Végtelenség

A végtelen az emberi gondolkodás azon kategóriája, amely határtalan, korlátlan, kimeríthetetlen tárgyak és jelenségek jellemzésére szolgál, amelyek számára lehetetlen határokat vagy mennyiségi mértéket megjelölni [1] . Használt, szemben a véges, megszámlálható, határértékkel. A matematikában , a logikában és a filozófiában szisztematikusan kutatott kérdéseket is tanulmányoznak a végtelenség észlelésével, állapotával és természetével kapcsolatban a pszichológiában , a teológiában és a fizikában .

Történelmileg a végtelenség első problémái a tér és az idő végességének, a világban lévő dolgok számának kérdései, összetettebb problémák - a kontinuum végtelen felosztásának lehetősége , a végtelen objektumokkal való működés lehetősége (a a tényleges végtelen probléma ), az infinitezimális mennyiségek természete és viselkedése - infinitezimals , a különböző típusú végtelen jelenléte és a köztük lévő kapcsolat [1] . A végtelen legmélyebb vizsgálatára a halmazok matematikai elméletében került sor, amelyben többféle mérési rendszert építettek ki különféle típusú végtelen objektumok mérésére, azonban további mesterséges korlátozások nélkül az ilyen konstrukciók számos paradoxont okoznak , módot ezek leküzdésére a halmazelméleti konstrukciók státusza, általánosításaik és alternatíváik jelentik a modern filozófusok végtelen-kutatásának fő irányát .

Alapfogalmak

Potenciális és tényleges végtelen

A végtelent egy bizonyos folyamat határtalanságának tekinthetjük, például amikor Eukleidész második posztulátuma azt állítja, hogy tetszőleges egyenes korlátlanul és folytonosan folytatható, ez azt jelenti, hogy a folyamat folyamatosan folytatható, de egy ilyen független léte. tárgy mint végtelen egyenes nem következik belőle. Az ilyen folyamatokat és tárgyhalmazokat, amelyek leírják, potenciális végtelenként jellemezzük (a skolasztikában a „ szinkategorematikus végtelen ” kifejezést használják), a potenciálisan végtelen nem jelent integrált végtelen objektumokat és jelenségeket, a végtelen folyamat minden fázisában csak véges entitások. figyelembe veszik, vagyis csak részleges tagadása a végesnek [1] .

Alternatíva a tényleges végtelenség fogalma (a skolasztikában - " kategorimatikus végtelen "), ami azt jelenti, hogy a véges mérhetetlen tárgyakat adottnak, valóban létezőnek, ugyanakkor egységesnek és integráltnak tekintjük, amellyel lehet operálni [ 1] . Ebben a szellemben a tényleges végtelent - a véges közvetlen és teljes tagadásaként - a misztikusok használják különféle isteni kategóriák jellemzésére, a mai matematikusok valójában végtelen halmazokkal és valójában végtelen dimenziós terekkel . A filozófiában, a teológiában, a logikában, a matematikában és a természettudományban a tényleges végtelenség elfogadhatóságáról és tartalmáról alkotott elképzelések a kérdés teljes mérlegelési ideje alatt jelentősen megváltoztak.

Minőségi és mennyiségi végtelen

A minőségi végtelen egy kategória, amely meghatározza a tárgyak és jelenségek összefüggéseinek univerzális, kimeríthetetlen, univerzális természetét [2] , mivel a minőségileg végtelent különböző filozófiai iskolákban különböző időpontokban veszik figyelembe, mint például az Abszolút , Kozmosz , Isten , Elme és mások.

A kvantitatív végtelen olyan folyamatokat és tárgyakat jellemez, amelyek mérése véges mennyiségekkel lehetetlen, a matematikusok kvantitatív végtelennel operálnak, tanulmányozzák például a végtelen sorozatok, végtelen dimenziós terek, végtelen számú elem halmazának tulajdonságait; a logikában és a filozófiában az ilyen, mennyiségi végtelenséggel végzett munka lehetőségeit és korlátait tárják fel.

Continuum

A kontinuum ( lat. kontinuum ) a végtelenség egy formája, amely a folytonosság gondolatára utal, az objektumok integritására abban az értelemben, hogy végtelenül feloszthatók alkotórészekre, és e folyamat lehetséges végtelenségére utal. A folytonosság ellentétes a diszkrétséggel , a folytonossággal, az oszthatatlan (atomi) komponensek jelenlétével. A kontinuum a számtengely szegmenseit ( kontinuum a halmazelméletben ), egy bizonyos típusú korlátos és elválasztható tereket képvisel, amelyek bizonyos értelemben hasonlóak a számtengely szegmenseihez ( topológiában kontinuum ), a végtelen tulajdonságainak tanulmányozása alapján. a kontinuum oszthatósága a matematikában, kialakult a kontinuitás fogalma . A kontinuum ontológiai természetére, a kontinuum természettudományi státuszára vonatkozó kérdések az ókor óta számos filozófus munkájában tükröződnek [3] .

Infinitezimális

Az infinitezimálisok olyan infinitezimálisok, amelyek potenciálisan végtelen folyamatokban jelennek meg, amelyeket az értékek egymást követő csökkenése jellemez, különösen a kontinuum alkotórészekre való felosztásakor, csökkenő numerikus sorozatokban, néha az univerzum vagy a tudat atomi szerkezetének elképzelésében. Az infinitezimálisok Newton és Leibniz által az infinitezimális számításban alkotott matematikai leírása a matematikai elemzés alapja lett [4] .

A matematikában

Számelmélet

A végtelennel kapcsolatos korai elképzelések egyik fő forrása a természetes számok és a természetes sorozatok potenciális végtelensége volt . Az egyik első nem triviális eredmény a végtelenre vonatkozóan a számelméletben a prímszámok halmaza végtelenségének ellentétes bizonyítékának tekinthető Eukleidész " Elvei " [5]-ben : ha feltételezzük, hogy a prímszámok halmaza véges, akkor az ebből a halmazból származó egynek és az összes szám szorzatának összegével egyenlő szám egyik sem osztható, ugyanakkor vagy maga a prím, vagy osztható olyan prímszámmal, amely nem szerepel a halmazban. eredeti készlet; mindkettő ellentmond az eredeti feltevésnek. A végtelen számelméleti ítélete a Galilei paradoxont képviseli: minden szám a négyzetéhez köthető , vagyis legalább annyi négyzet van, mint minden szám, de nem minden szám gyöközhető, vagyis a négyzetek csak részei az összes szám halmaza [6] .

A számelméletben a tényleges végtelen bármilyen absztrakciójának használata nem szükséges, azonban számos problémája a végtelenség feltételeinek megfogalmazásához kapcsolódik, például 2019-től a prímszámok halmazának modulo végtelenségére vonatkozó kérdések amely egy adott egész szám primitív gyök ( Artin hipotézise ), az ikerprímek halmazának végtelensége, a szomszédos prímpárok tetszőleges páros számú halmazának végtelensége, amelyek közötti különbség egyenlő vele ( Polignac hipotézise ), az ikerprímek halmazának végtelensége tökéletes számok halmaza .

Végtelen sorok

A végtelen sorozat használatának első bizonyítéka Arkhimédésznél található a Parabola kvadratúrájában, ahol az egyenes és a parabola közé zárt szakasz területeinek 4:3 arányára vonatkozó állítás bizonyítására , valamint a háromszög , amelynek alapja azonos és magassága vele megegyezik, összegzi a végtelen sorozatot :

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n))}=1+{\frac {1}{4^{1))}+{\frac {1 }{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \over 3}

majd ellentmondásos módszerrel újraellenőrzi az eredményt [7] .

Az 1340-es években Swainshead először talált egy végtelen sorozat összegét, amely nem egy egyszerű csökkenő geometriai progresszió :

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3 } + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2

Oresme a 14. században is végtelen sorozatokkal dolgozik, világos geometriai bizonyítások segítségével meglehetősen nem triviális numerikus sorozatok összegeit kapja, (bizonyíték nélkül) megtalálja a végtelen geometriai progresszió összegének képletét, és bizonyítja a harmonikus sorozat [7] .

A 16. században Orem eredményeit felhasználva Tomas megtalálja néhány végtelen progresszió összegét, amelyet összetett törvények alkotnak [7] . Indiában a 15. században a trigonometrikus függvények végtelen hatványsorokká való kiterjesztését [7] kapták , a legjelentősebb hozzájárulást a Sangamagramából származó Madhava [8] tette .

Mengoli egy 1650 -ben megjelent értekezésében a sorozatok számos fontos tulajdonságát megállapítja, bevezeti a sorozat maradékának fogalmát, ezáltal implicit módon a sorozatokat integrál objektumoknak tekinti, és bizonyítja az általánosított harmonikus sorozatok divergenciáját is [9] . Mercator 1668 -ban fedezte fel a logaritmikus függvény kiterjesztését egy hatványsorban [10] , 1667 -ben pedig Gregory - a trigonometrikus függvények kiterjesztését , végül Taylor , általánosítva Mercator, Gregory és Newton eredményeit , 1715 -ben megmutatja a Lehetőség van arra, hogy egy adott ponton bármely analitikus függvényt végtelen sorozattá bővítsünk, ezáltal lehetőség nyílik egy kiterjedt függvényosztály értékeinek végtelen összegekkel történő ábrázolására.

Infinitezimális számítás

Bár az ókor óta ismert kimerülési módszer és az oszthatatlanok módszere , amelyet Cavalieri fogalmazott meg 1635-ben, bizonyos mértékig alkalmazza az infinitezimálisra való redukciót, az első kísérleteket az infinitezimálisokkal végzett műveletek algebrazálására Wallis , Barrow és Gregory tette az év közepén. a 17. században, kifejezett formában az infinitezimálisok matematikai absztrakcióját az 1680-as években Newton a "fluxusok módszerével" (végtelenül kis lépések ) és Leibniz (aki meghatározta a differenciált ) szinte egyszerre hozta létre [4] .

Az infinitezimálisokra a határ , a konvergencia és a folytonosság fogalmát használó szigorú definíciókat a 19. században Cauchy és Weierstrass adta meg , ezekben a definíciókban a leghagyományosabb az úgynevezett -formuláció volt (ezt például Cauchy-határnak tekintik. egy függvénynek egy pontban , ha bármelyikre van olyan , hogy bármely, amely kielégíti a , ) feltételt. Az infinitezimálisok újabb definíciói a szomszédságok – nyílt részhalmazok ( Heine ) technikáját használják, amelyek természetesen általános topológiában vannak (amely elvonatkoztatja a nyílt halmaz fogalmát ). $\alpha$ $f$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\delta > 0$ $x$ $0 < \left| x - x_0 \jobbra| < \delta$ $\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon$ $\mathbb {R}$

Robinson nem szabványos elemzésében (1960- as évek) az infinitezimális számokat egyfajta általánosított számként vezetik be, amelyek nem haladják meg egyiknél sem , az összes ilyen szám osztályát a "nulla monádja" aktualizálja [11] . $1/n$ $n \in \mathbb N$ $\mu (0)$

Matematikai elemzés

Az infinitezimális számítás alapján létrehozott matematikai elemzésben a végtelenül nagy mennyiségek absztrakcióját is kifejezetten bevezetik: végtelenül távoli pontok szimbólumait, és hozzáadjuk a valós számok halmazához ( kibővített számsor épül ), amely a határértékek és a konvergencia meghatározására szolgálnak. Lehetőség van szimbólumokkal operálni (itt egy valós szám): $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $\alpha$

\pm \infty +\alpha =\pm \infty

(+\infty )+(+\infty )=+\infty

(-\infty )+(-\infty )=-\infty

\pm \infty \cdot 1=\pm \infty

\pm \infty \cdot -1=\mp \infty

\pm \infty \cdot +\infty =\pm \infty

\pm \infty \cdot \alpha =\operátornév {sgn} \alpha \cdot \pm {\infty }\,(\alpha \neq 0)

\pm \infty {\big /}\alpha =\operátornév {sgn} \alpha \cdot \pm \infty \,(\alpha \neq 0)

\alpha {\big /}\pm \infty =0\,(\alpha \neq \pm \infty )

\left(\left\vert {\frac {\alpha }{0}}\right\vert =+\infty \right)\,(\alpha \neq 0)

\left(\left\vert {\frac {\pm \infty }{0))\right\vert =+\infty \right)

azonban bizonyos megkötésekkel: bizonytalan helyzetek esetén

\left(\pm \infty -\pm \infty \right),\ \left({\frac {\infty }{\infty ))\right),\ \left({\frac {0}{ 0}}\jobbra),\ \left(~0^{0}\jobbra),\ \left(1^{\infty }\jobbra),\ \left(\infty ^{0}\jobbra),\ (0\cdot \infty )

a bizonytalanságok feltárására vonatkozó szabályokat (például L'Hopital szabálya ) a végtelen megjelenéséhez vezető korlátozó kifejezés tartalmának tisztázásának elve szerint alkalmazzák, vagyis ebben az értelemben az elemzésben szimbólumokat használnak . a korlátozó kifejezések rögzítésének általánosított rövidítéseként, de nem teljes értékű objektumként (egyes didaktikai anyagokban a végtelennél egy pontot használnak , amelyet nem kapcsol össze a valós számokkal való sorrendi kapcsolat [12] ). $\pm \infty$ $\pm \infty$

Robinson nem szabványos elemzésében végtelenül nagy és végtelenül kicsi mennyiségeket aktualizálnak modellelméleti eszközök bevonásával , és ennek köszönhetően a nem szabványos elemzésben az expresszív eszközök és bizonyítási módszerek sok esetben felülmúlják a klasszikusokat, és számos olyan új eredményeket kapunk, amelyeket a klasszikus elemzés során meg lehetett kapni, de az egyértelműség hiánya miatt nem sikerült kimutatni [13] .

Projektív geometria

A végtelen matematikai fogalmának aktualizálásában fontos volt Poncelet 1822 - ben megalkotott projektív geometriája , amelynek egyik kulcsgondolata a végtelenül távoli "ideális pontokba" és "ideális vonalakba" való összehajtása vetítéskor. Tehát ahhoz, hogy egy végtelen síkot az euklideszi térben projektív síkká alakítsunk, a párhuzamos egyenesek minden osztályához hozzá kell adni egy ideális pontot , és ezek az ideális pontok (és csak ezek) ideális egyenessé esnek össze . Az igazi projektív egyenes ezekben a konstrukciókban a számegyenes meghosszabbítása egy ideális ponttal ( ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb{R} P^{2}$ $\RP^1 = \R \csésze \{ \infty \}$

Csakúgy, mint az elemzésben , a projektív geometriában is lehet operálni a kapott végtelennel (a projektív geometriában az elemzéssel ellentétben a végtelennek nincs előjele, ): $\alpha \in \mathbb{R}$

\infty \pm \alpha = \infty

\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0

\infty \cdot \infty = \infty

\alpha \big / \infty = 0

\infty \big / \alpha = \infty

\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0

de a kifejezések nincsenek definiálva. $\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0$

A komplex számok geometriai értelmezésének megalkotásakor Riemann 1851 - ben a projektív geometria eszközeit használta, és projektív teret épített a komplex sík számára - a numerikus projektív egyenes összetett általánosítása, amelyet Riemann-gömbként ismernek : a gömb pólusai pontok. és , és a sztereografikus vetület (kivágott ponttal ) fordítja le a komplex síkra . Ellentétben a valódi elemzéssel, ahol előjeles végtelent használunk, a komplex elemzésben a végtelen projektív formáját ( ) használjuk. $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $0$ $\infty$ $\infty$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

Halmazelmélet

A matematikában a végtelenség fogalmához a fő hozzájárulást a halmazelmélet adta : a tényleges végtelen gondolata és a végtelen különböző fajtái ennek az elméletnek lényeges részét képezik.

A halmazelméletben a végtelen különböző típusainak mérésére bevezetjük a hatvány (bíborszám) fogalmát, amely egybeesik az elemek számával véges halmazok esetén, a végtelen halmazok esetében pedig a bijekciós elvet alkalmazva : ha lehetséges egy egy- halmazok közötti megfelelés, akkor egyenértékűek. Tehát kiderül, hogy a természetes számok halmaza ekvivalens az egész számok halmazaival ( ), a páros természetes számokkal, az összes racionális számmal ( ), és a számegyenes szakasza ( , kontinuum ) bijektív megfeleltetés a teljes számegyenessel ( ), valamint a -dimenziós euklideszi térrel ( ). A természetes számok és az egyenértékű számok ( megszámlálható halmazok ) halmazának számosságát jelöljük , a kontinuum számosságát pedig . Megállapítható továbbá, hogy a természetes számok összes részhalmaza ( ) és a kontinuum között egy az egyhez megfeleltetés van, tehát , és hogy a megszámlálható halmaz a legkevésbé erős az összes végtelen halmaz közül. A kontinuumhipotézis szerint a és között nincs köztes hatvány ( ), sőt, mint Cohen 1962 -ben kimutatta , sem ez, sem tagadása nem bizonyítható a halmazelmélet alapaxiomatikájában . Az általánosított kontinuum-hipotézis azt feltételezi, hogy minden kardinális szám engedelmeskedik a relációnak , vagyis az összes lehetséges végtelen kardinális szám pontosan reprezentálja a természetes számok halmazának logikai értékének egymás utáni felvételének erejét: [14] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb I = [0,1]$ $\mathbb {R}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\mathbb{N} }$ $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $\mathfrak c = \aleph_1$ $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ $\#\mathbb{N} ,\#{\mathcal P}(\mathbb{N} ),\#{\mathcal P}({\mathcal P}(\mathbb{N} )),\dots$

A halmazelmélet által bevezetett végtelen egy másik típusa a sorszámok (sorszámok), a hozzájuk kapcsolódó transzfinit indukciós elvvel együtt váltották ki a legnagyobb vitát a matematikusok, a logikusok és a filozófusok körében. Ha kardinális számok jellemeznek egy ekvivalenciaosztályt egy-egy megfeleltetésre vonatkozóan, akkor egy sorszám keletkezik egy ekvivalenciaosztály jellemzőjeként a jól rendezett halmazok felett , a teljes sorrendi relációt megőrző bijektív megfelelések tekintetében. Véges halmazok esetén a sorszám és a kardinális egybeesik, de végtelen halmazoknál ez nem mindig van így, minden azonos sorszámú halmaz ekvivalens, de az általános esetben nem igaz. Az ordinálisokat úgy alkotják meg, hogy következetesen folytassák a természetes sorozatot a végtelen túloldalán [15] :

0 = \varnothing

1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}

, …

n+1 = n \pohár \{n\}

majd miután az összes véges sorszám halmazát nek tekintjük , bevezetjük a sorszámok aritmetikáját a rendezett halmazok összeadási műveletei alapján (a halmaz első összegzőjének elemei felett egy külön unió felett sorrendet vezetünk be. , majd a második) és a szorzat (a jól rendezett halmazok derékszögű szorzata fölött a lexikográfiai sorrendet használva ), és a folyamat folytatódik: $\omega$

\omega + 1 = \omega \pohár \{ \omega \}

\omega + 2 = (\omega + 1) \pohár \{ \omega + 1 \}

, …

\omega \cdot 2 = \omega + \omega

\omega \cdot 2 + 1

, …

Következő épül , majd - , majd - számok : $\omega ^2 = \omega \cdot \omega$ $\omega ^3, \pontok, \omega ^\omega, \pontok, \omega^{\omega^\omega}, \cdots,$ $\varepszilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot)))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \pontok \}

Bebizonyosodott, hogy az összes megszámlálható sorszám halmazának (minden és ) van egy olyan számossága , amely követi a megszámlálható halmaz számosságát , ekkor magasabb rendű sorszámúakat állítunk elő. A transzfinit indukció a matematikai indukció elvének általánosítása, amely lehetővé teszi bármely jól rendezett halmazra vonatkozó állítások bizonyítását a sorszámok gondolatával. A Burali-Forti paradoxon azt mutatja, hogy az összes sorszám halmaza inkonzisztens, de a halmazelmélet számos axiomatizálásában tilos ilyen halmaz felépítése. $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Végtelen dimenziós terek

Fraktálgeometria

A fizikában

A fizikában a végtelen fogalmát a vizsgált jelenségek léptékével és a rendelkezésre álló mérési pontossággal társítják. Általános esetben végtelen alatt a vizsgált mennyiség olyan értékét értjük, amely a választott jelenségskálán olyan nagynak tekinthető, hogy a vizsgált rendszer keretein belüli hatások nem vezetnek jelentős változáshoz. . Azonban egy olyan mennyiség értéke, amely az egyik skálán végtelen, lehet véges, a másikon pedig végtelenül kicsi. Ilyen például a Föld tömege . A mesterséges műholdak pályáját tekintve végtelenül nagynak tekinthető. Figyelembe véve a Föld Nap körüli keringési mozgását, bolygónk tömege végtelenül kicsi lesz.

A rendelkezésre álló mérési pontosság növekedésével végtelen mennyiségek válhatnak végessé. Például a relativisztikus hatások még kozmikus sebességeknél is túl kicsik a mechanikus vagy elektronikus órák által biztosított pontossági rendszerben. Az atomórák használatakor , például a műholdas navigációs rendszerekben azonban ezeket a hatásokat figyelembe kell venni. A viszonylag kisméretű objektumok építése során végtelennek tekintett Föld sugarát, felülete sík, mindazonáltal nagyon keskeny nyalábbal (mértékegységek, foktöredékek) működő rádióközvetítő állomások építésekor figyelembe kell venni . .

A programozásban

A Machine Infinity egy olyan konstrukció, amely végtelen számértékeket ábrázol programozási nyelvekben és rendszerekben, valamint a velük végzett műveletekben. A szabványos lebegőpontos aritmetika ( IEEE 754-2008 ) speciális értékeket tartalmaz a +∞ és a −∞ számára: a kitevő mindegyike egyes (11…11), a mantissza csupa nulla (00…00). A pozitív végtelen nagyobb bármely véges számnál, a negatív végtelen kisebb bármelyiknél. A végtelen műveletek konkrétan definiáltak: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = NaN , log (+∞) = +∞, sin (+∞) = NaN stb.

Számos programozási nyelv lehetővé teszi a potenciálisan végtelen adatstruktúrákkal való munkát ; például a Haskellben deklarálhat egy végtelen listát , és módosíthatja azt:

nat = [ 0 .. ] -- az összes természetes szám listája páros = térkép ( * 2 ) nat -- az összes páros természetes szám listája fstevens = vegyünk 10 párost -- az első tíz páros szám

, míg a futtatókörnyezet a végtelen szerkezetnek csak azokat az elemeit fogja kiértékelni, amelyekhez azonnali kimenet szükséges (a lusta kiértékelési stratégiát és a rekurziót alkalmazva ).

A programozásban a végtelenség sajátos megnyilvánulása a végrehajtási folyamat potenciális örökkévalósága értelmében a végtelen hurok : alkalmazásuk technikáját mind tudatosan alkalmazzák (a program csak külső hatások általi megszakításának lehetőségére), mind pedig hiba (a ciklusból való kilépés feltételének hiánya vagy lehetetlensége: „a program elakadt”) .

Logikában

Zénó aporia

Zénón apóriái – az eleai Zénónak (Kr. e. 5. század második fele) tulajdonított aporiak sorozata, amely főként Arisztotelész bemutatásában maradt fenn , és az egyik első példa a végtelen tárggyal való működés logikai nehézségeire (bár mindenekelőtt , diszkrét és folyamatos problémákkal ). Az apóriák úgy vannak megfogalmazva, hogy sokuk viták és értelmezések tárgya a logika teljes létezése során, beleértve a modernitást is [16] , és a végtelen tudományos kontextusban való használatának problémájának első megfogalmazásának tekinthető [17] . Az „ Achilles és a teknősbéka ” aporia jól mutatja a végtelenül kicsi értékek összegzésének nehézségét, és ez az antinómia nem olyan egyszerű, mint ahogyan néha értelmezik: ahogy Hilbert és Bernays a Matematika alapjaiban megjegyzik, a paradoxon feloldása érdekében szükséges egy végtelen eseménysorozat aktualizálásához oly módon, hogy elfogadjuk, még mindig befejeződött [18] . " Dichotómia ", bár feloldható a konvergens sorozat határának fogalmával , de Weil modern értelmezést kínál: ha egy számítógépet úgy terveztek, hogy az első műveletet 0,5 perc alatt végrehajtsa, a másodikat 0,25 perc alatt, a harmadik 0,125 perc alatt és így tovább, majd egy perc alatt újra tudta számolni a teljes természetes sorozatot [19] . $1/2 + 1/4 + 1/8 + \pontok$

A halmazelmélet paradoxonai

A filozófiában

Ókori indiai filozófia

Az " Isha Upanishad "-ban, amely a Kr.e. 4-3. századra datált, azt az elképzelést találták meg, hogy ha egy végtelen tárgyhoz hozzáadunk vagy eltávolítunk egy részt, az végtelen marad [20] . A Surya Prajnapti Sutra ( angolul Sūryaprajñapti ) dzsain értekezésben a Kr.e. 400-as évekre datált. e. , minden mennyiség három kategóriára és három alkategóriára van osztva - felsorolható (kicsi, közepes és nagy), nem felsorolható ("majdnem fel nem sorolható", "igazán fel nem sorolható" és "nem felsorolható, nem felsorolható") és végtelen ("majdnem végtelen", "igazán végtelen" és "végtelenül végtelen") [21] , ez a felosztás látszólag az első kísérlet volt nemcsak a végtelen típusai közötti különbségtételre, hanem a köztük lévő kapcsolat és az elképzelés közötti kapcsolat mérésére is. A végtelen mennyiségek alkategóriáinak szétválasztása és rendezése közel áll a Cantor-féle transzfinit számok fogalmához.

Ókori görög filozófia

Az ókori görög filozófusokban a végtelen rendszerint valami formálatlan, tökéletlen, a káoszhoz közel álló, vagy akár azzal azonosított dologként jelenik meg [22] , így a pitagoraszi ellentétek listájában a végtelent a gonosz oldalához rendelik. A végtelen kategóriáját pozitívan használó ókori görög filozófusok közül kiemelkedik Anaximandrosz , aki a kozmológiai princípiumot, mint végtelen befogadót - apeiront ( görögül ἄπειρον ), valamint az atomisták ( Démokritosz , Leukipposz ), amely szerint létezik egy végtelen szám. végtelen üres térben található végtelen számú atomból képzett világok [23] . Ugyanakkor az atomisztikus felfogás szembehelyezkedett a kontinualista megközelítéssel, amelyben a teret és az időt végtelenül oszthatónak tekintették, míg az atomisták elsődleges oszthatatlan elemeket tételeztek fel, Zénón aporiai pedig mindkét megközelítés logikai következetlenségét akarták bemutatni [24]. .

Ám az ókori görög filozófiában a domináns vélemény a tényleges végtelen tagadása volt, e nézetek legjellemzőbb tükröződését Arisztotelész a " Fizikában " mutatja be, ahol a végtelent tagadja a kozmosznak, az okok sorozatának végtelenségét, beszélve a végtelenségről. a természetes sorozat végtelen növekedésének lehetősége és egy szakasz kis komponensekre való felosztásának végtelensége csak a potenciális végtelennek felel meg . Arisztotelész is a végtelen besorolásába tartozik az extenzív - a tárgyaknak a totalitáshoz való korlátlan hozzáadódásából eredő - és az intenzív - a tárgy szerkezetébe való korlátlan elmélyülésből megjelenő besorolásába [25] Az antik geometriák, különösen Eukleidész is megállják a helyüket. a tényleges végtelent tagadó és csak a potenciális végtelennel operáló pozíciók az „ Elvek ”-ben a második posztulátum egy egyenes tetszőlegesen hosszú meghosszabbításának lehetőségét állítja, de magukat az egyeneseket és síkokat végesnek, bár szinte végtelenül nagynak tekintik. " [1] .

A neoplatonisták , elsősorban Plotinosz műveiben a keleti miszticizmus eszméinek behatolásával kapcsolatban, és nagyrészt Alexandriai Philón műveinek hatására , aki a keresztény Isten hellenisztikus értelmezését adta , az az elképzelés, hogy a az Elme mint végtelenül erős és egységes végtelensége, valamint a határtalan anyag potenciális végtelensége [26] .

Európai középkori filozófia

A korai keresztény és a kora középkori filozófiában ( Origenész , Ágoston , Nagy Albert , Aquinói Tamás ) Arisztotelész Arisztotelésztől örökölte a világ tényleges végtelenségének tagadását, miközben a keresztény Isten számára ilyen vagy olyan formában felismerte a tényleges végtelent . ] .

A 13-14. századi skolasztikusok ( William of Sherwood , Haytsbury , Rimini Gregory ) munkáiban egyértelműen megjelenik a potenciál és a tényleges végtelen fogalmának különbsége (a korai írásokban a potenciális és a tényleges végtelent szinkategorematikusnak , ill . kategoriematikus végtelenek), de a tényleges végtelenhez való viszony isteniként [ 1] , vagy a tényleges végtelen teljes tagadása feltételezett ( lat. infinitum actu non datur ). Ockham azonban már felhívja a figyelmet arra a lehetőségre, hogy a kontinuum és részei létezését ténylegesen létezőként ismerjük el, miközben megőrizzük a mögöttük lévő végtelen tulajdonságait – a végtelen alkotórészekre osztás lehetőségére [27] , illetve Swainshead , alátámasztva a kontinuum végtelen oszthatóságára vonatkozó érvelése matematikailag bizonyítja a végtelen számsor összegére vonatkozó állítást [28] . A Swinshead konstrukcióit fejlesztő Orem felállítja a végtelen sorozatok konvergenciájának geometriai bizonyítási rendszerét, egy végtelen kiterjedésű, de véges területű lapos alakzat példáját [7] .

A 15. században Kuzai Miklós megalkotja az "abszolút maximum" doktrínáját, amelyet minden véges dolog végtelen mértékének tart, ezáltal olyan elképzelést ad, amely egyáltalán nem esik egybe az ókorival: minden véges korlátnak számít. a ténylegesen létező isteni végtelenségről ( latin possest ), szemben a véges dolgok létezésének és a végtelen lehetségességének uralkodó elképzelésével [29] .

A modern idők filozófiája

Cusai Miklós elképzeléseit Spinoza fejleszti ki , miszerint a dolgok a végtelen isteni szubsztancián belül kapják meg lényüket a tagadáson keresztüli önmeghatározás révén [30] . Ezekből az elképzelésekből fakad a 16-17. századi felismerés az Univerzum végtelenségéről, amely Kopernikusz heliocentrikus rendszerének , Bruno felvilágosító munkájának , Kepler és Galilei tanulmányainak köszönhetően jött létre [31]. [1] . Kepler és Galilei a végtelen módszereit kezdik alkalmazni a matematikai gyakorlatban, ezért Kepler Kuzai Miklós elképzeléseire támaszkodva egy szabályos sokszöggel közelíti a kört, amelynek oldalszáma a végtelenbe hajlik [32] , Galilei pedig fizet. Figyelembe véve a számok és négyzeteik közötti megfelelést , megjegyzi, hogy az "egész nagyobb, mint a rész" tézis végtelen objektumokra való alkalmazásának lehetetlensége [6] .

A folytonosság természetének és a kontinuum lényegének felfogásában jelentős szerepet vezetett be Galileo Cavalieri tanítványa , aki a „Geometria, új módon fogalmazott meg az oszthatatlan folytonos segítségével” című értekezésében ( 1635 ) a lapos figurákat az őket kitöltő szegmensek végtelen halmazának, a térfogati testeket pedig végtelen számú párhuzamos lapos figurából állónak tekintik, ilyen metaforákkal élve: pontokból áll a vonal, mint egy gyöngylánc, egy lapos alak vonalakból, mint a szövet fonalból, a test síkokból, mint a könyv lapokból; Ezzel az „ oszthatatlanok módszerével ” Cavalieri jelentős matematikai eredményeket ért el [33] .

Descartes a véges és a ténylegesen végtelen összemérhetetlenségével érvel Istennek az általa teremtett világ létezéséből való megismerésének lehetetlensége mellett, amelynek felfoghatatlanságát véleménye szerint a végtelen nagyon formális definíciója tartalmazza [34] . Ennek megfelelően Descartes csak a mindenható Istent ismeri el igazán végtelennek, és a végtelenség olyan megnyilvánulásait, mint „az emberi akarat végtelenségét”, az isteni kép megnyilvánulásainak tekinti az emberben [1] .

A tényleges végtelen létezésének legkövetkezetesebb támogatója Leibniz volt , a „ monadológiában ” következetesen tartja a monádok végtelenségének gondolatát az univerzumban, annak minden egyes részében, anyag formájában kifejezve, ami az univerzum stabilitását okozza. ezeket a részeket az előre meghatározott harmónia törvénye és a monádok alárendeltségének speciális elvei alapján, miközben a monádokat térben és időben végtelen univerzumnak tekinti [1] . Leibniz ezen elképzelései tükröződtek az infinitezimális számításról szóló alapvető munkáiban, amelyek az infinitezimálisokat monádokként ábrázolják . A Newton és Leibniz által megalkotott differenciálszámítás , amely egyértelműen aktualizálta az infinitezimálisokat, széles és hosszadalmas vitát váltott ki a 17-18. század filozófusai között, Berkeley volt a legkövetkezetesebb ellenzője az infinitezimális mennyiségeket használó módszereknek, ezek a viták a kultúrában is tükröződtek a cselekményekben. Swift Gulliver utazásai és Voltaire " Micromegas " című művéből [35] .

Kant a Pure Reason kritikájában tagadja annak lehetőségét, hogy végtelen számokat és végtelen nagyságrendeket is figyelembe vegyünk; A tiszta ész antinómiáinak elemzése alapján Kant a világot nem végesnek és nem is végtelennek, hanem "határozatlannak" [1] jellemzi .

Hegel továbbfejleszti a legszorosabb kapcsolat, a szinte azonosság, a végtelen és abszolút gondolatát [36] , különösen a „rossz végtelent” a véges tagadásának tekinti, az „igazi végtelent” pedig az antagonizmus dialektikus leküzdéseként vezeti be; Hegel szerint csak az Abszolút Szellem valóban végtelen [1] . A dialektikus materializmus filozófiája a végtelennek mint dialektikus folyamatnak a gondolatát hangsúlyozza [37] [38] , maga a benne lévő végtelen fogalma különböző jelentésekkel bír: a legegyszerűbb, gyakorlati végtelen; a végtelenség, mint abszolútság, egyetemesség, teljesség; az intellektuális világ végtelensége; igazi végtelen. A tér és idő végtelenségét Engels a "gonosz végtelen" példájának tekinti.

A 19. század legjelentősebb, a végtelenről szóló, filozófiai [39] , mint matematikai munkája Bolzano Paradoxes of the Infinite című monográfiája volt ( 1851 -ben, a szerző halála után jelent meg) [1] , amelyben végtelen halmazok A számokat szisztematikusan tanulmányozzák, logikai és matematikai érveket adnak a tényleges végtelen figyelembevétele mellett, és eszköztárat javasolnak a végtelen nemzetségeinek tanulmányozására az egy-egy megfelelés fogalmával [39] .

Bolzano munkásságának ideológiai alapjain, és a 19. század végén Cantor műveiben , Dedekind jelentős közreműködésével létrejött halmazelmélet (maga a „készlet” kifejezés német menge , először használták Bolzano egy ténylegesen végtelen objektum megnevezéseként), nevezetesen a halmazelméletben először motiváltan vették figyelembe a végtelen különböző típusainak arányát, különösen a hatalom fogalmával , a számok arányával. a természetes sorozat elemeit (megszámlálható halmaz, Cantor-féle jelöléssel) és a kontinuum pontjainak számát ( ) megállapítottuk, megfogalmaztuk a transzfinit indukció elvét . Ugyanakkor Kantor igyekezett filozófiai indoklást is adni konstrukcióinak, a transzfinit számok mellett, a tudattal is felfogható, bevezette a felfoghatatlan „Istenben végtelent” [40] . A halmazelmélet megalkotásával foglalkozó munka keretében a végtelen megértésében különleges szerepet játszott a végtelen halmaz meghatározása Dedekind „Mi a számok és mit szolgálnak?” című könyvében. [41] egy az egyhez önmaga egy részével, míg a végtelen minden korábbi definíciója negatív volt [42] . A 19. század végére (elsősorban az 1897-es I. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson szervezett jelentéssorozatnak köszönhetően ) a halmazelméletet széles körben elismerték és a gyakorlatban is alkalmazták a matematikusok körében, de a teológusok és filozófusok körében a tényleges végtelenről, ill. típusai közötti mennyiségi különbségek komoly vitát váltottak ki [42] . $\aleph_0$ $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$

Kortárs filozófia

A 20. század filozófiájában a végtelenséggel kapcsolatos kérdések kutatásának fő tartalma szorosan illeszkedik a matematika alapjaihoz , és mindenekelőtt a halmazelmélet problémáihoz [43] .

Russell abban a rendszerben, amelyet Whiteheaddel közösen épített fel a Principia Mathematicában a halmazelméleti paradoxonok leküzdésére , a végtelenség axiómájának bevezetésével tételezte fel a végtelen létezését , ráadásul abban a lehetőségben nem megengedett. A végtelennek más a priori fogalmakból való levezetése, a végtelen fogalma nem tekinthető pusztán analitikusan levezethetőnek az ellentmondások be nem ismerésének elvéből. Russell sem tartotta lehetségesnek a végtelenség utólagos , józan észen és tapasztalaton alapuló igazolását találni, különös tekintettel arra, hogy nincs okunk hinni a tér végtelenségében, az idő végtelenségében vagy a tárgyak végtelen oszthatóságában. Russell szerint tehát a végtelen egy hipotetikus imperatívusz , amely különböző rendszerekben használható vagy nem, de nem igazolható vagy nem cáfolható [44] .

Hilbert és Bernays a halmazelméleti paradoxonok leküzdésére szolgáló program megvalósítása során „hilbert-finitizmusként” azonosított alapelveket alkotott meg, amelyek szerint a végtelen halmaz összes elemére megfogalmazott tulajdonságokról csak akkor lehet kijelentéseket tenni, ha azok minden egyes elemre reprodukálhatók. nem korlátozza a végtelen lehetséges absztrakcióját, beleértve a transzfinit indukciót is . Wittgenstein , aki a legradikálisabban fejlesztette ki a finitizmus fogalmát az analitikus filozófiában , lehetségesnek tartotta, hogy a végtelent csak egy rekurzív folyamat rekordjának tekintsük, és alapvetően elvetette a végtelen különböző osztályainak figyelembevételének lehetőségét [45] .

A neokantianizmusból és a fenomenológiából kiinduló iskolákban a végtelen kérdéseit is tanulmányozták, például Cassirer Heideggerrel folytatott vitájában ( "Davosi vita", 1929) egy immanens végtelent mutat be , amely a szféra tárgyiasításaként merül fel. tapasztalatok [46] , az 1950-es-1960-as években Koyre és Levinas [47] írta a végtelennek szentelt programszerű műveket .

Indukció

Az indukció egy klasszikus logikai módszer, amely lehetővé teszi, hogy bizonyos állításokról univerzális állításokra váltson, beleértve azokat is, amelyek végtelen objektumok halmazára vonatkoznak. A természetes sorozatra vonatkozó indukciót minden formalizálás nélkül még Proklosz és Euklidész is megjegyzi , míg a matematikai indukció módszerének tudatosítása Pascalnak és Gersonidesnek [48] tulajdonítható . A modern jelölésben a matematikai indukció a szillogizmus:

P(1),\forall n\in \mathbb {N} (P(n)\rightarrow P(n+1))\vdash \forall n\in \mathbb {N} (P(n))

vagyis egy tulajdonság levezetése a természetes számok teljes halmazára a teljesülés tényéből egységre, és az egyes következő számokra a tulajdonság teljesülése alapján való származtatása az előzőre vonatkozóan. $P$

A matematikai indukció módszere megbízhatónak tekinthető, de csak megszámlálható, jól rendezett halmazokra terjeszthető ki. Az indukció tetszőleges, jól rendezett halmazokra való kiterjesztésére tett kísérlet volt Cantor transzfinit indukciós módszerének megalkotása a halmazelmélet keretében , a transzfinit (sorrendi) számok ötletével.

Az intuicionista logikában a bar indukciót [49] arra használják , hogy induktív érvelést alkalmazzanak megszámlálhatatlan gyűjteményekre (az intuitionizmusban flow -ként írják le ) .

Szimbólumok

A végtelen szimbólum először a "Kúpszelvényekről" című értekezésben jelent meg ( latinul De sectionibus conicis , 5. oldal) [50] [51] [52] , amelyet 1655-ben adott ki John Wallis angol matematikus . Feltételezhető, hogy a szimbólum ősibb eredetű, és az ouroboroshoz kapcsolódik - egy kígyó, amely a saját farkába harap [53] ; hasonló szimbólumokat találtak tibeti sziklametszetek között is. A Unicode -ban a végtelent a ∞ szimbólum jelöli (U+221E). $\infty$

A bíborszámokhoz használt végtelen szimbólumok a héber ábécé első betűjén, az aleph-n alapulnak , alsó indexszel . Lásd : Alefák hierarchiája . Az alefa rendszert Cantor vezette be 1893 -ban , hisz abban, hogy már minden görög és latin karakter foglalt, és a héber alef az 1-es szám szimbóluma is; míg a héber ábécé akkoriban sok németországi nyomdában készletben volt elérhető [54] . Unicode-ban az aleph א (U+05D0) alakban van írva. $\aleph_0, \aleph_1, \dots$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 NFE, 2010 .
↑ Végtelen a filozófiában / I. S. Alekseev // Bari - Karkötő. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 kötetben] / főszerkesztő A. M. Prohorov ; 1969-1978, 3. köt.).
↑ Katasonov V. N. Folytonosság és diszkontinuitás // Új filozófiai enciklopédia. — 2. kiadás, javítva. és további .. - M . : Gondolat, 2010. - T. 2. - 2816 p. - 5000 példány. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
↑ 1 2 Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. 10-13.
↑ IX. könyv, 20. nyilatkozat
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 39.
↑ 1 2 3 4 5 Paplauskas A. B. A végtelen sorozatok pre-newtoni korszaka. I // Yushkevich A.P. (felelős szerkesztő) Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 . (Orosz)
↑ Dani SG Ókori indiai matematika – Konspektus // Rezonancia. - 2012. - T. 17 , 3. sz . - S. 236-246 .
↑ Paplauskas A. B. A végtelen sorozatok pre-newtoni korszaka. II. Pietro Mengoli // Yushkevich A.P. (főszerkesztő) Történeti és matematikai kutatás. - M . : Nauka, 1974. - T. XIX . - S. 143-157 . (Orosz)
↑ Paplauskas A. B. A végtelen sorozatok pre-newtoni korszaka. III // Juskevics A. P. (felelős szerkesztő) Történeti és matematikai kutatás. - M . : Nauka, 1975. - T. XX . - S. 257-281 . (Orosz)
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. 26.
↑ Kudrjavcev L. D. A matematikai elemzés rövid kurzusa. - 3. kiadás átdolgozott .. - M . : Fizmatlit, 2005. - T. 1. - S. 19. - 400 p. — ISBN 5-9221-0184-6 .
↑ Infinity - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . Dragalin A. G. N. a segítségével. számos új tényt fedeztek fel. Sok klasszikus. A nem szabványos elemzési módszerekkel bemutatott bizonyítékok észrevehetően javulnak az egyértelműségben
↑ Néha végtelen számú kardinális számoknál, amelyek egy megszámlálható halmazból a Boole-számok egymás utáni felvételének erejét reprezentálják, tét jelölést használnak (a héber ábécé második betűjéből - bet ), ezekben a jelölésekben az általánosított kontinuum hipotézis így fogalmazódik meg. $\aleph_\alpha = \beth_\alpha$
↑ Von Neumann az 1920-as években javasolt egy ilyen definíciós sémát , Kantor kezdetben más módszert alkalmazott.
↑ Yanovskaya S.A. Leküzdötte a modern tudomány a „Zénó apóriájaként” ismert nehézségeket? // A logika problémái / Tavanets P.V. - M. , 1963. - S. 116-136 .
↑ Gaidenko P. P. A tudomány fogalmának alakulása (az első tudományos programok kialakulása és fejlődése). Az eleatikus iskola és a végtelenség problémájának első megállapítása . - M .: Nauka, 1980.
↑ Hilbert D. , Bernays P. A matematika alapjai. - M. : Nauka, 1979. - T. 1. Logikai számítás és aritmetika formalizálása. - S. 40. - 558 p.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 236-238.
↑ szerb. पू णमिदं पू पू पू य पू वशिष पू वशिष पू पू वशिष पू पू - „Töltse ki, fejezze be. A teljesből a teljeset veszik. Megérkezik a teljes teljes, csak a teljes marad.” Syrkin fordítása
↑ Joseph, GG A páva címere. A matematika nem európai gyökerei . — 3. - Princeton : Princeton University Press , 2011. - P. 349-355 . — 562 p. - ISBN 978-0-691-13526-7 .
↑ NFE, 2010 , Az ókori gondolkodás alapvetően a végtelent formálatlannak tekinti, mint ami nem lett, és ezért tökéletlen <...> Az ókori gondolkodásban való lét a mérték és a határ kategóriájához kapcsolódik. A Végtelen határtalannak, határtalannak, szinte nemlétezőnek – μὴὄν – jelenik meg, ezért közel áll a káoszhoz, és néha azonosul is vele.
↑ NFE, 2010 , ... az ókori filozófiában voltak gondolkodók, akik pozitívabban használják a végtelen kategóriáját. Mindenekelőtt közéjük tartozik Anaximander, akinél az apeiron a kozmológia fő elve <...> ráadásul itt meg kell nevezni Leukippust és Démokritosz atomistákat, akikben a végtelen üres tér végtelen számú atomot tartalmaz. végtelen számú világot alkotva.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 236.
↑ Vilenkin, 1983 , p. 14-15.
↑ NFE, 2010 , Az Elme Plotinus már végtelennek nevezi a következő értelemben: végtelen ereje, egysége és önfenntartósága értelmében. Így minden, ami létezik, két végtelen között van: az Elme tényleges végtelensége és a meonális anyag potenciális végtelensége között, amely mentes a határoktól és a formáktól, és csak a magasabb lény tökéletességeinek „tükrözésén” keresztül kapja meg definícióit.
↑ lat. Sed omne continuum est aktualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt aktualiter existentes – „De minden kontinuum valójában létezik. Ezért részei a természetben is léteznek. De a kontinuum részei végtelenek, mert nem lehet megmondani, hányan vannak, és ezért a végtelen részek valóban léteznek.
↑ Bogolyubov A. N. Matematika. Mechanika. Életrajzi útmutató. - Kijev: Naukova Dumka, 1983. - 639 p.
↑ NFE, 2010 , ... Kuzants számára éppen ellenkezőleg, minden véges dolog a ténylegesen végtelen isteni lehetőség – a lét (possest) – potenciális korlátjaként hat.
↑ NFE, 2010 , ... Hasonlóképpen Spinoza panteizmusának keretein belül kiderül, hogy omnis determinatio est negatio (minden definíció egy tagadás): a dolgok nem a határon keresztül kapják meg létezésüket, nem a formátlan anyag korlátain keresztül. , hanem éppen a mögöttes végtelen isteni szubsztanciából, amelyen belül az önmeghatározás részleges tagadásként hat.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 43-44.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 43-45.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , p. 249.
↑ Gartsev M. A. Az abszolút szabadság problémája Descartes-ban // Logos . - 1996. - 8. sz . Archiválva az eredetiből 2015. november 24-én.
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , p. 13-14.
↑ „A végtelen egyszerű fogalmában mindenekelőtt az abszolútum új definíciójának tekinthető...” Hegel G. W. F. Logika tudománya. // Művek, V. kötet - M .: Gosizdat, 1927. - 136. o.
↑ „Ha a végtelenül nagyról és a végtelenül kicsiről beszélünk, a matematika olyan minőségi különbséget vezet be, amely még egy leküzdhetetlen minőségi ellentét jellegével is rendelkezik...” Marx K. , Engels F. A természet dialektikája // Soch., 20. köt. - M .: Politizdat, 1956 - S. 574.
↑ „A végtelen egy ellentmondás, és tele van ellentmondásokkal... Pontosan azért, mert a végtelen ellentmondás, egy végtelen folyamat, amely végtelenül bontakozik ki időben és térben. Ennek az ellentmondásnak a lerombolása a végtelenség vége lenne." Marx K. , Engels F. Anti-Dühring // Soch., 20. köt. - M .: Politizdat, 1956. - 51. o.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , p. 39-40.
↑ NFE, 2010 , Cantor, a halmazelmélet megalkotója a tényleges végtelenséggel is igyekezett teológiai alkalmazást adni konstrukcióinak (Kantor általában úgy vélte, hogy a halmazelmélet éppúgy rokon a metafizikával, mint a matematikával). A végtelennek három típusát különböztette meg: a végtelen Istenben ("Isten elméjében") - Abszolút, a teremtett világban - Transzfinit, az emberi elmében - transzfinit számok (sorszámok).
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 p.
↑ 1 2 F. A. Medvegyev . A halmazelmélet fejlődése a XIX. - M .: Nauka, 1965. - S. 133-137, 144-157. — 232 p. - 2500 példány.
↑ NFE, 2010 , A XX. A végtelenség problémái körüli filozófiai viták korrelálnak a halmazelmélettel és a matematika alapjainak problémájával.
↑ Surovtsev V. A. B. Russell a végtelenről // A Tomszki Állami Egyetem közleménye. Filozófia. Szociológia. Politológia. - 2010. - T. 12 , 4. sz . - S. 135-145 .
↑ Rodych, V. Wittgenstein matematikafilozófiája . A Stanford Filozófiai Enciklopédia . Stanford University Press (2011. szeptember 21.). Letöltve: 2013. május 25. Az eredetiből archiválva : 2013. május 25..
↑ Weinmeister A. V. Davos-vita Cassirer és Heidegger között // Az Orenburgi Állami Egyetem közleménye. - 2007. - 2. sz .
↑ Yampolskaya A. V. A végtelen gondolata Levinasban és Koireban // A filozófia kérdései . - 2009. - 8. sz . - S. 125-134 . (Orosz)
↑ Nachum L. Rabinovih. Levi ben Gershom rabbi és a matematikai indukció eredete // Archívum az Exact Sciences történetéhez. - 1970. - Kiadás. 6 . - S. 237-248 .
↑ Infinity - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . Dragalin A. G.
↑ De sectionibus conicis Archivált : 2014. január 2. a Wayback Machine -nél
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), John Wallis matematikai munkája, DD, FRS, (1616-1703) (2 kiad.), AMS Bookstore, p. 24, ISBN 0-828-40314-7 , < https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C > Archiválva : 2014. szeptember 25. a Wayback Machine -nél , 1. fejezet, 24. oldal Archiválva : 2016. november 18. a Waybacknél Gép
↑ Martin-Löf, Per & Mints, GE (1990), COLOG-88: Nemzetközi Számítógépes Logikai Konferencia Tallinn, Szovjetunió, 1988. december 12–16.: kiadványok , Springer, p. 147, ISBN 3-540-52335-9 , < https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC > Archiválva : 2014. október 1. a Wayback Machine -nél , 147. oldal Archiválva : 2014. október 2. a Wayback Machine -nél
↑ Robertson, Robin; Fésűk, Allan. Az Uroboros // Indra hálója: Alkímia és káoszelmélet, mint az átalakulás modelljei. — Quest Books, 2009. — ISBN 978-0-8356-0862-6
↑ Dauben J. Georg Cantor és a transzfinit halmazelmélet születése . Scientific American , orosz kiadás, 8. szám (augusztus), p. 76–86 . (1983. július 1.). Letöltve: 2013. május 5. Az eredetiből archiválva : 2013. május 10. (Orosz)

Irodalom

N. Bourbaki . A matematika alapjai. Logikák. Halmazelmélet // Esszék a matematika történetéről / I. G. Bashmakova (francia nyelvről fordítva). - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963. - S. 37-53. — 292 p. — (A matematika elemei).
Vilenkin N. Ya. A végtelent keresve. - M .: Nauka, 1983.
Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitezimális elemzés: kiválasztott témák. — M .: Nauka, 2011. — 398 p. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
Gracien, Enrique. Nyitás határok nélkül. Végtelen a matematikában. — M. : De Agostini, 2014. — 144 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 18. kötet). — ISBN 978-5-9774-0713-7 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről = Routes et dédales / Franciából fordította A. A. Bryadinskaya, szerkesztette I. G. Bashmakova. - M . : Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 p. — (Modern matematika. Népszerű sorozat). — 50.000 példány.
Végtelen / Katasonov V. N. // "Banquet Campaign" 1904 - Big Irgiz. - M . : Nagy Orosz Enciklopédia, 2005. - S. 413-415. - ( Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / főszerkesztő Yu. S. Osipov ; 2004-2017, 3. köt.). — ISBN 5-85270-331-1 .
Katasonov VN Infinite // Új Filozófiai Enciklopédia / Filozófiai Intézet RAS ; Nemzeti társadalomtudományi alap; Előző tudományos-szerk. tanács V. S. Stepin , alelnökök: A. A. Guseynov , G. Yu. Semigin , könyvelő. titok A. P. Ogurcov . — 2. kiadás, javítva. és add hozzá. - M .: Gondolat , 2010. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése. — M .: Mir , 1984. — 446 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Brockhaus és Efron Ortodox Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00576691