Hilbert tizenharmadik problémája

Hilbert tizenharmadik problémája egyike annak a 23 feladatnak, amelyet David Hilbert javasolt 1900. augusztus 8-án a II. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson . Ezt a nomográfiai módszerek alkalmazása a nagyfokú egyenletek gyökereinek kiszámítására motiválta, és több változó függvényének ábrázolhatóságára vonatkozott, különös tekintettel egy hetedik fokú egyenlet megoldására az együtthatók függvényében, két változó több folytonos függvényének szuperpozíciójaként.

A problémát V. I. Arnold és A. N. Kolmogorov oldotta meg , akik bebizonyították, hogy tetszőleges számú változóból álló folytonos függvény egy és két változó folytonos függvényeinek szuperpozíciójaként ábrázolható (és ráadásul az ilyen ábrázolástól eltekinthetünk , egy változó folytonos függvényei mellett két változó egyetlen függvénye - összeadás ): [1] [2]

f(x_{1},\pontok ,x_{n})=\sum _{{q=0}}^{{2n}}\Phi _{q}\left(\sum _{{p=1} }^{n}\psi _{{q,p}}(x_{p})\jobbra).

A és függvényeknek , a nullákat nem számítva, legfeljebb 15 szükséges, három változó esetén legfeljebb 28. ${\displaystyle \Phi _{q))$ ${\displaystyle \psi _{q,p))$ ${\megjelenítési stílus (n+1)(2n+1)}$

A probléma leírása

A negyedik fokig bezárólag fokos egyenletek megoldhatók gyökökben : megoldásukra explicit képletek vannak (a Cardano-képlet , illetve a Ferrari-módszer a harmadik és negyedik fokú egyenletekre). A fokegyenletek esetében az ötödiktől kezdve azok gyökökben való megoldhatatlanságát az Abel-Ruffini tétel határozza meg . A Tschirnhaus-transzformációk azonban lehetővé teszik, hogy az n>4-es fokú általános egyenletet együtthatómentes alakra redukáljuk , és -nél ; n=5 esetén ezt az eredményt Bring 1786 -ban, az általános esetre pedig Gerard kapta 1834 -ben . [3] . Így (további renormálás után) az 5., 6. és 7. fokú egyenletek megoldása az alábbi alakú egyenletek megoldására redukálódott. $x^{{n-1}}$ $x^{{n-2}}$ $x^{{n-3}}$

x^{5}+ax+1=0

x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,

x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0

egy, kettő és három paramétertől függően.

Nem ábrázolhatóság a simasági osztály megőrzésével

Megoldás: Kolmogorov és Arnold tételei

Irodalom

↑ V. I. Arnold, Selected-60, M.: Fazis, 1997. 18. o., 4. tétel.
↑ Kolmogorov szuperpozíciós tételének konstruktív bizonyításáról (lefelé irányuló kapcsolat) . Hozzáférés dátuma: 2010. szeptember 21. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation a Wolfram MathWorld weboldalán .

V. I. Arnold. Kedvencek-60. - M . : Fazis, 1997.
V. I. Arnold. Három változó folytonos függvényeinek ábrázolásáról két változó folytonos függvényeinek szuperpozícióival // Matem. Szo. - 1959. - T. 48 (90) , 1. sz . - S. 3-74 .
A. N. Kolmogorov. Több változó folytonos függvényeinek ábrázolásáról egy változó folytonos függvényeinek szuperpozíciójaként és összeadásaként // DAN SSSR. - 1957. - T. 114 , sz. 5 . - S. 953-956 .
A. G. Vituskin. Hilbert 13. problémája és a kapcsolódó kérdések // Uspekhi Mat . - 2004. - T. 59 , 1. szám (355) . – S. 11–24 .
V. V. Prasolov . Polinomok . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
V. I. Arnold. Algebrai függvények topológiai invariánsai. II // Funkció. elemzése és alkalmazásai - 1970. - Issue. 2 , 4. sz . - S. 1-9 .
V. I. Arnold. A Tschirnhausen-transzformációk alatt megőrzött algebrai függvények kohomológiai osztályairól // Funct. elemzése és alkalmazásai - 1970. - Issue. 1 , 4. sz . - S. 84-85 .
G. N. Csebotarev. A megoldandó problémáról // Uchen. kb. Kazan. állapot egyetemi - 1954. - T. 114 , 2. sz . - S. 189-193 .
Hilbert problémái / szerk. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 példány. Archivált : 2011. október 17. a Wayback Machine -nél
David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (német) (hozzáférhetetlen link) . - A jelentés szövege, amelyet Hilbert olvasott fel 1900. augusztus 8-án a párizsi II. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson. Letöltve: 2009. augusztus 27. Az eredetiből archiválva : 2012. április 8..

Hilbert problémák
egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 22 23 ( 24 )