Hilbert tizenkettedik problémája vagy Jugendtraum ( németül - "gyermekkori álom") Kronecker - a 23 matematikai probléma egyike , amelyet David Hilbert 1900 - ban fogalmazott meg [1] [2] , amelyet a Kronecker-Weber-tétel kiterjesztéseként fogalmazott meg az Abeli-kiterjesztésre a racionális számok mezeje tetszőleges algebrai számmezőn . Vagyis az egységgyökök analógjait komplex számok formájában kell kérni, amelyek az exponenciális függvény specifikus értékei ; a követelmény az, hogy az ilyen számok további numerikus mezők egész családját generálják, amelyek a ciklotómikus mezők és részmezőik analógjai.
A komplex szorzás klasszikus elmélete, amelyet manapság gyakran Kronecker-féle Jugendtraumként emlegetnek , ezt teszi bármely képzeletbeli másodfokú mező esetében, moduláris függvények és elliptikus függvények segítségével , amelyeket a kérdéses mezőhöz társított meghatározott periódusrács segítségével választanak ki. Goro Shimura kiterjesztette ezt a CM mezőkre. Az általános ügy 2022-től nyitva marad. Leopold Kronecker a komplex szorzás problémáját "liebster Jugendtraumnak" vagy "fiatalkorának legkedvesebb álmának" nevezte.
Problémák a matematikában (1900) című jelentésének 12. részében Hilbert „különös fontosságúnak” tartja Kronecker Jugendtraumát [1] [2] , és rámutat, hogy Kronecker bebizonyította (1853) azt a tételt ( amelyet Weber és Hilbert frissített 1886-ban), hogy :
(...) minden Abel-számmező a racionális számok birodalmában az egységgyökök mezőjébe ágyazódik. (...) Mivel a racionális számok területe után a legegyszerűbb a komplex másodfokú számterület, felmerül a probléma a Kronecker-tétel bizonyítása erre az esetre is. (...) Kronecker sejtésének bizonyítékát még nem találták meg. Ennek ellenére úgy gondolom, hogy a Weber által kidolgozott komplex szorzás elmélete alapján, az általam bizonyított mezőosztályokra vonatkozó tisztán aritmetikai tételek figyelembevételével, különösebb nehézség nélkül kivitelezhető. Végül pedig rendkívüli jelentőséget tulajdonítok a Kronecker-tétel kiterjesztésének arra az esetre, amikor a racionális számok tartománya vagy a komplex másodfokú tartomány helyett egy tetszőleges algebrai számmezőt veszünk a racionalitás tartományának. Ezt a problémát a függvényelmélet egyik legmélyebb és legmesszebbmenő problémájának tekintem. (...) Ami a probléma funkcionális-elméleti részét illeti, a kutatónak annak a feltűnő analógiának az igen vonzó útját kell követnie, amely az egy független változó algebrai függvényeinek elmélete és az algebrai számok elmélete között észlelhető. (...) Mint láthatjuk, a fenti feladatban a matematika három fő ága - a számelmélet , az algebra és a függvényelmélet - belső kapcsolatban áll.
| Hilbert problémák | |
|---|---|