Kontinuum hipotézis

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

kontinuum hipotézis
Valaki után elnevezve	folytonosság
Felfedező vagy Feltaláló	Georg Kantor
nyitás dátuma	1877
Törvényt vagy tételt leíró képlet	$\aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0} }$
Ki döntött	Kurt Gödel és Paul Cohen

A kontinuum-hipotézis ( a kontinuum -probléma , Hilbert első problémája ) Georg Cantor 1877 -ben felvetett feltételezése , hogy a kontinuum bármely végtelen részhalmaza megszámlálható vagy folytonos . Más szóval, a hipotézis azt feltételezi, hogy a kontinuum számossága a legkisebb, meghaladja egy megszámlálható halmaz számosságát, és nincsenek "köztes" számosságok a megszámlálható halmaz és a kontinuum között. Ez a feltevés különösen azt jelenti, hogy a valós számok bármely végtelen halmaza esetén mindig létre lehet hozni egy -egy megfeleltetést vagy ennek a halmaznak az elemei és az egész számok halmaza között, vagy ennek a halmaznak az elemei és a számok halmaza között. minden valós szám.

Az első próbálkozások ennek az állításnak a naiv halmazelmélet segítségével történő bizonyítására nem jártak sikerrel, később kiderül, hogy a hipotézist a Zermelo-Fraenkel axiomatikában ( a választási axiómával és anélkül sem ) lehetetlen bizonyítani vagy megcáfolni .

A kontinuumhipotézist a Zermelo-Fraenkel rendszerben a determinizmus axiómája (ZF+AD) egyedülálló módon bizonyítja.

Történelem

A kontinuum hipotézis volt az első a huszonhárom matematikai probléma közül, amelyeket Hilbert 1900 -ban Párizsban a II. Nemzetközi Matematikuskongresszuson mutatott be . Ezért a kontinuum hipotézist Hilbert első problémájaként is ismerik .

1940 -ben Gödel bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis tagadása a ZFC-ben, a Zermelo-Fraenkel axiómarendszer a választási axiómával , 1963 -ban pedig Cohen kényszerítő módszerével bebizonyította a kontinuumhipotézis a - ben is bizonyíthatatlan. 1] . Mindkét eredmény a ZFC konzisztencia feltevésen alapul , ami szükséges, mivel egy inkonzisztens elméletben minden állítás triviálisan bizonyítható. Így a kontinuum hipotézis független a ZFC-től.

A kontinuumhipotézis tagadását feltételezve érdemes feltenni a kérdést: mely sorszámokra teljesülhet ki az egyenlőség ? Erre a kérdésre Easton tétele be $\mathrm {ZFC+\neg CH}$ $\alpha$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }$

Egyenértékű megfogalmazások

Számos állítás létezik, amelyek egyenértékűek a kontinuum hipotézissel:

Egy egyenes vonal megszámlálható számú színben színezhető úgy, hogy a [2] feltétel nem teljesül egyetlen egyszínű számnégyesre sem . $\mathbb {R}$ $a,b,c,d$ $a+b=c+d$
A síkot teljesen lefedheti egy megszámlálható halmazcsalád, amelyek mindegyikének formája van (azaz minden függőleges vonallal egyedi metszéspontja van) vagy (minden vízszintes vonallal egyedi metszéspontja van) [3] . $\mathbb {R} ^{2}$ $y=f(x)$ $x=f(y)$
A teret 3 halmazra lehet felosztani úgy, hogy azok a tengelyekkel párhuzamos tetszőleges egyenessel, illetve , csak véges számú pontban metszik egymást ( minden halmaznak megvan a maga tengelye) [4] . $\mathbb {R} ^{3}$ $Ökör$ $Oy$ $Oz$
A teret 3 halmazra oszthatjuk úgy, hogy mindegyikhez legyen olyan pont , hogy ez a halmaz tetszőlegesen átmenő egyenessel metszi , csak véges számú pontban [5] . $\mathbb {R} ^{3}$ $P$ $P$

Változatok és általánosítások

Az általánosított kontinuum hipotézis abból a feltevésből áll, hogy bármely végtelen bíborosra érvényes az egyenlőség ; ahol a következő bíborost jelöli. Más szóval, minden halmazban, amely nagyobb, mint valamilyen végtelen halmaz , van egy részhalmaz, amely ekvivalens a logikai értékkel [6] . $\kappa$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+))$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $S$ ${\mathcal {P}}(S)$

Az általánosított kontinuumhipotézis szintén nem mond ellent a Zermelo-Fraenkel axiomatikának, és amint azt Sierpinski 1947-ben és Specker 1952-ben kimutatta, a választás axiómája következik belőle .

Lásd még

Martin axiómája

Jegyzetek

↑ Paul J. Cohen halmazelmélet és a kontinuumhipotézis. - M .: Mir, 1969. - S. 347.
↑ Stephen Fenner, William Gasar. A ZFC-től független Combinatorics-nyilatkozat (An Exposition) archiválva 2021. november 27-én a Wayback Machine -nél
↑ Vaclav Sierpinski . Bíboros és sorszámok. - Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1965. (angol)
↑ Vaclav Sierpinski . A halmazelméletről. - M . : Oktatás, 1966.
↑ Archivált másolat . Hozzáférés dátuma: 2012. július 9. Az eredetiből archiválva : 2013. február 18. (határozatlan)
↑ Continuum probléma / A. G. Dragalin // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.

Irodalom

Katin Yu.E. A kontinuumprobléma történetéből // A természettudományok története és módszertana. - M. : MGU, 1970. - Szám. 9 . - S. 248-261 .
Manin Yu. I. A kontinuum problémája // Itogi nauki i tekhniki. Sorozat „A matematika modern problémái. Legújabb eredmények. - 1975. - 5. sz. - S. 5-72. — ISSN 0202-747X.

Hilbert problémák
egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 22 23 ( 24 )