Rubik-kocka csoport

Rubik-kocka csoport

Valaki után elnevezve	Rubik kocka
ben tanult	csoportelmélet
Csoportos rendelés	4,325200327449E+19
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A Rubik-kocka csoport az S 48 szimmetrikus csoport alcsoportja , melynek elemei a Rubik-kocka transzformációinak felelnek meg . Az átalakítás bármely lap elfordításának hatását vagy lapfordulatok sorozatát jelenti [1] .

Definíció

A Rubik-kocka lapjainak mindegyik elforgatása a 48 Rubik-kocka címkék halmazának szimmetrikus csoportjának elemének tekinthető , amelyek nem a lapok középpontjai. A lapok középpontját betűkkel jelöljük (lásd az ábrát), a többi címkét pedig 1-től 48-ig terjedő számokkal. Most a megfelelő lapokat az óramutató járásával megegyezően 90°-kal elforgatva társíthatjuk a szimmetrikus csoport elemeit : $\{L,F,R,B,U,D\}$ $S_{{48}}$

L = (1,3,8,6) (2,5,7,4) (33,9,41,32) (36,12,44,29) (38,14,46,27)

F = (9.11.16.14)(10.13.15.12)(38.17.43.8)(39.20.42.5)(40.22.41.3)

R = (17.19.24.22)(18.21.23.20)(48.16.40.25)(45.13.37.28)(43.11.35.30)

B = (25.27.32.30)(26.29.31.28)(19.33.6.48)(21.34.4.47)(24.35.1.46)

U = (33.35.40.38)(34.37.39.36)(25.17.9.1)(26.18.10.2)(27.19.11.3)

D = (41.43.48.46)(42.45.47.44)(6.14.22.30)(7.15.23.31)(8.16.24.32)

Ekkor a Rubik-kocka csoportot hat lap 90°-os elforgatásával generált részcsoportként határozzuk meg [2] : $G$ $S_{{48}}$

G=\langle L,F,R,B,U,D\rangle

Tulajdonságok

A csoport sorrendje : [2] [3] [4] [5] [6] $G$

|G|={\dfrac {8!\cdot 12!\cdot 3^{8}\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2}}=43\ 252\ 003\ 274 \ 489\ 856\ 000=2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 11.

Legyen egy 18 generátorral rendelkező csoport Cayley-gráfja, amely az FTM-metrika 18 lépésének felel meg . $K_f$ $G$

A konfigurációk mindegyike legfeljebb 20 FTM mozdulattal megoldható. Más szóval, a feladvány "összeállított" állapotának megfelelő gráfcsúcs excentricitása 20 [7] . $\approx 4{,}32\cdot 10^{19}$ $K_f$

A grafikon átmérője is 20 [8] . $K_f$

Az elem legmagasabb sorrendje 1260. Például a mozdulatok sorozatát 1260 - szor kell megismételni [9] , mielőtt a Rubik-kocka visszatér eredeti állapotába [10] [11] . $G$ $(R\ U^{2}\ D^{{\prime }}\ B\ D^{{\prime }})$

$G$ nem egy Abeli-csoport , mivel például a . Más szóval, nem minden elempár ingázik [12] . $FR\ne RF$

Alcsoportok

Minden csoport, amelynek a sorrendje nem haladja meg a 12 -t, izomorf a Rubik-kocka csoport valamelyik alcsoportjával. Minden nem Abeli csoport, amelynek a sorrendje nem haladja meg a 24-et, szintén izomorf a Rubik-kocka csoport valamelyik alcsoportjával. A csoportok ( 13-as rendű ciklikus csoport ) és ( 26-os rendű diédercsoport ) nem izomorfak a Rubik-kockacsoport egyik alcsoportjával sem [13] . $C_{13}$ $D_{26}$

Csoportközpont

A csoport középpontja olyan elemekből áll, amelyek a csoport minden elemével ingáznak. A Rubik-kocka csoport középpontja két elemből áll: az identitástranszformációból és a szuperflipből [5] [13] .

Ciklikus alcsoportok

1981 júliusában Jesper C. Gerved és Torben Maack Bisgaard bebizonyította, hogy a Rubik-kocka csoport 73 különböző rendű elemet tartalmaz 1-től 1260-ig, és meghatározták az egyes lehetséges sorrendek elemeinek számát [14] [15] [16] .

Elemek sorrendje	Az arc elforgatásának sorrendje
négy	$F$
6	$R^{2}U^{2}$
63	$EN^{-1}$
105	$HU$
1260	$RU^{2}D^{-1}BD^{-1}$

A Rubik-kocka csoport ciklikus rendű alcsoportokat tartalmaz

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 40,4,4 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 495, 504, 630, 90, 40

Csak egy elemnek (a csoport azonossági elemének) van 1-es sorrendje; a második legritkább sorrend a 11 ( 44 590 694 400 elem ); az összes elem körülbelül 10,6% -a ( 4601524692892926000 ) 60 -as sorrendű [14] [16] .

A táblázat példákat mutat be bizonyos rendek elemeinek megfelelő arcforgatási sorozatokra [11] [17] [18] .

Négyzetek csoportja

A négyzetcsoport (négyzetcsoport) a lapok 180°-os elforgatásával létrehozott csoport alcsoportja [5] [19] : $G$

G_{sq}=\langle L^2,F^2,R^2,B^2,U^2,D^2\rangle

A négyzetcsoport sorrendje 663 552 [20] .

A négyzetcsoportot a Thistlethwaite algoritmus használja , melynek segítségével sikerült bebizonyítani, hogy 45 mozdulat elegendő a Rubik-kocka megoldásához.

Rubik-kocka szupercsoport

A Rubik-kocka lapjainak közepén elhelyezkedő címkék nem mozognak, hanem forognak. Egy szabályos Rubik-kockán a lapok középpontjainak tájolása láthatatlan.

Az összes Rubik-kocka-transzformáció csoportját, amelyeknek az arcközéppontja látható, Rubik-kocka szupercsoportnak nevezzük. Ez szor nagyobb, mint a csoport [5] . $\dfrac{4^6}{2}=2048$ $G$

Hamilton-ciklus a Cayley-gráfon

Van egy Hamilton-ciklus a Cayley-gráfon egy 12 generátorral rendelkező csoportról , amely megfelel a QTM-metrika mozgásainak . A talált ciklus 6 lapból csak 5-öt használ [21] [22] [23] . $K_q$ $G$

Van egy megfelelő Lovas-sejtés egy tetszőleges Cayley-gráfra.

Lásd még

Jegyzetek

↑ A szakirodalomban gyakran nem különül el három, szigorúan véve különböző fogalom – a Rubik-kocka állapota (konfigurációja), az átalakulás és az arcok ("mozgatás") fordulatsora. Lásd például Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Sarah Eisenstat, Anna Lubiw, Andrew Winslow. Algoritmusok a Rubik-kockák megoldásához . - "A Rubik-kocka konfigurációi, vagy ezzel egyenértékűen az egyik konfigurációból a másikba való átalakítások egy permutációs csoport alcsoportját alkotják, amelyet az alapvető csavaró mozdulatok generálnak." Letöltve: 2015. november 14. Az eredetiből archiválva : 2017. április 3. (határozatlan) . Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy állapotokról vagy olyan átalakulásokról beszélünk, amelyek az egyik állapotot átviszik a másikba.
↑ 1 2 Schönert, Martin Rubik - kocka elemzése GAP -pel . Letöltve: 2013. július 19. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ V. Dubrovszkij. A varázskocka matematikája // Kvant. - 1982. - 8. sz . - S. 22 - 27, 48 . (Orosz)
↑ Jaap Scherphuis. Rubik-kocka 3x3x3 . A pozíciók száma (angol) . Letöltve: 2013. július 19. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ 1 2 3 4 Jaap Scherphuis. Hasznos matematika . Letöltve: 2013. július 22. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ Ryan Heise. Rubik-kocka elmélet: A kocka törvényei (angol) . Letöltve: 2013. július 21. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; és Dethridge, J. Isten száma 20 . Hozzáférés dátuma: 2013. július 19. Az eredetiből archiválva : 2013. július 26.
↑ Weisstein, Eric W. Rubik- kocka . Letöltve: 2013. július 22. Az eredetiből archiválva : 2013. június 2.
↑ Lucas Garron. (R U2 D' B D')1260 (angol) . Letöltve: 2013. július 22. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ Joyner, David. Kalandok a csoportelméletben: Rubik-kocka , Merlin gépe és egyéb matematikai játékok . – Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. - 7. o . - ISBN 0-8018-6947-1 .
↑ 1 2 Jamie Mulholland. 21. előadás: Rubik-kocka: A kockacsoport alcsoportjai (hivatkozás nem elérhető) (2011). Archiválva az eredetiből 2015. november 24-én. (határozatlan)
↑ Davis, Tom. Csoportelmélet Rubik-kockán keresztül (2006). Letöltve: 2013. július 22. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5.. (határozatlan)
↑ 1 2 A Rubik-kocka matematikája, 1996 , p. 209.
↑ 1 2 David Singmaster. Köbös körlevél, 3. és 4. szám . Elemek sorrendje (34-35. o. ) . Letöltve: 2015. november 24. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 14..
↑ Walter Randelshofer. Lehetséges rendelések . Letöltve: 2015. november 24. Az eredetiből archiválva : 2015. november 24.. (határozatlan)
↑ 1 2 Jesper C. Gerved, Torben Maack Bisgaard. (Level David B. Singmasternek) (1981. július 27.). Archiválva az eredetiből 2015. augusztus 1-jén. (határozatlan)(levél D. Singmasternek a Rubik-kocka csoport egyes lehetséges sorrendjeinek elemszámát tartalmazó táblázatokkal)
↑ Matematikai miniatúrák, 1991 .
↑ Michael ZR Gottlieb. Rendelési kalkulátor . Hozzáférés időpontja: 2015. november 24. Az eredetiből archiválva : 2016. február 3. (határozatlan)
↑ A Rubik-kocka matematikája, 1996 , p. 234.
↑ Jaap Scherphuis. Kocka alcsoportok . Letöltve: 2013. július 22. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
↑ Bruce Norskog. Hamiltoni kör a Rubik-kockához! . A Cube fórum domainje. Letöltve: 2013. július 21. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5.. (határozatlan)
↑ Bruce Norskog. Hamiltoni kör a Rubik-kockához! . speedsolving.com. Letöltve: 2013. július 21. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5.. (határozatlan)
↑ A Rubik-kocka matematikája, 1996 , p. 129.

Irodalom

Joyner, David. Kalandok a csoportelméletben: Rubik-kocka , Merlin gépe és egyéb matematikai játékok . – Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. - ISBN 0-8018-6947-1 .
Savin A. P. Matematikai miniatúrák / E. Shabelnik művész. - M . : Gyermekirodalom , 1991. - S. 79-81. — 127 p. - (Tudd és tudd). - ISBN 5-08-000596-3 .
WD Joyner. A Rubik-kocka matematikája (1996). Hozzáférés dátuma: 2015. december 5. Az eredetiből archiválva : 2016. február 20. (határozatlan)

Linkek

WD Joyner. Előadásjegyzetek a Rubik-kocka matematikájáról (angol) . Letöltve: 2013. július 22. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 5..
Janet Chen. Csoportelmélet és a Rubik-kocka . Letöltve: 2022. március 28. Az eredetiből archiválva : 2019. szeptember 30. (határozatlan)