Szabadságfokok (mechanika)

A szabadságfokok a mechanikában az elmozdulás és/vagy forgás független koordinátáinak halmaza , amely teljes mértékben meghatározza egy rendszer vagy test helyzetét (és időbeli deriváltjaikkal - a megfelelő sebességekkel - teljes mértékben meghatározza egy mechanikai rendszer vagy test állapotát , vagyis helyzetük és mozgásuk).

Ezt az alapvető fogalmat használják az elméleti mechanikában , a mechanizmusok és gépek elméletében , a gépészetben , a repülésben és a repülőgép-elméletben, a robotikában .

A közönséges derékszögű vagy más típusú koordinátákkal ellentétben az ilyen koordinátákat általában általánosított koordinátáknak nevezik ( a derékszögű , poláris vagy más specifikus koordináták tehát az általánosított koordináták speciális esetei). Valójában a minimális számkészletről beszélünk, amely teljesen meghatározza ennek a rendszernek az aktuális pozícióját (konfigurációját).

Az a követelmény, hogy ez a halmaz minimális vagy független legyen a koordinátáktól, azt jelenti, hogy egy olyan koordinátahalmazt kell érteni, amely a rendszer helyzetének leírásához szükséges csak lehetséges mozgásokkal (például ha egy matematikai ingát vesszük figyelembe , akkor a hossza azt jelenti, hogy nem változhat, és így a terhelés és a felfüggesztési pont távolságát jellemző koordináta nem a szabadságfoka, mivel nem változhat - vagyis egy matematikai inga térbeli szabadságfokainak száma 2, és ugyanaz az inga, amely csak egy síkban mozoghat, 1. Az inga függőlegestől való eltérési szögeinek felelnek meg) .

Abban az esetben, ha egy rendszert korlátokkal (pontosabban megszorításokkal ) veszünk figyelembe , a mechanikai rendszer szabadságfokainak száma kisebb, mint a rendszer összes anyagi pontjának derékszögű koordinátáinak száma, nevezetesen:

n=3N-n_{{link}},

hol van a szabadságfokok száma,

n

N

a rendszer anyagi pontjainak száma,

n_{\text{link}}

- a birtokló kötvények száma, a redundánsok kivételével [Comm. 1] .

A szabadsági fokok száma nemcsak a valós rendszer természetétől függ, hanem attól is, hogy milyen modellen (közelítésen) belül vizsgálják a rendszert. Még a klasszikus mechanika közelítésében is (amelyben ezt a cikket általában írják), ha megtagadjuk a problémát leegyszerűsítő további közelítések alkalmazását, bármely makroszkopikus rendszer szabadságfokainak száma hatalmasnak bizonyul. Mivel a kötések nem abszolút merevek (vagyis csak egy bizonyos közelítés keretein belül tekinthetők kötésnek), egy mechanikai rendszer valós szabadságfokainak száma legalább háromszoros számként becsülhető. az atomok (és a kontinuum közelítésben, mint végtelen). A gyakorlatban azonban olyan közelítéseket alkalmaznak, amelyek lehetővé teszik a probléma radikális egyszerűsítését és a szabadságfokok számának csökkentését egy rendszer figyelembevételekor, ezért a gyakorlati számításokban a szabadsági fokok száma véges, általában meglehetősen kicsi. szám.

Így az abszolút merev testközelítés , amely a test minden anyagi pontpárjára érvényes merev kapcsolat példája, egy merev test szabadságfokainak számát 6-ra csökkenti. Az ebben a közelítésben figyelembe vett testek így kis számú szabadságfokkal rendelkeznek, sőt valószínűleg további (a csuklópántoknak megfelelő) kényszerek miatt csökkennek [Comm. 2] .

A mechanizmusok szabadsági fokainak száma lehet állandó és változó is [1] .

Példák

Egy háromdimenziós térben mozgó merev testnek legfeljebb hat szabadsági foka lehet: három transzlációs és három forgási fokozat.
Az autó, ha merev karosszériának tekintjük, egy sík mentén, pontosabban egy bizonyos kétdimenziós felület mentén mozog (kétdimenziós térben). Két szabadságfoka van (egy forgási és egy transzlációs).
A vonat kénytelen a pályán haladni, ezért csak egy szabadságfoka van.

Szabadságfokok a magasabb dimenziós térben

Általános esetben egy merev testnek a mérési térben van szabadságfoka ( transzlációs és forgási). $d$ $d+{\frac {d(d-1)}{2))$ $d$ ${\frac {d(d-1)}{2))$

Szilárd anyagok. Deformálható testek

A rugalmas vagy deformálható testek sok legkisebb részecske rendszerének tekinthetők (végtelen számú szabadságfok), amely esetben a rendszert gyakran hozzávetőlegesen korlátozott számú szabadságfokkal rendelkezőnek tekintik.

Ha az elemzés fő tárgya egy nagy elmozdulást okozó mozgás, akkor a számítások egyszerűsítése érdekében a deformálható testet megközelítőleg abszolút merev testnek, néha anyagi pontnak tekintjük. Például, ha egy mechanizmus jelentős elmozdulásokat végrehajtó alkatrészének mozgását vizsgáljuk, akkor a fő közelítésben (és jó pontossággal) lehetséges az alkatrész abszolút merev testnek tekinteni (ha szükséges, akkor, amikor a fő mozgását már kiszámoltuk, a kis deformációihoz kapcsolódó korrekciókat), különösen igaz ez akkor, ha például a műholdak pálya menti mozgását vizsgáljuk, és ha nem vesszük figyelembe a műhold tájolását, akkor ez elegendő. anyagi pontnak tekinteni - vagyis a műhold leírását három szabadságfokra korlátozni.

Testrendszerek

Egy több testből álló rendszernek általában annyi szabadságfoka lehet, amely a rendszert alkotó testek szabadságfokainak összege, levonva a belső korlátok által korlátozott szabadságfokokat. Egy több összekapcsolt testet tartalmazó mechanizmusnak több szabadsági foka lehet, mint egy szabad merev testnek. Ebben az esetben a "szabadságfok" kifejezés a mechanizmus térbeli helyzetének pontos meghatározásához szükséges paraméterek számát jelenti.

A legtöbb mechanizmusnak fix számú szabadságfoka van, de előfordulhatnak változó számú esetek is. Az első, változó számú szabadságfokkal rendelkező mechanizmust a német szerelő, W. Wunderlich találta fel 1954-ben (lásd Wunderlich, 1954 ) - egy lapos szerkezetet, amely 12 láncszemből és 2 rögzített csuklópántból áll. Egy egyszerűbb, 9 láncszemből álló mechanizmust Mihail Kovalev orosz matematikus talált ki és írt le (lásd Kovalev, 1994 ) .

A mechanizmusok egy sajátos típusa a nyitott kinematikus lánc , amelyben a merev láncszemeknek mozgatható csuklói vannak, amelyek egy szabadságfokot ( csuklócsukló vagy csúszócsukló), vagy két szabadságfokot (ha hengeres csukló) képesek biztosítani. ). Az ilyen láncokat széles körben használják a modern ipari mechanizmusokban és a termelésben.

Az emberi kéznek 7 szabadságfoka van.

A 6 fizikai szabadságfokkal rendelkező mechanikai rendszert holonomikusnak nevezzük . Ha a rendszernek kevesebb a szabadságfoka, akkor nem holonomikusnak nevezzük . Redundánsnak nevezzük azt a mechanikai rendszert, amelynek a szabadsági foka a fizikai szabadságfokok számánál jobban szabályozott .

Mechanizmusok szabadságfokainak meghatározása

A legtöbb hagyományos mechanizmusnak egy szabadságfoka van, vagyis van egy bemeneti mozgás, amely egy kimeneti mozgást határoz meg. Ezenkívül a legtöbb mechanizmus lapos. A térbeli mechanizmusokat nehezebb kiszámítani.

A Csebisev-Grabler-Kutzbach képlet szabadsági fokának kiszámítására szolgál

A lapos mechanizmusok legegyszerűbb formájában ez a képlet a következő:

m=3(n-1)-2f,

hol a szabadsági fokok száma;

m

n

- a mechanizmus linkjeinek száma (beleértve egy rögzített kapcsolatot - az alap);

f

- az egy szabadságfokú kinematikai párok száma ( hurok vagy csúszó kapcsolat).

Általánosabb formában a Csebisev - Grabler - Kutzbach képlet bonyolultabb linkkapcsolatokat tartalmazó lapos mechanizmusokhoz:

m=3(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

Vagy egy térbeli mechanizmushoz (olyan mechanizmushoz, amely háromdimenziós mozgással rendelkezik):

m=6(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

hol a szabadsági fokok száma;

m

n

- a mechanizmus linkjeinek száma (beleértve egy rögzített kapcsolatot - az alap);

j

- a linkek mobil kapcsolatainak teljes száma, anélkül, hogy figyelembe vennénk ezen kapcsolatok szabadságfokainak számát;

{\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\ f_{i))

- az összes mozgatható csukló (csuklópánt) összes szabadsági fokának összege.

Hidraulikus hajtás

Egy hidraulikus rendszer szabadságfokainak száma egyszerűen meghatározható a független vezérlésű hidraulikus motorok számának megszámlálásával .

Elektrotechnika

Az elektrotechnikában a "szabadságfok" fogalmát gyakran használják annak leírására, hogy egy fázissoros antenna hány irányba tudja kivetíteni a sugarait. Ez eggyel kevesebb, mint a rácsban található elemek száma.

A lehetséges elmozdulások elve

Az elméleti mechanikában ismert a lehetséges elmozdulások elve , amely a statika egyensúlyi egyenleteihez hasonlóan lehetővé teszi a mechanikai rendszerre ható külső erőhatások megtalálását. A lehetséges elmozdulások elve alapján összeállított egyenletek száma megegyezik egy adott mechanikai rendszer szabadságfokainak számával .

Egy molekula szabadsági fokai

Főcikk: Szabadságfokok (fizika): Egy molekula szabadsági fokai

A gáz belső energiájának képlete :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

, ahol a gázmolekula szabadsági fokainak száma ;

én

m

a gáz tömege;

\mu

a gáz moláris tömege ;

R

az univerzális gázállandó ;

T

a gáz abszolút hőmérséklete , beleértve a molekula szabadsági fokainak számát.

Ez a képlet fontos számításokhoz, például belső égésű motorokhoz .

Megjegyzések

↑ . Például, ha egy abszolút merev test egy adott pontja és három pontja közötti távolságok rögzítettek, akkor az ettől a ponttól mért távolságok rögzítése ugyanazon merev test más pontjaihoz redundáns lesz, mivel ezek automatikusan mentésre kerülnek.
↑ . Ugyanakkor szem előtt kell tartani, hogy mint minden modell, az ilyen modellek is bizonyos valós árat szabnak a használat során: az abszolút merev testmodell teljesen figyelmen kívül hagy minden rezgést és hullámterjedést abban a merev testben, amelyre alkalmazzák. Azonban szokás szerint nulla közelítésként használható, és a szükséges finomítási korrekciókat ezután külön ki lehet számítani, és talán ez kisebb pontossággal is megtehető, ha kicsik.

Jegyzetek

↑ 1 2 Matematikai tanulmányok .

Irodalom

Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. Proc. műszaki főiskolák számára - 10. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Magasabb. shk., 1986.- 416 p., ill.
Buchholz N. N. Az elméleti mechanika főtanfolyama (első rész). "Nauka" Kiadó, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, M.: 1972, 468 oldal.
Wunderlich, W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe : [ német. ] // Osterreichisches Ingenieurarchiv. - 1954. - Bd. 8, H. 2/3. - S. 224-228.
Kovalev M.D. A csuklós eszközök geometriai elmélete : [ arch. 2017. május 5. ] // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. - 1994. - V. 58., 1. sz. - S. 45–70. - UDC 514 + 531,8 .

Linkek

A szabadság fokai . Matematikai tanulmányok . Letöltve: 2019. július 26. (Orosz)