Pauli egyenlet

A Pauli -egyenlet a nem relativisztikus kvantummechanika egyenlete, amely leírja egy töltött részecske mozgását 1/2 spinnel (például egy elektron ) külső elektromágneses térben . Pauli javasolta 1927 - ben . Nem tévesztendő össze az alapvető kinetikai egyenlettel , amelyet néha Pauli-egyenletnek is neveznek.

A Pauli-egyenlet a Schrödinger-egyenlet általánosítása , amely figyelembe veszi a részecske saját mechanikai impulzusimpulzusának – spinjének – jelenlétét. Az 1/2-es spinnel rendelkező részecske két különböző spinállapotban lehet +1/2 és -1/2 spin-vetületekkel valamilyen (tetszőlegesen választott) irányba, általában z tengelynek tekintve . Ennek megfelelően egy részecske hullámfüggvénye (ahol r a részecske koordinátája , t az idő ) kétkomponensű: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmátrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmátrix}}.

Amikor a koordinátatengelyeket elforgatjuk , és spinorkomponensekként transzformáljuk . A spinor hullámfüggvények terében a skaláris szorzat és a formája van $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

A fizikai mennyiségek operátorai 2x2 mátrixok, amelyek a spintől független mennyiségek (megfigyelhetőek) esetén az azonosságmátrix többszörösei.

Az elektrodinamika általános törvényei értelmében a nullától eltérő spinmomentumú, elektromosan töltött rendszernek a következővel arányos mágneses nyomatéka is van : (g a giromágneses arány ). A keringési nyomatéknál , ahol e a töltés, m a részecske tömege; a spin giromágneses arány kétszer akkoranak bizonyul: . Külső erősségű mágneses térben a mágneses momentumnak van egy potenciális energiája , amelyet a potenciállal és A-val rendelkező külső elektronmágneses térben lévő elektron Hamilton-féle H-jához hozzáadva a Pauli-egyenlethez vezet: ${\vec {s}}$ ${\vec {s}}$ ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ $g={e\több mint 2 mc}$ $g={e\over mc}$ ${\vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$ $\phi$

i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H))}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\right]\psi

ahol az impulzus operátor, az egység operátor, és arányos a spin operátorral: . ${\hat p}$ ${\kalap én}$ ${\kalap \sigma }$ ${\hat s}={\hbar \over 2}{\hat \sigma }$

A kezdetben heurisztikus megfontolások alapján javasolt Pauli-egyenlet a relativisztikusan invariáns Dirac-egyenlet természetes következményének bizonyult a gyengén relativisztikus közelítésben, amelyben a fénysebesség reciprok hatványaiban csak az első tagokat veszik. figyelembe. Ha a külső mágneses tér erőssége nem függ a térbeli koordinátáktól, akkor a részecske keringési mozgása és spinjének orientációjának változása egymástól függetlenül történik. Ebben az esetben a hullámfüggvény alakja , ahol egy skaláris függvény, amely engedelmeskedik a Schrödinger-egyenletnek, és a spinor teljesíti az egyenletet $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\Phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmátrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)))\chi .

Ebből az egyenletből következik, hogy a spin átlagos értéke a mágneses tér iránya körül mozog: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].

Itt a ciklotron frekvenciája és a mágneses tér mentén az egységvektor. A Pauli-egyenlet alapján egy atomban az elektronszintek felhasadása külső mágneses térben a spin figyelembevételével számítható ki ( Zeeman-effektus ). Az atomokban az elektronspin miatti finomabb relativisztikus hatások azonban csak úgy írhatók le, ha figyelembe vesszük a relativisztikus Dirac-egyenlet fénysebesség reciprok hatványaiban kifejezett kiterjesztésének magasabb tagját. $\omega _{B}={eB \over mc}$ ${\vec {n}}$

Irodalom

Blokhintsev D. I. A kvantummechanika alapjai. - 5. kiadás - M .: Nauka, 1976. - 664 p., 62. bekezdés.
Davydov A. S. Kvantummechanika. - 2. kiadás - M .: Nauka, 1973. - 704 p., 63. bekezdés.
Pauli V. A hullámmechanika általános elvei. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 p.
Beresztetszkij V. B. , Lifshits E. M. , Pitajevszkij L. P. Kvantumelektrodinamika. - 4. kiadás, átdolgozott. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 p. - (" Elméleti fizika ", IV. kötet). — ISBN 5-9221-0058-0 .
Fizikai enciklopédia / Ch. szerk. A. M. Prohorov. Szerk. számol D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov és társai - M.: Great Russian Encyclopedia, 1992. - V. 3. Magnetoplazma - Poynting-tétel. — 672 p.

Pauli egyenlet

Irodalom

Lásd még