Nulla

0
nulla
← −2 −1 0 1 2 → _ _
Bináris	0
Octal	0
Hexadecimális	0
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

„Két alakja van: nulla és nulla . A terminológiai jelentésben (különösen közvetett esetekben) általában a másodikat használják, például: egyenlő nullával, a hőmérséklet nulla marad " [1] .
"... származékos jelzőt általában a nulla alakból képeznek , például: nulla meridián, nulla jel " [1] .

A nulla ( 0 , nulla lat. nullusból - nincs [2] ) olyan egész szám , amely bármely számhoz hozzáadva vagy abból kivonva nem változtatja meg az utolsót [3] , azaz ezzel az utolsóval egyenlő eredményt ad ; tetszőleges számot nullával megszorozva nullát kapunk [4] .

A Kuznyecov Nagy Magyarázó Szótár (2009) [5] a szó mindkét formáját: nulla, nulla – ekvivalensként idézi, bár van némi különbség a használatban. Különösen a zero formát használják gyakrabban a terminológiában, különösen közvetett esetekben, ezt veszik alapul a nulla melléknév képzésénél is - ennek megfelelően a nulla alakot gyakrabban használják névelőben (lásd az oldalsávot) .

A nulla rendkívül fontos szerepet játszik a matematikában és a fizikában [6] .

Nulla a matematikában

"nulla" szám a matematikában

A „nulla” szám egy matematikai előjel, amely kifejezi ennek a bitnek a hiányát a számok pozíciós számrendszerbeli jelölésében . Jelenleg ezt a számot szinte mindig "0"-val jelölik (a számok indo-arab jelölése szerint). A nulla számjegy, amely egy másik számjegytől jobbra van elhelyezve, egy számjeggyel növeli a bal oldali összes számjegy számértékét ( például decimális számrendszerben szoroz tízzel). Hasonlítsa össze például a 4 10 és 40 10 számokat ; 4 16 és 40 16 (az alsó index a számrendszer alapját jelenti). A nulla fogalma a történelemben egy speciális digitális szimbólumként jelent meg, amelyre a számok helyzeti számrendszerben történő írásakor szükség van . Ez a szimbólum azt jelzi, hogy a megfelelő bitben nincs érték, ami lehetővé tette, hogy ne keverjük össze például a bejegyzéseket $7,70,700.$

A 0-hoz az egész számok oszthatóságának különösen egyszerű jelei vannak társítva.

Tizedes számrendszerben:

Egy szám akkor és csak akkor osztható 10-zel, ha 0-ra végződik.
Egy szám akkor és csak akkor osztható 100-zal, ha két 0-ra végződik.

Hasonló oszthatósági jelek állnak rendelkezésre az 1000, 10000 stb. számokra.

A decimális rendszerben a 0 számhoz társított oszthatósági jelek különösen könnyen kombinálhatók a 2-vel és 5-tel való oszthatóság jeleivel, például:

Egy szám akkor és csak akkor osztható 20-zal, ha a szám utolsó számjegye 0, az utolsó előtti pedig páros.
Egy szám akkor és csak akkor osztható 50-zel, ha a szám utolsó számjegye 0, az utolsó előtti számjegye pedig 0 vagy 5.

Hasonló oszthatósági jelek állnak rendelkezésre a 200, 500, 2000, 5000 stb. számokra.

A „0” számhoz kapcsolódó oszthatósági jelek más számrendszerekben hasonlóak a decimálisakéhoz. Konkrétan minden k bázisú számrendszerben egy szám osztható kn-nel, ha n nullára végződik.

A "nulla" szám a matematikában

A természetes számokhoz tartozó

A természetes számok meghatározásának két megközelítése létezik – egyes szerzők a nullát természetes számok közé sorolják [7] , mások nem. Az orosz iskolai matematika tantervekben nem szokás nullát adni a természetes számokhoz, bár ez megnehezít néhány megfogalmazást (például különbséget kell tenni a maradékkal való osztás és az egész számmal való osztás között ). Kompromisszumként a források néha "kibővített természetes sorozatot" vesznek figyelembe, beleértve a nullát [8] .

Az összes természetes szám halmazát általában a szimbólummal jelöljük . Az ISO 31-11 (1992) és az ISO 80000-2 (2009) nemzetközi szabványok a következő elnevezéseket határozzák meg [9] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - természetes számok, beleértve a nullát is: . ${\megjelenítési stílus \{0,1,2,3,4\pontok\}}$
$\mathbb {N^{*}}$ - nulla nélküli természetes számok: . $\{1,2,3,4\dots\}$

Ugyanaz, mint az ISO-ban, a természetes számok halmazának jelölése az orosz GOST 2011: R 54521-2011 6.1 táblázatában van rögzítve [10] . Ennek ellenére az orosz forrásokban ezt a szabványt még nem tartják be - bennük a szimbólum a természetes számokat jelöli nulla nélkül, és például a kiterjesztett természetes sorozatot stb. [8] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0))$

A nulla alapvető tulajdonságai

0 egy egész szám .
A számegyenesen 0 választja el a pozitív és negatív számokat .

A nulla páros szám, mert ha elosztjuk 2-vel, az eredmény egy egész szám : . $0/2=0$
A nulla előjel nélküli . A negatív és pozitív infinitezimális konvenciók használhatók : , , de ezek nem a szokásos értelemben vett számok . $-0$ $+0$
Egyik szám sem változik , ha nullához adjuk : Bármely számból nullát kivonva ugyanazt a számot kapjuk [11] : . $a+0=0+a=a.$ $a-0=a$
Bármely számot nullával megszorozva nullát kapunk [11] :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

A nullát bármely nem nulla számmal elosztva nullát kapunk:

0/a=0

nál nél

a\neq 0.

Osztás nullával

A nullával való osztás egyetlen mezőben vagy gyűrűben sem lehetséges , beleértve a valós és komplex számok mezőit is.

Valójában, ha jelöljük , akkor definíció szerint az osztásnak formálisan nak kell lennie , míg a kifejezés bármely esetén egyenlő nullával. Más szóval, nincs inverz elem a nullához egyetlen mezőben sem.

{\frac {a}{0}}=b

b\cdot 0=a

b\cdot 0

b

Nullától eltérő komplex szám nullával való osztása lehetséges a kiterjesztett komplex síkon , és ennek eredménye egy pont a végtelenben.

Az egyes függvények jelentése

A nulla faktoriálisát a megegyezés szerint [12] eggyel egyenlőnek vesszük: . Egy ilyen megállapodás esetén a személyazonosság igaz lesz $0!=1$ $n!=(n-1)!\cdot n$ $n=1.$
A nulla bármely pozitív hatványra emelésének eredménye nulla: at . Nincs értelme nullát bármilyen negatív erőre emelni. $0^{a}=0$ $a>0$
Bármely szám (nulla kivételével) nulla hatványra emelésének eredménye egyenlő eggyel: . $a^{0}=1$
- A ( nullától nulla fokig ) kifejezést értelmetlennek [13] [14] [15] , azaz határozatlannak tekintjük. $0^{0}$

Ez annak a ténynek köszönhető, hogy egy pontban két változó függvényének van egy redukálhatatlan szakadása .

x^{y}

\{0,0\}

Valójában a tengely pozitív iránya mentén, ahol egyenlő eggyel, és a tengely pozitív iránya mentén, ahol egyenlő nullával.

x,

y=0,

Y,

x=0,

További részletekért lásd a Nulla a nulla hatványhoz című cikket . Nulla a geometriában

Egy pont nulldimenziós objektumnak tekinthető .
A síkban egy nulla koordinátájú pont a megfelelő koordinátatengelyen fekszik. Mindkét nulla koordináta egy origónak nevezett pontot határoz meg .
A háromdimenziós tér egy nulla koordinátájú pontja a megfelelő koordinátasíkon fekszik. A háromdimenziós tér egy pontját origónak is nevezzük, ha minden koordinátája nulla.
Hasonló állítások igazak bármely dimenziójú térre .
Egy körön a 0° és a 360° pozíciók egybeesnek.

Nulla a számításban

A hol és reláció határértékének kiszámításakor olyan helyzet adódik, hogy a közvetlen helyettesítés olyan kifejezést ad, amelynek értéke nincs definiálva. A bizonytalanságok feltárása során hét ilyen helyzet lehetséges, és ezek közül négyben formálisan nulla van: , , , . $(a/b)$ $a\jobbra nyíl 0$ $b\jobbra nyíl 0$ $(0/0)$ $\left({\frac {0}{0}}\jobb)$ $(0^{0})$ $(\infty ^{0})$ $(0\cdot\infty )$
Jól definiált helyzet akkor is lehetséges, ha egy végtelenül kicsi érték egyoldalú (jobb vagy bal) határértékét vesszük figyelembe:

Jobb oldali határ: _ vagy _ . $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$
Bal oldali korlát: _ vagy _ . $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$

Általánosítások (nulla az általános algebrában)

A nulla analógja bármely halmazban létezhet, amelyen az összeadás művelete definiálva van; az általános algebrában az ilyen elemet néha semleges elemnek , néha additív nullának , leggyakrabban nullának nevezik az összeadás tekintetében . Ilyen elem például a nullvektor és a nullmátrix . (Ha a szorzás művelete definiálva van a halmazon, akkor a szorzó egység tekinthető a nulla analógjának , vagy a szorzás mértékegységének , ha van ilyen.)

Az összeadással és szorzással is felszerelt algebrai szerkezetek tartalmazhatnak nulla analógját is. A nulla elem tartalmaz tetszőleges gyűrűt és speciális eseteit - a testet és a mezőt . Például a négyzetes nulla méretű mátrix a négyzetes mátrixgyűrű nulla eleme . A polinomok gyűrűjének van egy nulla eleme is - egy nulla együtthatós polinom, vagy egy nulla polinom , . $n\szer n$ $Minimális zajútvonal)$ $p(x)\ekvivalens 0$

Nulla az informatikában és a számítástechnikában

A "nulla" szám a számítástechnikában és a számítástechnikában

A számítógépek túlnyomó többsége bináris rendszeren alapul , vagyis a memóriájuk csak nullákat és egyeseket tartalmaz. A nem numerikus adatok szabványos kódolást használnak – például az IGAZ és HAMIS logikai fogalmakat általában 1-re, illetve 0-ra kódolják, a Unicode -ot pedig a különböző nyelvű szöveges adatokhoz fejlesztették ki .

Számítógéppel végzett munka során a 0 szám összekeverésének veszélye miatt a latin vagy orosz O betűvel , ami súlyos következményekkel járhat, egy időben volt egy ajánlás [16] a nulla : . Néha az ellenkezőjét tették: a Minsk-32 számítógépen történő programozáskor az O betűt húzták át, nem pedig a nullát [17] . Számos szövegterminál karaktergenerátora , videoadapter és mátrixnyomtató is áthúzott formában ad ki nullát, amikor szöveges módban dolgoznak (egyes nyomtatók beépített kapcsolókkal rendelkeztek az áthúzott nulla mód engedélyezéséhez és letiltásához) [18] [19] . Az IBM 3270 kijelzőkön a 0-s szám egy ponttal volt ábrázolva a közepén. A 0 szám és az O betű közötti vizuális megkülönböztetés továbbra is fontos követelmény a monospace betűtípusoknál . Az arányos betűtípusoknál az O betű észrevehetően szélesebb, mint a nulla, ezért az áthúzás általában nem szükséges. $\üres készlet$

Az áthúzott nullának nincs külön Unicode karaktere; U+0030 karakterként kaphatjuk meg, amelyet közvetlenül az U+FE00 követ, azonban az eredmény az aktuális betűtípustól és a böngészőtől is függ. Néha a skandináv betű (Ø), üres halmaz (∅) vagy átmérő (⌀) hasonló kinézetű szimbólumait használják helyette. Egyes OpenType-betűtípusok tartalmaznak egy speciális zero-strike opciót, amelyre a CSS -ben van egy speciális opció font-feature-settings: zero.

A "nulla" szám a számítástechnikában és a számítástechnikában

A számítógépekben létezik a „ gép nulla ” fogalma - ez egy lebegőpontos szám és egy olyan negatív sorrend, amelyet a számítógép nullaként érzékel.

Az adatreprezentáció másik jellemzője a számítástechnikában: sok programozási nyelvben az adattömb elemeit nem a megszokott egységtől, hanem nullától számozzák, így a valós M(n) leírása .tömböt jelent A Microsoft .NET Framework platform megszilárdította ezt a szabványt, és le is fordította a Visual Basic -et , amely eredetileg egyből használt számozást. $M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.$

Az SQL adatbázisokban egy mezőnek lehet speciális értéke NULL , ami nem nullát, hanem meghatározatlan értéket jelent. Minden olyan kifejezés, amely NULL-t tartalmaz, NULL-t eredményez.

Matematikában ; vagyis ugyanazt a számot képviselik, nincs külön pozitív és negatív nulla. Egyes számítógépes formátumokban (például az IEEE 754 szabványban vagy az előre és visszafelé irányuló kódban ) azonban a nullának két különböző ábrázolása létezik: pozitív (pozitív előjellel) és negatív; lásd -0 (programozás) a részletekért . Ezek az eltérések azonban nem befolyásolják a számítások eredményeit. $-0=+0=0$ $-0,+0$

Tizedes ábrázolás	Bináris ábrázolás (8 bit)
Tizedes ábrázolás	egyenes	vissza	további
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000

History of Zero

A 0-s szám története

A 0 szám egyszerre jelent meg a pozicionális (helyi) számozás megjelenésével – Indiában decimális , Babilonban pedig hatszázas számozással.

Ókori Kelet

A babiloni matematikusok a hatszázalékos nullát jelezték, először egy rést, majd egy speciális ékírásos jelet, „kettős ék”; Feltételezik, hogy az utolsó jelvényt a babilóniaiak használták Kr.e. 300 körül. e., és sumér tanáraik valószínűleg még korábban is ezt tették. A babiloni bölcsek „kettős ékének” szimbólumának azonban soha nem volt önálló jelentése, és nem számként, hanem szám hiányaként fogták fel; ráadásul soha nem került számbejegyzés végére, így mondjuk a 2-es és a 120-as (2×60) számokat kontextus alapján kellett megkülönböztetni [20] [21] .

A 0 szám hiányzott a római, görög és kínai számrendszerben. Ettől a számtól eltekintettek azzal, hogy egyes szimbólumokhoz nagy számértékeket rendeltek. Például a 100-as számot a görög számrendszerben a Ρ betűvel, a rómaiban - a C betűvel, a kínaiban - a 百 hieroglifával jelölték.

Maya és inkák

A Maja Birodalom a Yucatán-félszigeten i.e. 300 körül létezett . e. i.sz. 900-ig e. A maják a nullát csaknem egy évezreddel korábban használták vigesimális számrendszerükben , mint az indiánok, de csak a papok és csak naptári szükségletek kielégítésére (a mindennapi életben a maják a hieroglif ötös rendszert használták) [22] . Az első fennmaradt sztélé maja naptári dátummal 7.16.3.2.13, 6 Ben 16 Shul, azaz ie 36. december 8. e.

Különös, hogy a végtelent is a maja matematika ugyanazzal a jelével jelölték , mivel ez a szó európai értelmében nem nullát jelentett, hanem „kezdetet”, „okot” [23] . A hónap napjainak számolása a maja naptárban a nulladik nappal kezdődött, amit Ahau -nak hívtak .

Tahuantinsuyu inka birodalmában a pozicionális decimális számrendszeren alapuló csomóponti quipu rendszert használták a numerikus információk rögzítésére . Az 1-től 9-ig terjedő számokat egy bizonyos típusú csomók jelölték, nulla - a kívánt pozícióban lévő csomó átugrásával. A mai kecsuában a nullát a kecsua ch'usaq szó jelöli (szó szerint "hiányzó", "üres"), de hogy az inkák milyen szót használtak a nulla jelölésére a quipu olvasásakor, az még nem világos, mert pl. néhányban az első kecsua spanyol ( Diego González Holguín , 1608) és az első aymara-spanyol ( Ludovico Bertonio , 1612) nem talált párja a spanyol "cero" - "nulla".

India

Indiában a "nulla" számot szanszkrit śūnyaḥ ("üresség"; "hiány") szónak nevezték , és széles körben használták a költészetben és a szent szövegekben. Nulla nélkül lehetetlen lett volna az Indiában feltalált számok tizedes helymeghatározása . A nulla első karaktere az i.sz. 876-ból származó indiai " Bahshali kéziratban " található. úgy néz ki, mint egy vastag pont vagy egy kitöltött kör, amelyet később śūnya-binduḥ "üres pontnak" neveztek [24] [25] .

Az indiánoktól az arabokon keresztül, akik a 0 számot ṣifr -nek nevezték (innen ered az alak , titkosítás és az olasz zero , zero szavak ), Nyugat-Európába jutott [26] .

Európa

Bécsben a 15. századi, Konstantinápolyban ( Isztambulban ) beszerzett kézírásos aritmetikát tárolják, amelyben görög számjeleket használnak a nulla ponttal történő megjelölésével együtt [27] . A 12. századi arab értekezések latin fordításában a nulla (0) jelét körnek nevezik . A nyugati országok számtantanítására nagy hatást gyakorló Sacrobosco -kézikönyvben, amelyet 1250-ben írtak, és nagyon sok országban újranyomtak, a nullát „ thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili ” - theta vagy teka -nak nevezik , vagy kör , vagy alak , vagy a semmi jele . A nulla figura kifejezés - nincs jel - a 12. századi arab művek kézírásos latin fordításaiban és feldolgozásaiban jelenik meg. A nulla kifejezés megtalálható Nicolas Schuquet 1484-es kéziratában és az első nyomtatott ún. (megjelenés helye szerint) Trevize aritmetikában (1478) [28] .

A 16. század eleje óta Németországban és más országokban is elterjedt a „nulla” szó, eleinte idegen szóként és latin nyelvtani alakban, de fokozatosan e nemzeti nyelvre jellemző formát ölt.

Oroszország

Leonty Magnyickij „ Aritmetikájában ” a 0 jelet „számjegynek vagy semminek” nevezi (a szöveg első oldala); a táblázat második oldalán, ahol minden számjegy nevet kap, a 0-t " nincs "-nek nevezzük. A 18. század végén X. Wolf " A matematika első alapjainak rövidítései " második orosz kiadásában ( 1791 ) a nullát számnak is nevezik . A 17. századi matematikai kéziratokban, indiai számokat használva, a 0-t "on " -nak nevezik az o betűhöz való hasonlóság miatt [29] .

A "nulla" szám története

Bár az egyiptomi számrendszerben nincs 0 , az egyiptomi matematikusok már a Középbirodalomból (Kr. e. 2. évezred eleje) az nfr („szép”) hieroglifát használták helyette, ami egyben a visszaszámlálás kezdetét is jelentette. a templomok, piramisok és sírok sémái [30] .

A kínai számjegyekben a „nulla” szám szintén hiányzik; a „nulla” szám jelölésére a 〇 jelet használják – ez az egyik „ Wu Zetian császárné hieroglifája ”.

Az ókori Görögországban a 0-t nem ismerték. Claudius Ptolemaiosz csillagászati táblázataiban az üres cellákat az ο szimbólummal jelölték ( omicron betű , más görögből οὐδέν - semmi ); lehetséges, hogy ez a megjelölés befolyásolta a „nulla” szám megjelenését, de a legtöbb történész elismeri, hogy az indiai matematikusok találták fel a decimális nullát .

Európában a 0-t sokáig hagyományos szimbólumnak tekintették, és nem ismerték fel számként; még a 17. században is ezt írta Wallis : "A nulla nem szám." A számtani írásokban a negatív számot adósságként, a nullát pedig a teljes tönkremenetel helyzeteként értelmezték. Leonhard Euler munkái különösen hozzájárultak jogainak más számokkal való teljes kiegyenlítéséhez .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 D. E. Rosenthal . Útmutató a helyesíráshoz, kiejtéshez, irodalmi szerkesztéshez. X. fejezet Számnevek helyesírása. Archiválva : 2015. január 12., a Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
↑ Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára, 1985 .
↑ Zero // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 1082.
↑ Zero // Nagy enciklopédikus szótár . – 2000. (Orosz)
↑ Az orosz nyelv nagy magyarázó szótára. Ch. szerk. S. A. Kuznyecov. Első kiadás: St. Petersburg: Norint, 1998.
↑
A legfontosabb szám a nulla. Zseniális ötlet volt a semmiből valamit csinálni, nevet adni és szimbólumot találni neki.
- Van der Waerden B. L. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. - M .: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Az elemi matematika történelmi gyökerei (angol) . - Courier Dover Publications , 1976. - P. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Kivonat a 254–255. oldalakból archiválva : 2016. május 10. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra és elemi függvények elemzése. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 p.
↑ 80000-2:2009 nemzetközi szabvány. 2. rész . NCSU COE emberek . Letöltve: 2019. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2019. február 28.. (határozatlan)
↑ GOST R 54521-2011 Statisztikai módszerek. Matematikai szimbólumok és jelek a szabványokban való alkalmazáshoz (újrakiadás), 2011. november 24. - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Letöltve: 2022. január 14. Az eredetiből archiválva : 2021. július 9.. (határozatlan)
↑ 1 2 Savin A.P. Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / összeáll. A. P. Savin. - M . : "Pedagógia", 1989. - S. 219.
↑ Tsypkin A. G. Matematika kézikönyve középiskoláknak / Szerk. S. A. Stepanova. - 3. kiadás - M. : Nauka, 1983. - S. 415. - 480 p.
↑ Milyen ereje van egy számnak? Archiválva : 2021. július 28. a Wayback Machine -nél // Iskolai matematika, internetes forrás.
↑ Miért egyenlő a 0 hatványához tartozó szám 1-gyel? Archív másolat 2015. április 2-án a Wayback Machine -nél // Naukolandiya, internetes forrás.
↑ Power function Archivált : 2015. április 2. a Wayback Machine -nél // Great Soviet Encyclopedia. - M .: Szovjet Enciklopédia 1969-1978.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Programing in Assembler Language of the ES Computer. — M .: Statisztika, 1976. — 296 p. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Támogatás a számítástechnikai központok alkalmazottai számára. - M . : Statisztika, 1973. - 284 p.
↑ Bryabrin V. M. Szoftver személyi számítógépekhez. 3. kiadás — M .: Nauka , 1990. — 272 p. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. Szoftver személyi számítógépekhez. - L .: Mashinostroenie, 1990. - 272 p. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Más kultúrák speciális számai → 116 // Figyelemre méltó számok. Zero, 666 és egyéb vadállatok. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 p. — (Matematika világa). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ Bárány, Evelyn (2014. augusztus 31.), Nézd, anya, nincs nulla! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Archivált : 2014. október 17. a Wayback Machine -nél
↑ Menninger K. A számok története. Számok, szimbólumok, szavak . - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S. 469 -470. — 543 p. — ISBN 9785952449787 .
↑ Laura Laurencich-Minelli. A mezoamerikai és andoki „nulladik objektum” különös fogalma és az inka számistenek logikája . Archiválva az eredetiből 2012. július 23-án. (határozatlan)
↑ Fuss Around Zero . Letöltve: 2017. szeptember 19. Az eredetiből archiválva : 2017. szeptember 20. (határozatlan)
↑ Sok lárma a semmiért : az ősi indiai szöveg a legkorábbi nulla szimbólumot tartalmazza . The Guardian (2017. szeptember 14.). Letöltve: 2017. szeptember 19. Az eredetiből archiválva : 2017. november 20.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Más kultúrák speciális számai → 116 // Figyelemre méltó számok. Zero, 666 és egyéb vadállatok. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 p. — (Matematika világa). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ "Zentralblatt für Mathematik", 1957. április, G. Vetter cseh matematikatörténész közleménye.
↑ Depman, 1965 , p. 89.
↑ Depman, 1965 , p. 90.
↑ Joseph, George Gheverghese. A páva címere: A matematika nem európai gyökerei (harmadik kiadás) (angol) . – Princeton University Press , 2011. – 86. o . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Irodalom

Depman I. Ya. Az aritmetika története . - 2. kiadás, átdolgozott. - M . : Nevelés, 1965. - 417 p.
Lamberto Garcia del Cid. Az első természetes számok és értékük → 0 egy kétértelmű szám // Figyelemre méltó számok. Zero, 666 és egyéb vadállatok. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 14-15. — 159 p. — (Matematika világa). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Nulla // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. A. P. Savin. - M . : Pedagógia , 1985. - S. 219 . — 352 p.
Biztonságban, Charles. Nulla. Egy veszélyes eszme életrajza = Zero: A Dangerous Idea életrajza. - Neoklasszikus, AST, 2014. - 288 p. - ISBN 978-5-17-083294-1 .
Kaplan, Robert. A semmi, ami van. A nulla természetrajza . - Oxford: Oxford University Press, 2000. - 226 p. — ISBN 0-19-512842-7 .
Wells, David. 0 // A kíváncsi és érdekes számok pingvin szótára . - Penguin Books, 1986. - S. 23-26 . — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5 .

Linkek

A nulla története
Miért nem lehet nullával osztani?
Számok szimbolikája (nulla) /S. Curius / "Time Z" 2007/2. sz
A "nulla" és a "semmi" fogalmának összehasonlításáról Smirnov OA - MEPhI-2003 tudományos ülésszak.
A nulla szám tulajdonságai
JJ O'Connor, E. F. Robertson. A Zero története . MacTutor Matematikatörténeti archívum . Matematikai és Statisztikai Iskola, St Andrews Egyetem, Skócia (2000. november). (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online) Brockhaus
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 12089393x GND : 4368215-7 J9U : 987007534242405171 LCCN : sh85149761 NKC : ph323412

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Egész számok

100-ig
0 egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 22 23 24 25 26 27 28 29 harminc 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 ötven 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 és több