A Schrödinger operátor a következő forma differenciális operátora :
.Ez egy elliptikus szinguláris határérték probléma operátora . A Schrödinger-operátorok matematikai elméletét a kvantummechanika [1] , a differenciálgeometria ( a Gauss-Bonnet-tétel bizonyítása [2] ), a topológia (a Morse-elméletben a Morse-egyenlőtlenség bizonyításakor [3] ) alkalmazza. Számos általánosítást tesz lehetővé [4] . Bizonyos feltételek mellett a potenciálokon és önadjungált operátor , mindenütt sűrű definíciós tartománnyal a négyzetbe integrálható függvények terén [5] [6] . Ez a tulajdonság ekvivalens a nem stacionárius Schrödinger-egyenlet [6] egyedi megoldhatóságával . Nagyon fontos a kvantummechanika alapjai szempontjából, mivel csak az önadjungált operátorok írják le a kvantummechanikai megfigyeléseket. A kvantummechanikában a Schrödinger-operátor egy töltött részecskék rendszerének energetikai operátora a koordinátaábrázolásban. Egy részecske viselkedésének hozzávetőleges leírásában egy külső mezőben vagy két kölcsönható részecskéből álló rendszerben a Schrödinger-operátor a négyzetbe integrálható függvények terében van definiálva, és a következő formában van: , ahol egy háromdimenziós térvektor [ 1] .
Az egydimenziós Schrödinger operátor alakja:
,ahol egy egydimenziós térvektor. Egy végtelenül növekvő potenciál esetén a spektruma diszkrét, egyszeres. Harmonikus oszcillátor esetén - . A sajátértékek és a sajátfüggvények , ahol , Hermite - polinomok .
A Schrödinger-operátor számára egy sima véges függvényeken definiált részecskék rendszeréhez:
,Az alapvető önilleszkedés elégséges feltételei a következő feltételek:
, ,és a következő feltételekkel:
, .A Schrödinger-operátor zárásának definíciós tartománya ebben az esetben egybeesik az operátor zárásának definíciós tartományával [5] .