2}u+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(\hbar \omega -V)u=0.\qquad

(tíz)

A (8) egyenletből a következőket kapjuk:

\omega u=-{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t)).\qquad

(tizenegy)

A (11)-et (10) behelyettesítve megkapjuk a (12) [38] időfüggő Schrödinger egyenletet :

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\ jobbra]\Psi .\qquad

(12)

Általánosítások

Schrödinger-egyenlet elektromágneses térben

Egy nem relativisztikus spin nélküli részecske elektromágneses térben , amelyet a potenciálok határoznak meg, és leírja a Schrödinger-egyenletet egy mágneses térben (az elektromos tér potenciálja skaláris, és közönséges kifejezésként lép be ): $\varphi$ $\mathbf {A}$ $V$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi =\left[{\frac {1}{2m))({\hat {\mathbf {p} ))-{\ frac {e}{c}}\mathbf {A} )^{2}+e\varphi \right]\Psi .

Itt van a momentum operátor . Ez az egyenlet a Gauss-féle mértékegységrendszerben van felírva . Az SI rendszerben az at együttható egyenlő nem , hanem . ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$ $\mathbf {A}$ ${\frac {e}{c))$ $e$

Nemlineáris Schrödinger-egyenlet

A nemlineáris Schrödinger-egyenlet a következőképpen alakul:

i{\frac {\partial u}{\partial t))+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+\nu |u|^{2 }u=0,

ahol egy komplex értékű függvény . $u(x, t)$

Nemlineáris kvantummechanikai jelenségek leírására használják.

Kvantumtérelmélet

A kvantumtérelméletben az elemi részecskék megsemmisítésével és létrehozásával járó relativisztikus folyamatok tanulmányozásakor ismert a Schrödinger-egyenlet variációs deriváltokban való általánosítása:

i{\frac {\delta \Phi (g)}{\delta g(x)))=H(x;g)\Phi (g).

Itt az állapot amplitúdója , a kölcsönhatás intenzitása, az általánosított Hamilton-függvény sűrűsége és a szórási mátrix [39] . $\Phi (g)$ $g$ $H(x,g)=i{\frac {\delta S(g)}{\delta g(x)))S^{+}(g)$ $S(g)$

Ez az egyenlet átírható a Schwinger-Tomonaga funkcionális differenciálegyenlet formájában :

i{\frac {\delta \Phi (\sigma )}{\delta \sigma (x)))=H(x,\sigma )\Phi (\sigma ),

hol van egy térszerű felület a Minkowski-térben [40] . $\sigma (x)$

Lásd még

hullámfüggvény
Egydimenziós stacionárius Schrödinger-egyenlet
Dirac egyenlet
Pauli egyenlet
Lindblad egyenlet
Von Neumann egyenlet
Heisenberg egyenlet
Jost funkciók
Schrödinger csoport
Schwinger-Tomonaga egyenlet
Schrödinger operátor
Nemlineáris Schrödinger-egyenlet
A kétdimenziós Schrödinger-egyenlet szórási transzformációjának jellemzői

Jegyzetek

↑ Prigozhin, 2006 , p. 74.
↑ Kapitsa P. L. A modern fiatalok kreatív nevelésének és oktatásának néhány elve // Kísérlet, elmélet, gyakorlat. - M., Nauka, 1981. - p. 257.
↑ Kuznyecov B. G. A kvantummechanika alapötlete // otv. szerk. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Esszék az alapvető fizikai ötletek fejlesztéséről. - M., Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1959. - S. 390-421;
↑ Fizikai Nobel-díj 1933 Erwin Schrödinger . Letöltve: 2019. október 26. Az eredetiből archiválva : 2020. július 18. (határozatlan)
↑ Shankar, R. A kvantummechanika alapelvei (neopr.) . — 2. - Springer Science + Business Media / Springer Science + Business Media , 1994. - P. 143. - ISBN 978-0-306-44790-7 .
↑ Mott, 1966 , p. 52.
↑ 1 2 3 4 Landau L. D. , Livshits E. M. Kvantummechanika. - M., Nauka, 1972. - p. 78-82
↑ Pauli, 1947 , p. 47.
↑ Kaempfer, 1967 , p. 390.
↑ Shirokov, 1972 , p. 24.
↑ Penrose, 2003 , p. 234.
↑ Pauli, 1947 , p. 43.
↑ Shirkov, 1980 , p. 464.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Kvantummechanika. - M., Nauka, 1972. - p. 83
↑ G. Lyubarsky, Csoportelmélet és fizika. - M., Nauka, 1986. - p. 123
↑ Wigner, 1961 , p. 67.
↑ Migdal, 1966 , p. 49.
↑ Wigner, 2002 , p. 145.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - 6. kiadás, átdolgozott. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 800 s. - ("Elméleti fizika", III. kötet). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ V. A. Fok. A kvantummechanika kezdetei. - L .: Kubuch, 1932; 2. kiadás — M.: Nauka, 1976.
↑ Mott N. , Sneddon I. Hullámmechanika és alkalmazásai. - M., Nauka, 1966. - p. 77-78
↑ Fermi, 1968 , p. 28.
↑ Fermi, 1968 , p. 191.
↑ Fermi, 1968 , p. 211.
↑ Gribov, 1999 , p. 234.
↑ Zhirnov N. I. Klasszikus mechanika. — Sorozat: tankönyv pedagógiai intézetek fizika és matematika karának hallgatói számára. - M., Felvilágosodás , 1980. - Példányszám 28 000 példány. - Val vel. 212-213
↑ Mott, 1966 , p. 21.
↑ Blokhintsev, 1963 , p. 115.
↑ Kushnirenko, 1971 , p. 38.
↑ J. Ziman Modern kvantumelmélet. - M., Mir, 1971. - p. harminc
↑ Grechko L. G., Sugakov V. I., Tomasevich O. F. Az elméleti fizika problémáinak gyűjteménye. - M., Felsőiskola, 1972. - p. 58
↑ Sokolov A. A. , Ternov I. M. Kvantummechanika és atomfizika. - M., Nevelés, 1970. - 39-40, 52
↑ P. A. M. Dirac A kvantummechanika alapelvei. - M., Nauka, 1960. - p. 148-152
↑ Kuznyecov B. G. A kvantummechanika alapötlete // otv. szerk. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Esszék az alapvető fizikai ötletek fejlesztéséről. - M., Szovjetunió Tudományos Akadémia , 1959. - Példányszám: 5000 példány. - Val vel. 403, 411, 412;
↑ Fermi, 1968 , p. tizenöt.
↑ Fermi, 1968 , p. 17.
↑ Fermi, 1968 , p. 19.
↑ Fermi, 1968 , p. 21.
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. - M., GITTL, 1957. - p. 396-397
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. - M., GITTL, 1957. - p. 399-401

Linkek

Egy elektron gömbszimmetrikus állapotai hidrogénatomban

Irodalom

Schrödinger E. Válogatott művek a kvantummechanikáról. Moszkva: Nauka, 1976.
Berezin F. A., Shubin M. A. A Schrödinger-egyenlet.- M. : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója.- 1983.- 392 p.
Kaempfer F. A kvantummechanika alapjai. — M .: Mir, 1967. — 391 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - 6. kiadás, átdolgozott. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Fock V. A. A kvantummechanika alapelvei . - L .: Kubuch, 1932; 2. kiadás — M.: Nauka, 1976.
Pauli V. A hullámmechanika általános elvei. - M. : OGIZ, 1947. - 330 p.
Prigogine Ilja . A létezőtől a kialakulóig: idő és összetettség a fizikai tudományokban. - M . : KomKniga, 2006. - 296 p. — ISBN 5-484-00313-X .
Penrose Roger . " A király új elméje ": A számítógépekről, a gondolkodásról és a fizika törvényeiről. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 384 p. — ISBN 5-354-00005-X .
Kushnirenko AN Bevezetés a kvantumtérelméletbe. - M . : Felsőiskola, 1971. - 304 p.
Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Nukleáris fizika. - M. : Nauka, 1972. - 670 p.
Mott N. , Sneddon I. Hullámmechanika és alkalmazásai. - M. : Nauka, 1966. - 428 p.
Blokhintsev D. I. A kvantummechanika alapjai. — M .: Nauka, 1963. — 619 p.
szerk. Shirkov DV A mikrokozmosz fizikája. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1980. - 528 p.
Wigner E. Csoportelmélet. - M. : IL, 1961. - 444 p.
Migdal A. B. , Krainov, V. P. A kvantummechanika közelítő módszerei. — M .: Nauka, 1966. — 152 p.
Fermi E. Kvantummechanika. — M .: Mir, 1968. — 367 p.
Wigner Eugen Paul . Invariancia és megmaradási törvények. Tanulmányok a szimmetriáról. - M. : Szerkesztői URSS, 2002. - 320 p. — ISBN 5-354-00191-9 .
Gribov L. A., Mushtakova S. P. kvantumkémia. - M . : Gardariki, 1999. - 390 p. - ISBN 5-8297-0017-4 .

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119702345 GND : 4053332-3 J9U : 987007560881205171 LCCN : sh85118495 NKC : ph195849