Perturbáció elmélet

A perturbációelmélet az elméleti fizika problémáinak közelítő megoldására szolgáló módszer, amely abban az esetben alkalmazható, ha a feladat kis paramétert tartalmaz , és ha ezt a paramétert figyelmen kívül hagyjuk, a feladatnak van pontos megoldása.

A perturbációs elmélet által kiszámított fizikai mennyiségek sorozat alakúak

A=A^{{(0)}}+\varepsilon A^{{(1)}}+\varepsilon ^{2}A^{{(2)}}+...

hol van a zavartalan probléma megoldása és egy kis paraméter. Az együtthatókat egymást követő közelítésekkel találjuk meg, vagyis a -n keresztül fejezzük ki . Alkalmazható az égi mechanikára , a kvantummechanikára , a kvantumtérelméletre stb. $A^{{(0)}}$ $\varepsilon$ $A^{{(n)}}$ $A^{{(n)}}$ $A^{{(0)}},...,A^{{(n-1)}}$

Az égi mechanikában

Történelmileg az első tudományág, amelyben a perturbációelméletet kidolgozták, az égi mechanika volt. A Naprendszer bolygóinak mozgásának megtalálásának problémája a testek problémája, amely $N$ a két test problémájával ellentétben nem rendelkezik pontos analitikai megoldással. Megoldását viszont megkönnyíti, hogy a bolygók kis tömege miatt a bolygók egymáshoz való vonzódása sokkal gyengébb, mint a Naphoz való vonzódásuk. A bolygók tömegét figyelmen kívül hagyva a probléma független kéttestes problémákra redukálódik, amelyek pontosan megoldódnak; minden bolygó a Nap gravitációs mezejében elliptikus pályán mozog a Kepler-törvények szerint . Ez a megoldás a zavartalan problémára , vagyis a nulladik közelítésre . Más bolygók erői eltorzítják vagy megzavarják ezeket az elliptikus pályákat. A következő módszerrel számítjuk ki a bolygó pályáját, figyelembe véve a perturbációkat. $N-1$

A bolygó térbeli helyzete és sebessége hat mennyiséggel állítható be (a szabadságfokok számával ): a félnagytengely és a pálya excentricitása , keringésének dőlése az ekliptika síkjához, hosszúság . a felszálló csomópont , a periapszis argumentum és a perihéliumon való áthaladás pillanata. Ezek a mennyiségek (az egyszerűség kedvéért jelöljük őket ) kedvezően hasonlítanak össze a derékszögű koordinátákkal és sebességkomponensekkel, mivel állandóak a zavartalan mozgáshoz: $a_{i}$

a_{i}(t)=a_{i}^{{(0)}}={{\rm {const}}},

ezért a bolygó mozgásegyenletei ezek alapján felírva egy kis paramétert tartalmaznak a jobb oldalon:

{\frac {da_{i}}{dt}}=\varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)\qquad \qquad (*)

Ennek fényében célszerű a mozgásegyenleteket az egymást követő közelítések módszerével megoldani. Az első közelítésben behelyettesítjük a zavartalan egyenlet megoldásának jobb oldalára, és megkapjuk:

a_{i}(t)=a_{i}^{{(0)}}+\varepszilon a_{i}^{{(1)}}(t)=a_{i}^{{(0)} }+\varepsilon \int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{{(0)}},\tau )d\tau .

A második közelítéshez a talált megoldást behelyettesítjük a jobb oldalra (*) és megoldjuk a kapott egyenleteket stb.

A kvantummechanikában

A perturbációelméletet a kvantummechanikában akkor alkalmazzuk, ha a rendszer Hamilton -rendszere a következő formában ábrázolható

H=H^{{(0)}}+V

hol van a zavartalan Hamilton-féle (ráadásul a megfelelő Schrödinger-egyenlet megoldása pontosan ismert), és egy kis összeadás ( perturbáció ). $H^{{(0)}}$ $V$

Stacionárius perturbáció elmélet

A feladat a Hamilton-féle ( stacionárius állapotok ) sajátfüggvényeinek és a megfelelő energiaszinteknek a megtalálása. Megoldásokat keresünk a Schrödinger-egyenletre a rendszerünkhöz

H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle \qquad \qquad (**)

sorozatbővítés formájában

\psi _{n}=\psi _{n}^{{(0)}}+\psi _{n}^{{(1)}}+\psi _{n}^{{(2)} }+...

E_{n}=E_{n}^{{(0)}}+E_{n}^{{(1)}}+E_{n}^{{(2)}}+...\qquad \ qquad (***)

hol és vannak a zavartalan probléma hullámfüggvényei és energiaszintjei $\psi _{n}^{{(0)}}$ $E_{n}^{{(0)}}$

H^{{(0)}}|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle =E_{n}^{{(0)}}|\psi _{n}^{{( 0)}}\rangle ,

a szám pedig az energiaszinteket sorolja fel. $n$

Ha (***)-t (**)-ra behelyettesítjük, a perturbáció első rendjéig, megkapjuk

(V-E_{n}^{{(1)}})|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle =(E_{n}^{{(0)}}-H^ {{(0)}})|\psi _{n}^{{(1)}}\rangle

Balról megszorozva -val , és figyelembe véve, hogy a zavartalan Hamilton-féle ( ortonormális ) sajátfüggvényei, megkapjuk $\psi _{m}^{{(0)}}$ $\psi _{m}^{{(0)}}$

E_{n}^{{(1)}}=V_{{nn}}

\psi _{n}^{{(1)}}=\sum _{{m\neq n}}{\frac {V_{{mn}}}{E_{n}^{{(0))) -E_{m}^{{(0)}}}}\psi _{m}^{{(0)}},

hol vannak a perturbáció mátrixelemei. $V_{{mn}}\equiv \langle \psi _{m}^{{(0)}}|V|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle$

A fenti eljárás akkor működik, ha a zavartalan szint nem degenerált . Ellenkező esetben az elsőrendű korrekciók megtalálásához meg kell oldani a szekuláris egyenletet . $E_{n}^{{(0)}}$

A következő sorrendek korrekcióit hasonló módon találjuk meg, bár a képletek sokkal bonyolultabbá válnak.

Nem stacionárius perturbációs elmélet

A kvantumtérelméletben

A kvantumtérelméletben, különösen a kvantumelektrodinamikában (QED) a számítások többsége szintén a perturbációelmélet szempontjából történik. A zavartalan megoldás a szabad terek , a kis paraméter pedig a kölcsönhatási állandó (az elektrodinamikában a finomszerkezeti állandó ). A Feynman-diagramok a perturbációelméleti sorozat feltételeinek vizuális megjelenítésére szolgálnak . $\alpha = 1/137$

Manapság a QED számos számítása nem korlátozódik a perturbációelmélet első vagy második rendjére. Tehát egy elektron anomális mágneses momentuma jelenleg (2015) az 5. rendig számítva az [1] szerint . $\alpha$

Van azonban egy tétel, amely szerint a QED perturbációs sorozata nem konvergens, hanem csak aszimptotikus . Ez azt jelenti, hogy a perturbációelmélet egy bizonyos (a gyakorlatban nagyon nagy) sorrendjéből kiindulva a közelítő és az egzakt megoldás közötti egyezés már nem javul, hanem romlik [2] .

Példák a perturbációelmélet alkalmatlanságára

A látszólagos univerzalitás ellenére a perturbációelméleti módszer nem működik a problémák egy bizonyos osztályában. Ilyenek például a pillanatnyi effektusok a kvantummechanika és a kvantumtérelmélet számos problémájában. Az instanton járulékok lényeges szingularitásokkal rendelkeznek a tágulási ponton. Az azonnali hozzájárulás tipikus példája a következő:

T_{{inst}}=A\exp(-1/g)

, ahol egy kis paraméter.

g

Ez a függvény a ponton nem analitikus , ezért nem bővíthető ki a Maclaurin sorozatban . $g = 0$ $g$

Jegyzetek

↑ E. de Rafael. Az Electron és Muon g-Factors frissítése // [https://web.archive.org/web/20220120021627/http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 Archivált 2022. január 20-án a Wayback Machine arXiv-nél: 1210.4705 [hep-ph]]
↑ Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Kvantumelektrodinamika. - M . : Nauka, 1981. - S. 210-212.

Irodalom

Fizikai enciklopédia / A.M. Prohorov (főszerkesztő). - M . : Nagy orosz enciklopédia, 1988-99.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 .
Messiás A. Kvantummechanika: Per. fr. - V.2, 1979. - 584 p.
J. Zinn-Justin és UD Jentschura. Multi-instantonok és pontos eredmények I: sejtések, WKB-bővítések és azonnali kölcsönhatások // Ann. Phys. - 2004. - 20. évf. 313. - P. 197-267.
J. Zinn-Justin és UD Jentschura. Multi-Instantonok és pontos eredmények II: Speciális esetek, magasabb rendű hatások és numerikus számítások // Ann. Phys. - 2004. - 20. évf. 313. - P. 269-325.
Dzhakalya G. E. O. Perturbációelméleti módszerek nemlineáris rendszerekre. - M., Nauka, 1979. - 320 p.