Kernel (lineáris algebra)

A lineáris leképezés kernelje a leképezési tartomány olyan lineáris altere , amelynek minden eleme egy nullvektorra van leképezve [1] [2] . Ugyanis, ha lineáris leképezést adunk két V és W vektortér között, akkor az L leképezés magja a V tér összes elemének vektortere úgy, hogy ahol a W [3] -ból származó nulla vektort jelöli , vagy több. formálisan:

Tulajdonságok

Az L térkép magja a V tartomány lineáris altere [4] . Lineáris leképezésben V két elemének akkor és csak akkor van ugyanaz a képe W -ben , ha különbségük L magjában van :

Ebből következik, hogy az L kép izomorf a V tér hányadosterével a kernelhez képest:

Abban az esetben, ha V véges dimenziós , ez magában foglalja a rang- és hibatételt :

ahol rang alatt az L leképezés képének dimenzióját értjük, a defekten pedig az L leképezés magjának dimenzióját [ 5] .

Ha V egy pre-Hilbert tér , akkor a hányadosteret a V tér ortogonális komplementerével azonosíthatjuk . Ez a sortér vagy mátrix koimage lineáris operátorainak általánosítása .

Alkalmazás modulokhoz

A kernel fogalmának van értelme a modulhomomorfizmusok esetében is, amelyek vektorterek általánosításai, ahol a skalárok egy gyűrű elemei , nem pedig egy mező . A leképezés hatóköre egy olyan modul, amelynek kernellel almodult képez . Itt a kernel rangjának és dimenziójának fogalma nem kötelező.

A funkcionális elemzésben

Ha a és topológiai vektorterek , és véges dimenziós, akkor a lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos , ha a leképezés magja a tér zárt altere .

Ábrázolás mátrixszorzásként

Tekintsünk egy lineáris leképezést, amelyet egy méretmátrix reprezentál a mezőből származó együtthatókkal (általában vagy -ból), vagyis a mezőből származó elemekkel rendelkező oszlopvektorokon működik . Ennek a lineáris leképezésnek a magja az egyenlet megoldásainak halmaza , ahol a nulla vektort értjük . A mátrix kernel dimenzióját a mátrix defektusának nevezzük . A halmazokon végzett műveletek formájában

A mátrix egyenlet ekvivalens a homogén lineáris egyenletrendszerrel :

Ekkor a mátrix magja megegyezik a fenti homogén egyenlethalmaz megoldásával.

Altér tulajdonságai

A mező feletti mátrix magja egy lineáris altér . Vagyis a halmaz mátrix magja a következő három tulajdonsággal rendelkezik:

  1. mindig nullvektort tartalmaz, mert .
  2. Ha és , akkor . Ez a mátrixszorzás eloszlási tulajdonságából következik.
  3. Ha a skalár , akkor mivel .

Sorköz mátrix

A szorzat a vektorok pontszorzatával a következőképpen írható fel :

Itt vannak a mátrix sorai . Ez azt jelenti, hogy akkor és csak akkor tartozik a mátrix magjához , ha a vektor merőleges (merőleges) a mátrix minden sorvektorára (mivel az ortogonalitást úgy határozzuk meg, hogy a skaláris szorzat nullával egyenlő).

A mátrix sortere vagy koimage a mátrix sorvektorainak lineáris fesztávja . A fenti okok miatt a mátrix kernel a sortér ortogonális kiegészítése . Vagyis egy vektor akkor és csak akkor fekszik a mátrixmagban , ha merőleges a mátrix sorteréből származó bármely vektorra .

A mátrix sorterének dimenzióját a mátrix rangjának , a mátrixmag dimenzióját pedig a mátrix defektusának nevezzük . Ezeket a mennyiségeket a rang és hiba tétel

[5]

Null szóköz maradt (cokernel)

A mátrix bal oldali nulltere vagy kokernelje minden olyan vektorból áll , ahol , ahol a mátrix transzpozícióját jelöli . A mátrix bal oldali nulltere megegyezik a mátrix magjával . A mátrix bal oldali nulltere ortogonális a mátrix oszlopterére , és duális a kapcsolódó lineáris transzformáció kokszmagjára . A mátrix kernel-, sor-, oszlop- és baloldali nulltere a mátrixhoz társított négy alapvető altér .

Inhomogén lineáris egyenletrendszerek

A kernel fontos szerepet játszik a nem homogén lineáris egyenletrendszerek megoldásában is:

Legyenek tehát a és a vektorok a fenti egyenlet megoldásai

Így a rendszer bármely két megoldása közötti különbség a mátrix magjában rejlik .

Ez azt jelenti, hogy az egyenlet bármely megoldása kifejezhető egy rögzített megoldás és a kernel valamely elemének összegeként. Vagyis az egyenlet megoldásainak halmaza az

Geometriailag ez azt jelenti, hogy az egyenlet megoldásainak halmaza a mátrixmag vektorba történő párhuzamos átvitelével jön létre . Lásd még: Fredholm Alternative .

Illusztráció

Az alábbiakban egy mátrix magjának kiszámításának egyszerű illusztrációja látható (lásd lent a Gauss-számítást a bonyolultabb számításokhoz alkalmasabb módszerért). Az illusztráció érinti a karakterlánc-közöket és azok kapcsolatát a kernellel.

Tekintsük a mátrixot

Ennek a mátrixnak a magja minden olyan vektorból áll, amelyekre

amely homogén lineáris egyenletrendszerként fejezhető ki , és :

Ugyanezek az egyenlőségek mátrix formában is felírhatók:

A Gauss-módszerrel a mátrix a következőre redukálható:

A mátrix egyenletekké alakítása a következőket kapja:

A kernel elemei paraméteres formában a következők szerint fejezhetők ki:

Mivel egy szabad változó , amely az összes valós számon fut, ez a kifejezés ekvivalens módon átírható a következőképpen:

A mátrix magja pontosan ezen egyenletek megoldásainak halmaza (jelen esetben az origón átmenő egyenes ). Itt a (−1,−26,16) T vektor képezi a mátrix magjának alapját . A mátrix hiba 1.

A következő ponttermékek nullák:

ami azt mutatja, hogy a mátrix kernelvektorai ortogonálisak a mátrix minden sorvektorára .

E két (lineárisan független) sorvektor lineáris fesztávja a vektorra merőleges sík .

Mivel a mátrix rangja 2, a mátrixmag dimenziója 1, a mátrix dimenziója pedig 3, van egy szemléltetésünk a rang- és hibatételről.

Példák

, akkor az L operátor magja a rendszer megoldásainak halmaza Ekkor L rendszermagja minden olyan függvényből áll, amelyre . Ekkor D magja az összes olyan függvényből áll , amelyeknek deriváltja nulla, azaz az összes konstans függvényből . Ekkor az s operátor magja egy egydimenziós altér lesz, amely az összes vektorból áll .

Gauss-számítások

A mátrix magjának alapja a Gauss-módszerrel számítható ki .

Ebből a célból, adott egy mátrixot , először létrehozunk egy sorbővített mátrixot , ahol az azonosságmátrix .

Ha a mátrix oszloplépcsős alakját Gauss-módszerrel (vagy bármilyen más alkalmas módszerrel) számítjuk ki, akkor megkapjuk a mátrixot . A mátrixmag alapja a mátrix nem nulla oszlopaiból áll, így a mátrix megfelelő oszlopai a nullák .

Valójában a számítás leállítható, amint a mátrix oszloplépcsős formát ölt - a számítás többi része az oszlopok által alkotott vektortér bázisának megváltoztatásából áll, amelynek teteje nullával egyenlő.

Például képzeljük el azt

Akkor

Ha a felső részt oszlopokon végzett műveletek segítségével lépcsőzetes formára redukáljuk, akkor azt kapjuk

A mátrix utolsó három oszlopa nulla. Ezért a mátrix utolsó három vektora ,

a mátrix kernel alapja .

Bizonyíték arra, hogy a metódus kiszámol egy kernelt: mivel az oszlopműveletek egy invertálható mátrixszal való jobb oldali szorzásnak felelnek meg, az a tény, hogy redukálódik, azt jelenti, hogy létezik olyan invertálható mátrix , amelynek hol van lépése. A Akkor és Oszlopvektor akkor és csak akkor tartozik a mátrix magjához (azaz ) Mivel lépcsős alakja van, akkor és csak akkor, ha a nem nulla elemek a mátrix nulla oszlopainak felelnek meg A -val való szorzás után megállapíthatjuk, hogy ez akkor és csak akkor történik meg, ha a mátrix megfelelő oszlopainak lineáris kombinációja

Numerikus számítások

A kernel számítógépen történő kiszámításának feladata az együtthatók természetétől függ.

Pontos esélyek

Ha egy mátrix együtthatóit pontos számokként adjuk meg, akkor a mátrix lépésformája a Bareis algoritmussal számítható ki , amely hatékonyabb, mint a Gauss-módszer. Még hatékonyabb a modulo-összehasonlítás és a kínai maradéktétel alkalmazása , amelyek a problémát több hasonló problémára redukálják véges mezők felett (ami csökkenti az egész számok szorzása nemlineáris számítási bonyolultsága által generált többletterhelést).

Véges mezőből származó együtthatók esetén a Gauss-módszer jól működik, de a titkosításban és a Gröbner-bázis kiszámításában előforduló nagy mátrixok esetében jobb algoritmusok ismertek, amelyek számítási bonyolultsága közel azonos , de gyorsabbak és alkalmasabbak a modern számítógépes eszközökre . .

Lebegőpontos számítások

Azon mátrixok esetében, amelyek elemei lebegőpontos számok , a kernel kiszámításának csak olyan mátrixok esetében van értelme, amelyek sorainak száma megegyezik a rangjával - a kerekítési hibák miatt a lebegőpontos mátrixok szinte mindig teljes rangúak , sőt amikor ezek egy sokkal alacsonyabb rangú mátrix közelítései. Még egy teljes rangú mátrix esetében is csak akkor számítható ki a kernel, ha jól kondicionált , azaz alacsony feltételszámú [6] .

Egy jól kondicionált teljes rangú mátrix esetében pedig a Gauss-módszer nem működik megfelelően: a kerekítési hibák túl nagyok ahhoz, hogy értelmes eredményt kapjunk. Mivel a mátrixmag számítása egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásának speciális esete, a kernelt bármilyen homogén rendszerek megoldására kialakított algoritmussal ki lehet számítani. Az erre a célra szolgáló fejlett szoftver a Lapack könyvtár .

Lásd még

Jegyzetek

  1. A felsőbb matematikai szakzsargon végleges szószedete - Null . Math Vault (2019. augusztus 1.). Letöltve: 2019. december 9.
  2. Weisstein, Eric W. Kernel . mathworld.wolfram.com . Letöltve: 2019. december 9.
  3. Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki . briliáns.org . Letöltve: 2019. december 9.
  4. A cikkben tárgyalt lineáris algebra egy jól bevált matematikai tudományág, amelyhez számos könyvet találhatunk. A cikk szinte teljes anyaga megtalálható Lay ( Lay, 2005 ), Meyer ( Meyer, 2001 ) és Strang előadásaiban.
  5. 1 2 Weisstein, Eric W. Rank-Nullity tétel . mathworld.wolfram.com . Letöltve: 2019. december 9.
  6. Archivált másolat . Letöltve: 2015. április 14. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 29.

Irodalom

Linkek