Momentum operátor

Az impulzus operátor egy kvantummechanikai operátor , amelyet az impulzus leírására használnak .

A de Broglie hullámon alapuló definíció

Az energia- és impulzusoperátorok a következő módon szerkeszthetők meg [1] .

Egydimenziós tok

Az egydimenziós Schrödinger-egyenlet megoldása síkhullám formájában a következő:

{\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)))

Elsőrendű derivált a koordinátára vonatkozóan:

{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\Psi

A de Broglie relációból kifejezve : $k$

p=\hbar k

a ψ derivált képlete a következő:

{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\Psi

Így kapjuk:

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

A kísérletben mért mennyiségek az adott operátor sajátértékei .

Mivel a parciális derivált lineáris operátor , a momentum operátor is lineáris. Mivel minden hullámfüggvény kifejezhető állapotok kvantum-szuperpozíciójaként , amikor ez az impulzusoperátor a teljes hullámszuperpozícióra hat, minden síkhullámhoz sajátértékeket ad, amelyek összege a hullámszuperpozíció eredő impulzusa.

Három dimenzió

A háromdimenziós egyenlet hasonló módon van felírva, kivéve a gradiens operátort, amely a koordinátákra vonatkozó részleges deriváltokat tartalmaz. Háromdimenziós esetben a Schrödinger-egyenlet megoldása síkhullámok formájában a következő lesz:

{\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

hol van a gradiens

{\begin{aligned}\nabla \Psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \Psi }{\partial x))+\mathbf {e} _{y}{ \frac {\partial \Psi }{\partial y))+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \Psi }{\partial z))\\&=ik_{x}\Psi \ mathbf {e} _{x}+ik_{y}\Psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\Psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i} {\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\ jobbra)\Psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \Psi \\\end{aligned}}

ahol , és a háromdimenziós egységvektorok , és ezért $\mathbf{e}_x$ $\mathbf{e}_y$ $\mathbf{e}_z$

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Ez az impulzus operátor a koordináta-ábrázolásban - a benne szereplő parciális deriváltakat térbeli változókra tekintettel veszik.

A definíció a fordítás invarianciáján alapul

A fordítási operátort T ( ϵ ) -ként jelöljük , ahol ϵ a fordítás nagysága, és kielégíti a következő összefüggést:

T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle

amivé válik

\int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi ( x-\epsilon )

Feltételezve , hogy ψ egy analitikus függvény (azaz a komplex sík valamely tartományában differenciálható ), akkor x -ben Taylor -sorrá bővíthető :

{\displaystyle \psi (x-\epsilon )=\psi (x)-\epsilon {d\psi \over dx))

akkor:

T(\epsilon )=1-\epsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\epsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)

Amint az a klasszikus mechanikából ismeretes , a momentum egy transzlációs generátor , így a transzláció és a momentum operátorok közötti kapcsolat így fog kinézni:

T(\epsilon )=1-{i \over \hbar }\epsilon {\hat {p))

akkor

{\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\,.

Négydimenziós momentum operátor

Ez az operátor így néz ki:

{\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \jobbra) =i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }

ahol ∂ μ a 4-es gradiens és − iħ + iħ lesz a 3D momentum operátor előtt. Ez az operátor megjelenik a relativisztikus kvantumtérelméletben , akárcsak a Dirac-egyenlet és más relativisztikus hullámegyenletek . Az energia és az impulzus egy 4 impulzusos vektorba egyesül, és elsőrendű parciális deriváltnak felel meg az idő és a pozíció tekintetében, hogy megfeleljen a Lorentz-invarianciának .

Tulajdonságok

Hermiticitás

A momentum operátor a Hermitian operátorokhoz tartozik [2] .

Kommutációs arányok

A koordináta- vagy impulzusábrázolás segítségével kimutatható, hogy:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .

Bizonyíték:

Írjuk fel a kifejezést, és szorozzuk meg a függvénnyel $\psi (x)$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)-(-i\ hbar {d \over dx}(\psi (x)x))

egy komplex függvény differenciálási szabályát alkalmazva kapjuk:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)+xi\hbar { d \over dx}\psi (x)+\psi (x)i\hbar {d \over dx}\ x

lerövidíteni:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=\psi (x)i\hbar

ossza el mindkét részt a függvénnyel $\psi (x)$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]=i\hbar

Így a koordináta és az impulzus konjugált mennyiségek .

Ezenkívül az impulzuskomponens operátorai is kommutatívak.

Fourier transzformáció

Megmutatható, hogy az impulzus Fourier transzformációja a koordináta operátor . A jelölés használata melltartó és ket vektorok formájában :

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {d \over dx}\psi (x)

Ugyanez vonatkozik a koordináta operátorra is az impulzus jelölésében:

\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {d \over dp}\psi (p)

és még egy fontos összefüggés:

\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {d \over dp}\delta (pp')

\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {d \over dx}\delta (xx')

ahol a Dirac delta függvénynek felel meg . $\delta$

Linkek

↑ Atomok, molekulák, szilárd anyagok, atommagok és részecskék kvantumfizikája (2. kiadás), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
↑ Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - 6. kiadás, átdolgozott. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 p. - ("Elméleti fizika", III. kötet). — ISBN 5-9221-0530-2