Csoport (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A csoport a matematikában egy nem üres halmaz , amelyen egy asszociatív bináris művelet van definiálva , és ehhez a művelethez van egy semleges elem (a szorzás egységéhez analóg), és a halmaz minden elemének van egy inverze . Az általános algebra csoportokkal foglalkozó ágát csoportelméletnek nevezzük [1] .

A csoportok egyik példája az egész számok halmaza , amely összeadási művelettel van felszerelve : bármely két egész szám összege is egész számot ad, a nulla semleges elem szerepét tölti be, az ellenkező előjelű szám pedig az inverz elem. További példák a valós számok halmaza az összeadás művelettel, az origó körüli síkforgatások halmaza . Köszönhetően a csoportnak egy axiómarendszeren keresztül történő elvont meghatározásának, amely nem kötődik a generáló halmazok sajátosságaihoz, a csoportelmélet univerzális apparátust hozott létre a legkülönfélébb eredetű matematikai objektumok széles osztályának tanulmányozására. szerkezetük általános tulajdonságait . A csoportok mindenütt jelenléte a matematikában és azon túl a modern matematika és alkalmazásai alapvető konstrukciójává teszi őket.

A csoport alapvetően kapcsolódik a szimmetria fogalmához, és minden megnyilvánulása vizsgálatának fontos eszköze. Például egy szimmetriacsoport egy geometriai objektum tulajdonságait tükrözi : olyan transzformációk halmazából áll, amelyek az objektumot változatlanul hagyják, és két ilyen, egymás után következő transzformáció kombinálásának műveletét. A szimmetriacsoportok, mint például a pontszimmetriacsoportok , hasznosak a molekuláris szimmetria jelenségének megértésében a kémiában; a Poincare -csoport a fizikai téridő szimmetriáját jellemzi , az elemi részecskefizika standard modelljében pedig speciális unitárius csoportokat használnak [2] .

A csoport fogalmát Evariste Galois vezette be polinomok tanulmányozása során az 1830 -as években [3] .

A modern csoportelmélet a matematika aktív ága [4] . Az egyik leglenyűgözőbb eredményt az egyszerű véges csoportok 1981 -ben elkészült osztályozása érte el : a tétel bizonyítása több tízezer oldalnyi több száz tudományos cikk száznál több szerzőtől, 1955 óta megjelent, de cikkek továbbra is megjelennek a bizonyítás kimutatható hiányosságai miatt [5] . Az 1980-as évek közepe óta jelentős fejlődésen ment keresztül a csoportok geometriai elmélete , amely a véges generált csoportokat geometriai objektumként vizsgálja.

Definíció

Egy nem üres halmazt , amelyen bináris művelet van definiálva : csoportnak nevezzük, ha a következő axiómák igazak : $G$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,*)$

asszociativitás : ; $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$
semleges elem jelenléte : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
inverz elem jelenléte : . $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Az utolsó két axióma helyettesíthető egy inverz művelet $*$ létezésének axiómával :

$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Ráadásul a fenti axiómák nem szigorúan minimálisak. A semleges és inverz elemek létezéséhez elegendő egy bal oldali semleges és egy bal oldali inverz elem. Ugyanakkor igazolható, hogy automatikusan közönséges semleges és inverz elemek lesznek [6] .

Kapcsolódó definíciók

Általában a csoportnak nem kell teljesítenie a kommutatív tulajdonságot .
- Azokat az elempárokat , amelyekre érvényes az egyenlőség , ingázásnak vagy ingázásnak nevezzük . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- A csoport összes elemével permutálódó elemek halmazát a csoport középpontjának nevezzük .
- Egy olyan csoportot, amelyben bármely két elem ingázik, kommutatívnak vagy Abeli -nek nevezzük .
Az alcsoport a csoport egy részhalmazaamely a -ban meghatározott művelet szempontjából csoport. $H$ $G$ $G$
A csoport sorrendje a hatvány (azaz elemeinek száma). $(G*)$ $G$
- Ha a halmaz véges, akkor a csoportot
végesnek mondjuk . $G$

A csoporthomomorfizmusok olyan csoportok leképezései , amelyek megőrzik a csoportstruktúrát. Vagyis a csoportok leképezését homomorfizmusnak nevezzük , ha kielégíti a feltételt .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

f(a*b)=f(a)\szor f(b)

Két csoportot izomorfnak mondunk , ha létezik egy csoporthomomorfizmus és egy csoporthomomorfizmus úgy, hogy és , ahol és . Ebben az esetben ezeket a homomorfizmusokat izomorfizmusoknak nevezzük .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

g\colon (H,\times )\to (G,*)

f(g(a)) = a

g(f(b))=b

b\in G

a\in H

Egy elem esetében a bal oldali coset alcsoportonként a halmaz , a jobb oldali alcsoportonkénti pedig a halmaz .

g\in G

H

{\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\))

A normál alcsoport egy speciális típusú alcsoport, amelynek bal és jobb oldali kosetjei egybeesnek. Bármilyen,.

g\in G

gH=Hg

A hányadoscsoport egy csoport koseteinek halmaza a normál alcsoportjához képest, amely maga is egy csoport.

Szabványos jelölés

Multiplikatív jelölés

Általában a csoportműveletet (absztrakt) szorzásnak nevezik ; akkor a multiplikatív jelölést alkalmazzuk :

a művelet eredményét szorzatnak nevezzük , és vagy ; $a\cdot b$ $ab$
a semleges elemet " " vagy jelöli, és egységnek nevezzük ; $1$ $e$
az elem inverzét így írjuk fel . $a$ $a^{-1}$

Ha a csoportműveletet szorzásnak nevezzük , akkor magát az ilyen csoportot szorzónak nevezzük , és a teljes jelöléssel (amikor a csoportműveletet kifejezetten jelezni akarják) a következőképpen jelöljük :. $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$

Több termék , , természetes erőként van írva , , [7] . Egy elemhez egy egész fokozat helyesen van definiálva [ 8] , a következőképpen írjuk le: , . $aa$ $aaa$ $...$ $a^2$ $a^{3}$ $...$ $a$ $a^{0}=e$ ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n))$

Additív jelölés

Kommutatív csoportban a definiáló műveletet gyakran (absztrakt) összeadásnak tekintik, és additív módon írják :

írja be a " " kifejezést és hívja meg a kapott elemet az elemek összegének és ; $a+b$ $a$ $b$
a semleges elemet " "ként jelöljük és nullának nevezzük ; $0$
a to inverz elemet " "-ként jelöljük, és az elem ellentétének nevezzük ; $a$ $-a$ $a$
a bejegyzés rövidítése a következő: ; $a+(-b)=ab$
a , , alakú kifejezéseket , , szimbólumokkal jelöljük . $a+a$ $a+a+a$ $-aa$ $2a$ $3a$ $-2a$

Ha a csoportműveletet összeadásnak nevezzük , akkor magát az ilyen csoportot additívnak nevezzük , és a teljes jelöléssel a következőképpen jelöljük :. [9] Ez a kifejezés csak arra a módra vonatkozik, ahogyan egy műveletet írnak egy csoportban; akkor hasznos, ha több művelet van definiálva egy halmazon. Például beszélhetünk a valós számok additív csoportjáról vagy a pozitív valós számok multiplikatív csoportjáról . Ezenkívül vannak olyan esetek, amikor egy additív csoport izomorf egy multiplikatív csoporthoz (lásd: Gyökerek az egységből ). $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$

Példák

Az összeadás művelettel ellátott egész számok halmaza egy csoport.
A nulla kivételével az összes racionális szám halmaza a szorzás műveletével egy csoport.

A csoportokat a matematika különböző területein használják. Például a topológiában az alapcsoport fogalmának bevezetésével [10] . A csoportok elméleti alkalmazása mellett számos módja van a csoportok gyakorlati alkalmazásának. Például a kriptográfiában használják , amely a számítási csoportelméletre és az algoritmusok ismeretére támaszkodik .

A csoportelmélet alkalmazása nem korlátozódik a matematikára, széles körben alkalmazzák olyan tudományokban, mint a fizika , a kémia és a számítástechnika .

Egész számok modulo $n$ - a modulo összeadás eredménye az összeg maradéka, ha osztva -val . Az egész számok halmaza tól -ig csoportot alkot ezzel a művelettel. A semleges elem , a k inverz eleme a szám . Jó példa egy ilyen csoportra $n$ $n$ $0$ $n-1$ $0$ $a\neq 0$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

számlapos óra lehet [11] .

Egész számok összeadási művelettel. egy kommutatív csoport semleges elemmel. A szorzási művelettel rendelkező egész számok nem alkotnak csoportot. Megtörténik a záródás, az asszociativitás és a semleges elem létezése, de az inverz elem létezésére vonatkozó axióma nem állja meg a helyét. Például, akkorez. Az inverz elem nem egész szám [12] . $(\mathbb{Z},+)$ $0$ $a=2$ $a\cdot b=1$ $b = 1/2$
Pozitív racionális számok szorzási művelettel. A racionális számok szorzata ismét racionális szám, a racionális számhoz tartozó reciprok elemet egy reciprok ábrázolja, asszociativitás van, a semleges elem pedig egy [12] .
Egy szabad csoport két generátorral () áll az üres szóból (csoportegység) és az összes véges, négy karakterből álló szóból,ésazokból,amelyek nem jelennek meg mellette,ésnem jelennek meg mellette. Az ilyen szavak szorzása egyszerűen két szó kombinációja, amelyet a ,,és [13] párok redukciója követ. $F_{2}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $b^{{-1}}b$
Szimmetrikus csoport . Egy véges halmaz összes bijekciójának halmaza önmagába a kompozíciós művelettelegy véges csoport, amelyet szimmetrikus csoportnak vagy permutációs csoportnak nevezünk . Egy véges szimmetrikus csoport számosságaelemhalmazra:. Mertez a csoport nem abeli [14] . Bármely véges csoport valamilyen szimmetrikus csoport részcsoportja ( Cayley-tétel ) [12] [15] . $S_{n}$ $n$ $n!$ $n\geq 3$

A ciklikus csoportok egy elemhatványaiból állnak. Egy elemetciklikus csoport generátorának nevezünkA ciklikus csoportok mindig kommutatívak. Ilyen csoport például a már említett egész számok összeadása. A ciklikus egység komplex gyökekből álló csoport lesz, azaz olyan komplex számok csoportja, amelyek kielégítik akomplex számok szorzásának feltételét és műveletét [16] . Egy multiplikatív véges csoportis ciklikus. Példáula csoport generáló eleme,ha: ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \))$ $a$ $a$ $n$ $z$ $z^{n}=1$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$ $3$ $\mathrm {G}$ $n=5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{igazítás}

A Rubik-kocka csoport a szimmetrikus csoport egy alcsoportja,amelynek elemei a Rubik-kocka transzformációinak felelnek meg . Két transzformáció összetétele ismét egy transzformáció, minden transzformációhoz van egy inverz elem, van egy asszociativitás és egy semleges elem [17] . $S_{{48}}$
Galois csoportok . Bevezették őket a matematikába polinomiális egyenletek megoldására egy változóban a gyökökben . Például egy másodfokú egyenlet megoldása gyököket ad:hasonló képletek a harmadik és negyedik fokú egyenletekre, de nem léteznek a fokúés a magasabb egyenletekre [18] . $ax^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

A legegyszerűbb tulajdonságok

Minden elemnél egyedi az inverz elem . $a$ $a^{{-1}}$
A semleges elem egyedülálló: Ha semlegesek, akkor . ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{-1})^{-1}=a$ .
${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n))$ .
$e^{n}=e$ , bármely [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
A redukció törvényei helyesek : $c\cdot a=c\cdot b\Bal jobbra nyíl a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Bal jobbra nyíl a=b$ .
A semleges inverz eleme maga a semleges elem [19] .
A csoport bármely vagy egyenlet egyedi megoldását tartalmazza ; vagyis egy csoportban egyedileg meghatározott jobb és bal „felosztás” lehetséges [1] . $x$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
Egy csoport két alcsoportjának metszéspontja a csoport alcsoportja [20] . $\mathrm {G}$ $\mathrm {G}$
Lagrange-tétel : ha véges rendű csoport , akkor bármelyik részcsoportjának sorrendje osztója a csoport rendjének. Ebből következik, hogy bármely elem sorrendje a csoport sorrendjét is felosztja [21] . $\mathrm {G}$ $g$ ${\displaystyle g_{1))$ $\mathrm {G_{1}}$
A Lagrange - tétel és a Sylow-tétel egy csoportban lévő alcsoportok számának meghatározására szolgál .

A csoport beállításának módjai

A csoport beállítható:

Egy generátorhalmaz [22] és az elemei közötti kapcsolatok halmaza segítségével;
Tényezőcsoport , ahol valamilyen csoport és annak normál alcsoportja [23] ; $G/H$ $G$ $H$
Két csoport félig közvetlen terméke, és különösen
- Két csoport közvetlen szorzata , vagyis egy komponensenkénti szorzás műveletével felruházott párok halmaza : [24] ; $(G,\cdot )$ ${\megjelenítési stílus (H,\cdot )}$ $G\times H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
Két csoport szabad szorzata: a csoportok szabad szorzata az a csoport, amelynek generátorrendszere [25] a generátorok és a , a kapcsolatrendszer [26] pedig a kapcsolatrendszerek uniója és [ 25 ]. 27] . $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$

Történelem

A csoport modern fogalma a matematika több területéből alakult ki. A csoportelmélet eredeti hajtóereje a négynél nagyobb fokú algebrai egyenletek megoldásának keresése volt. A 19. századi francia matematikus , Évariste Galois Ruffini és Lagrange tanulmányainak finomítása után kritériumot adott egy adott algebrai egyenlet megoldhatóságára a megoldások szimmetriacsoportja szempontjából . Az ilyen Galois-csoport elemei a gyökök bizonyos permutációinak felelnek meg . Galois gondolatait kortársai elutasították, és Liouville posztumusz tette közzé 1846-ban. Cauchy ugyanarra a munkára alapozva, mint Galois, részletesen tanulmányozta a permutációs csoportokat [3] . A véges csoport fogalmát először Arthur Cayley vezette be 1854-ben " A csoportok elméletéről, mint a θ n 1 szimbolikus egyenlettől függően " című munkájában [28] . $=$

A geometria a második olyan terület, ahol a csoportokat szisztematikusan alkalmazzák, különösen a szimmetriacsoportokat Felix Klein német matematikus „ Erlangen Programja” részeként . A geometria olyan új ágainak megjelenése után, mint a hiperbolikus és a projektív geometria , Klein a csoportelméletet használta ezek jobb összeegyeztetésére. Ezen elképzelések továbbfejlesztése a Lie-csoport fogalmának 1884-ben történő bevezetéséhez vezet a matematikában [3] .

A matematika harmadik területe, amely hozzájárult a csoportelmélet fejlődéséhez, a számelmélet . Néhány Abeli-csoportot implicit módon használtak Gauss aritmetikai vizsgálataiban (1801). 1847-ben Ernst Kummer tette meg az első kísérletet Fermat utolsó tételének bizonyítására prímtényezős csoportokat használva. 1870-ben Kronecker általánosította Kummer munkásságát, és a véges Abel-csoport mai definíciójához közel álló definíciót adott [3] .

A csoportelmélet szétválása Camille Jordan Változások és algebrai egyenletek értekezésével (1870) [29] kezdődött . A 20. században a csoportelmélet aktív fejlődésnek indult. Megszületett Frobenius és Burnside úttörő munkája a véges csoportok ábrázolásáról, Richard Braur moduláris reprezentációs elmélete és Schur jelölései . Weyl és Cartan jelentős előrelépést tett a Lie-csoportok és a lokálisan kompakt csoportok elméletének tanulmányozásában . Ezen elméletek algebrai kiegészítése az algebrai csoportok elmélete volt , amelyet először Claude Chevalley fogalmazott meg , később Borel és Tits [3] munkáiban említik .

Az 1960–1961-es tanévben a Chicagói Egyetemen a csoportelmélet évét tartották, amely olyan teoretikusokat hozott össze, mint Daniel Gorenstein, John Thompson és Walter Feith, így lefektette az alapot számos matematikus együttműködéséhez, akik később az osztályozási tétel minden egyszerű véges csoportra 1980. -s években. Ez a projekt méretében felülmúlta a csoportok osztályozására irányuló összes korábbi kísérletet, mind a bizonyítékok hossza, mind a munkában részt vevő tudósok száma tekintetében. A jelenlegi kutatások célja a csoportok osztályozásának egyszerűsítése. Jelenleg a csoportelmélet aktívan fejlődik, és hatással van a matematika más ágaira [5] [30] [31] .

Változatok és általánosítások

A groupoid egy halmaz, amelyen bináris művelet van definiálva [32] .
A kvázicsoport egy csoportoid , amely valamilyen halmazból és egy bináris műveletből áll úgy, hogy bármelyikhez vannak egyedi elemek , és olyan, hogy és [33] . $Q$ $\cdot$ $a,b\in Q$ $x$ $y$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
A félcsoport egy algebrai rendszer , amelyen asszociatív bináris művelet van definiálva . A természetes számok halmaza az összeadás műveletével egy félcsoportot alkot [34] .
Monoidnak nevezzük azt a halmazt , amelyen egy bináris művelet van definiálva, és amely csak az első két axiómát elégíti ki . Az összeadási művelettel rendelkező nemnegatív egész számok halmaza monoidot alkot [34] . $G$

Csoportok további szerkezettel

Sok csoportnak van egyidejűleg valamilyen más (további) matematikai szerkezete. A kategóriaelmélet nyelvén ezek a kategória csoportobjektumai ; Más szóval, ezek olyan objektumok (vagyis például halmazok, amelyeknek bizonyos matematikai szerkezetük van), amelyekre adott transzformációk osztálya (úgynevezett morfizmusok ) a csoport axiómáit követve adott. Konkrétan minden csoport (a korábban definiált értelemben) egyidejűleg halmaz , így egy csoport egy csoport objektum a halmazok kategóriájában Set (ebben a kategóriában a morfizmusok halmazok leképezései ) [35] .

Gyűrűk

A gyűrű olyan halmaz , amelyen a kommutatív összeadás és a (nem feltétlenül kommutatív) szorzás bináris műveletei definiálva vannak, ráadásul az összeadás tekintetében K csoportot alkot, a szorzást pedig egy eloszlási törvény köti össze az összeadással. $K$

Egy gyűrűt kommutatívnak és asszociatívnak nevezünk, ha a rajta megadott szorzási művelet kommutatív és ennek megfelelően asszociatív. A gyűrű egy elemét egységnek nevezzük, ha a következő feltétel teljesül: , ahol a gyűrű bármely eleme. $1$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ $a$

A Z , Q , R numerikus halmazok kommutatív asszociatív gyűrűk azonossággal. A vektorszorzás művelettel rendelkező vektorok halmaza a vektorszorzás tulajdonságai miatt antikommutatív gyűrű (azaz ) [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Mezők

A mező egy kommutatív asszociatív gyűrű egy egységgel, és az összeadás szempontjából egy csoportot alkot, a nullától eltérő elemei pedig egy csoportot szorzással. A mező nem állhat egyetlen nullából. A racionális és valós számok halmazai mezők. Bármely mezőben csak akkor, ha és/vagy [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ $a=0$ $b=0$

Topológiai csoportok

Egyes topológiai terek egyidejűleg csoportstruktúrával is felruházhatók. Ebben az esetben egy ilyen tér topológiai csoportnak bizonyulhat .

A topológiai csoport ugyanis egy olyan csoport, amely egyben topológiai tér is, és a csoport elemeinek szorzása és az inverz elem felvételének művelete az alkalmazott topológiában folyamatos leképezésnek bizonyul [38] . A topológiai csoportok csoportobjektumok a topológiai terekben Top [35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

A topológiai csoportok legfontosabb példái az additív valós csoport , a nullától eltérő valósok multiplikatív csoportja , a teljes lineáris csoport , a speciális lineáris csoport , az ortogonális csoport , a speciális ortogonális csoport , az egységes csoport , a speciális unitárius csoport [39 ] . $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ $GL(n)$ $SL(n)$ $Tovább)$ $SO(n)$ $ENSZ)$ $Nap)$

Hazugságcsoportok

A Lie csoport (a Sophus Lie tiszteletére ) olyan csoport, amely egyszerre differenciálható sokaság a K mező felett (utóbbiként a valós vagy komplex számok mezője működhet), valamint a csoport elemeinek szorzása és a művelet . Az inverz elem felvételéből sima leképezések bizonyulnak (összetett esetben a bevezetett leképezések holomorfiája szükséges). Ezen túlmenően bármely komplex -dimenziós Lie-csoport egyidejűleg a dimenziók valódi Lie-csoportja [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $n$ $2n$

Az előző alfejezetben topológiai csoportokra példaként megadott összes konkrét csoport egyben Lie csoport is.

A hazugságcsoportok természetesen keletkeznek, ha folytonos szimmetriákat veszünk figyelembe ; így a Lie csoportot [41] a formájú izometriák alkotják , ahol az euklideszi ponttér . Az eredményül kapott [42] jelölésű csoport egy másik Lie csoport alcsoportja , a tér affin csoportja , jelölése [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ $Is(\mathrm {E} )$ $\mathrm {E}$ $Aff(\mathrm {E} )$

A hazugságcsoportok a sokaság legjobbjai a struktúrájuk gazdagsága szempontjából, és mint ilyenek, nagyon fontosak a differenciálgeometriában és a topológiában . Kiemelkedő szerepet játszanak a geometriában, a számításokban, a mechanikában és a fizikában is [40] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 16. - 288 p. - 11 800 példány.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 9-14. — 288 p. - 11 800 példány.
↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey // Mathematics Magazine : a Journal . - 1986. - október ( 59. évf. , 4. sz.). - P. 195-215 . - doi : 10.2307/2690312 .
↑ Csak 2005-ben a MathSciNet szerint több mint 2 ezer kutatási cikk jelent meg a csoportelmélet és az általánosítások témakörében .
↑ 1 2 Gorenstein D. Véges egyszerű csoportok. Bevezetés az osztályozásukba = Finite simple Groups. Bevezetés az osztályozásukba / szerk. A.I. Kostrikin. - Világ. - Moszkva: Mir, 1985. - S. 9-17. — 352 p. - 5250 példány.
↑ Sagalovich, 2010 , p. ötven.
↑ Egy elem természetes fokát az asszociativitás miatt helyesen határozzuk meg
↑ A helyesség az inverz elem egyediségéből következik.
↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 18. - 288 p. - 11 800 példány.
↑ Hatcher Allen. Algebrai topológia. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - P. 30. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ M. Welschenbach. 5. fejezet // Kriptográfia C és C++ nyelven működés közben . - M . : "Triumph", 2004. - S. 81 -84. — 464 p. — ISBN 5-89392-083-X .
↑ 1 2 3 Olshansky A. Yu. A relációk meghatározásának geometriája egy csoportban. - Nauka, 1989. - S. 18-19. — 448 p. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 122-124. — 288 p. - 11 800 példány.
↑ Kurosh A. G. Csoportelmélet / szerk. Brudno K.F. – 3. kiadás. - Moszkva: Nauka, 1967. - S. 34. - 648 p. — 20.000 példány.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet. - Felsőiskola, 1979. - S. 351. - 559 p. - 40.000 példány.
↑ Vinberg E. B. A csoportelmélet alapjai. - 2. kiadás - Factorial Press, 2001. - S. 162-163. — 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Schonert, Martin. Rubik-kocka elemzése GAP segítségével . Letöltve: 2013. július 19. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ Postnikov M. M. Galois elmélet. - Moszkva: Fizmatgiz, 1963. - S. 126-127. — 220 s. — 11.500 példány.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 17. - 288 p. - 11 800 példány.
↑ Sagalovich, 2010 , p. 56.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet. - Felsőiskola, 1979. - S. 353. - 559 p. - 40.000 példány.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 24. - 288 p. - 11 800 példány.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai. - 3. kiadás - Moszkva: Nauka, 1982. - S. 45-46. — 288 p. - 11 800 példány.
↑ Vinberg E. B. A csoportelmélet alapjai. - 2. - Factorial Press, 2001. - S. 409, 415. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 23.
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 52.
↑ Olshansky A. Yu. A relációk meghatározásának geometriája egy csoportban. - Nauka, 1989. - S. 330-331. — 448 p. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Cayley (1854) "A csoportok elméletéről, a θ n = 1 szimbolikus egyenlettől függően ", Philosophical Magazine , 4. sorozat, (42): 40-47.
↑ Wussing, Hans. Az absztrakt csoportfogalom keletkezése: Hozzájárulás az absztrakt csoportelmélet keletkezésének történetéhez. — Általános pszichológia áttekintése. - New York : Dover Publications , 2007. - P. 154. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - augusztus ( 52. évf. , 7. sz.). - P. 728-735 .
↑ Wilson, Robert A. A véges egyszerű csoportok . — Érettségi szövegek matematikából. - New York: Springer-Verlag , 2009. - P. 2 -5. - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
↑ Belousov V. D. A kvázicsoportok és hurkok elméletének alapjai. - Nauka, 1967. - S. 5. - 223 p. - 2800 példány.
↑ Belousov V. D. A kvázicsoportok és hurkok elméletének alapjai. - Nauka, 1967. - S. 6. - 223 p. - 2800 példány.
↑ 1 2 Kulikov L. Ya. Algebra és számelmélet. - Felsőiskola, 1979. - S. 346-347. — 559 p. - 40.000 példány.
↑ 1 2 Bucur I., Deleanu A. Bevezetés // Bevezetés a kategóriák és funktorok elméletébe = Introduction to the theory of category and functors / ford. angolról. D. A. Raikova , V. F. Retakh . - M . : Mir, 1972. - S. 9-10. — 259 p.
↑ Vinberg E. B. A csoportelmélet alapjai. - 2. kiadás - Factorial Press, 2001. - S. 14-15. — 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Vinberg E. B. A csoportelmélet alapjai. - 2. kiadás - Factorial Press, 2001. - S. 16. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Bourbaki N. Általános topológia. Topológiai csoportok. Számok és kapcsolódó csoportok és szóközök. M .: Nauka, 1969. S. 12.
↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B. A topológia kezdeti menete. Geometrikus fejek. M .: Nauka, 1977. S. 268-271.
↑ 1 2 Vinberg E. B. A csoportelmélet alapjai. - 2. kiadás - Factorial Press, 2001. - S. 501. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineáris algebra és geometria. M .: Nauka, 1986. S. 201.
↑ Dieudonné J. Lineáris algebra és elemi geometria. M .: Nauka, 1972. S. 129.
↑ Dolgacsev I. V., Shirokov A. P. Affin tér // Matem. enciklopédia. T. 1. M .: Szov. enciklopédia, 1982. Stb. 362-363.

Irodalom

Tudományos irodalom

Sagalovich Yu. L. Bevezetés az algebrai kódokba - 2. kiadás. - M. : IPPI RAN , 2010. - 320 p. — ISBN 978-5-901158-14-2
Belonogov V. A. Feladatkönyv a csoportelméletről. Moszkva: Nauka, 2000.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai. Moszkva: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. Moszkva: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. A csoportok elmélete. (3. kiadás). Moszkva: Nauka, 1967.
Hall M. Csoportok elmélete. M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1962.
Gorenstein D. Véges csoportok. NY: Harper és Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.

Népszerű irodalom

Aleksandrov PS Bevezetés a csoportelméletbe . - T. 7. - ( "Könyvtári Kvant" ).
Sadovsky L., Arshinov M. Csoportok // Kvant . - 1976. - 10. sz .
Csoport // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. A. P. Savin. - M . : Pedagógia , 1985. - S. 88 -94. — 352 p.

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Britannica (online) Brockhaus Universalis Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4022379-6